Методическое указание по предмету “математика для экономистов”

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение:
Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующее элементарное преобразование над ее строками:
а) разделим элементы первой строки на 2, а затем из второй и четвертой строк вычтем первую:
~ ~ ;
б) разделим элементы второй строки на , а затем из третьей и четвертой строк вычтем вторую умноженную ,соответственно, на 2 и :
~ ~ ~ ;
в) разделим элементы третьей строки на , а затем прибавим к четвертой строке элементы третьей, умноженной на 2:
~ ~ ;
г) разделим элементы четвертой строки на -9.
В результате всех преобразований данная система линейных уравнений приводится к треугольному виду

Она имеет единственное решение. Из последнего уравнения имеем . Подставляем это значение в предыдущее уравнение и находим из него . Далее, из второго и первого уравнений находим и .
Решение системы можно написать в векторном виде
.
Из рассмотренного примера видно, что решение ли­нейной системы уравнений по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы, имеющей треуголь­ный вид. Необходимым и достаточным условием приме­нимости метода Гаусса является неравенство нулю всех главных элементов системы.
Пример 2. Решить систему уравнений

Решение:
Выпишем расширенную матрицу данной системы

и преобразуем ее.
Первую строку, умноженную, соответственно, на 2,3,1, вычтем из последующих строк:

Вторую строку, умноженную, соответственно, на 2, 3, вычтем из по­следующих строк:

Система свелась к ступенчатой, которая после отбрасывания двух уравнений вида превращается в следующую:

Здесь за базисные неизвестные примем и . Это можно сделать, так как определитель из коэффициентов при этих коэффициентах отличен от нуля, т.е. . Свободными неизвестными служат и .
Из второго уравнения найдем выражение через . Затем, под­ставив его в первое уравнение, найдем выражение через и :

Следовательно, общее решение данной системы можно запи­сать в виде
,
где и - произвольные числа.
Если положить, например,
,
то найдем одно из частных решений этой системы:
.
Если же положить
,
то найдем другое из частных решений, которое называется базисным решением этой системы:
.
Упражнение.
Решить систему уравнений, пользуясь методом Гаусса:
1. 2.

Теперь рассмотрим следующую модификацию метода Гаусса.

4.2. Метод Гаусса – Жордана или метод полных исключений неизвестных
В методе Гаусса вместо того чтобы исключить только с номерами , мы с одинаковым успехом можем исключить также в уравнениях с номерами , так что появится только в -м уравнении. В таком случае не будет необходимости в обратной подстановке.
Эта модификация гауссовского исключения называется методом Гаусса – Жордана или методом полных исключений неизвестных.
Следующие примеры иллюстрируют применение метода Гаусса – Жордана.