Методическое указание по предмету “математика для экономистов”

Задание №4



5-тема. РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРАВИЛОМ КРАМЕРА И МАТРИЧНЫМ СПОСОБОМ
5.1. Правило Крамера. Матричный способ решения
Рассмотрим систему линей­ных уравнений с известными , т.е. такую систему, в которой число уравнений равно числу неиз­вестных:
(1)
Основная матрица этой системы имеет строк и столбцов, т.е. является квадратной. Определитель этой матрицы

называется определителем системы.
Заменим в определителе системы какой-либо стол­бец, например, -й столбцом из свободных членов. Полученный таким способом определитель будем обозначать через , т.е.
.
Поясним сказанное на примере
Пример 1. Пусть дана система 3 уравнений с 3 неизвестными:

Тогда
; ;
; .
Теорема (правило Крамера). Если дана систе­ма уравнений (1), определитель которой отличен от нуля, то эта система совместна и имеет единственное ре­шение, которое находится по формулам Крамера:
(2)
Замечание. Отыскание решения системы по фор­муле называют матричным способом реше­ния системы.
Пример 2. Решить матричным способом систему уравнений

Решение:
Положим

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением
.
Поскольку определитель матрицы
,
то матрица неособенная и потому имеет обратную

и, следовательно,
.
Выполняя умножения в правой части, получим единственное решение заданной системы:
.
Пример 3. Решить по формулам Крамера систему уравнений

Решение:
Находим определитель системы

Следовательно, система определенная, т.е. она имеет единственное решение. Для нахождения ее решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак,

- единственное решение данной системы.