Методическое указание по предмету “математика для экономистов”

Определение. Полученные выражения базисных неизвестных через свободные называются общим решением системы уравнений.
Придавая свободным неизвестным произвольные значения, можно получить частные решения системы уравнений. Следовательно, система (1) имеет бесчисленное множество решений.
Определение. Если в общем решении системы свободным неизвестным придавать нулевые значения, то такое решение называется базисным.
Пусть дана произвольная система линейных уравне­ний (1):
(2)
Будем для определенности считать, что коэффициент . Если это не так, то надлежащим образом изменим нумерацию неизвестных. Преобразуем систему (2), исключая неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на число и вычтем из соответствующих частей второго уравнения, затем обе части первого уравнения, умноженные на число , вычтем из соответствующих частей третьего уравнения и т. д.
Предполагая после этого, что , аналогичным способом исключим неизвестное из всех уравнений, кроме второго, и т.д.
В результате таких преобразований мы или получим совместную ступенчатую систему, эквивалентную систе­ме (2), или придем к несовместной ступенчатой си­стеме, в которой одно из уравнений имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левой ча­сти равны нулю. В этом случае система (2) также является несовместной. Легко увидеть, что таким спосо­бом можно любую систему линейных уравнений привести к ступенчатому виду. Следовательно, решение любой си­стемы сводится к решению ступенчатой системы.
Заметим еще раз, что в процессе приведения системы (2) к ступенчатому виду могут получаться уравнения вида . Их можно отбрасывать, так как это, очевид­но, приводит к системе уравнений, эквивалентной преж­ней.
При практическом решении системы линейных урав­нений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матри­цу этой системы, выполняя все преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преоб­разования матрицы обычно соединяют знаком эквива­лентности.