Методическое указание по предмету “математика для экономистов”

Определение. Минором, окай­мляющим данный минор, называется минор высшего порядка по отношению к данному, если этот минор высшего порядка содержит данный минор.
Если найдется минор, отличный от нуля, то продолжаем окаймление дальше, если же такого минора не окажется, то ранг равен 2 и т.д.
Пример 7. Найти ранг матрицы:
.
Решение:
Находим минор 2-го порядка, не равный нулю, например, минор, состав­ленный из элементов, расположенных в левом верхнем углу матрицы:
.
Окаймляем его. Возможны четыре варианта окаймления, но во всех случа­ях эти миноры 3-го порядка оказываются равными нулю:


Ранг матрицы равен 2, так как наивысший порядок минора, отличного oт нуля, равен 2.
Пример 8. Найти ранг матрицы
.
Решение:
Левый верхний минор 2-го порядка равен нулю

Возьмем другой минор 2-го порядка, например,

Окаймляем его и получим минор 3-го порядка:
.
Продолжим окаймление. Здесь возможны два варианта, определить которые рекомендуется читателю. В обоих случаях миноры 4-го порядка окажутся равными нулю. Значит, матрица имеет ранг 3, т.е.
Замечание. Такое вычисление ранга является, вообще громоздким, так как приходится часто рассматривать большое число миноров матрицы. Существуют более эффективные способы вычисления ранга матрицы, основанные на приведении матрицы к ступенчатому или каноническому виду.
Упражнения
Найти ранг следующих матриц:
; ; .
4.2. Основные свойства ранга матрицы
Рассмотрим теперь те свойства ранга матрицы, кото­рые упрощают его вычисление.
Свойство 1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
Свойство 2. Ранг матрицы не меняется при пере­становке ее столбцов (или строк).
Свойство 3. Ранг матрицы не меняется при умно­жении всех элементов ее столбца (или строки) на отлич­ное от нуля число.
Свойство 4. Ранг матрицы не изменится, если к одному из ее столбцов (или строк) прибавить другой столбец (соответственно строку), умножив его (ее) на некоторое число.