Методическое указание по предмету “математика для экономистов”

Пример 3. Решить систему уравнений

методом Гаусса – Жордана или методом полных исключений неизвестных.
Решение:
Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующее элементарное преобразование над ее строками:
а) разделим элементы первой строки на 2, а затем с помощью элементарных преобразований все элементы первого столбца, кроме первого превратим в нули. Это означает, что исключим из всех уравнений, кроме первого:
~ ;
б) разделим элементы второй строки на -1, а затем с помощью элементарных преобразований все элементы второго столбца кроме второго превратим в нули. Это означает, что исключим из всех уравнений, кроме второго:
~ ;
в) разделим элементы третьей строки на 18, а затем, с помощью элементарных преобразований все элементы третьего столбца кроме третьего превратим в нули. Это означает, что исключим из всех уравнений, кроме третьего:
.
Таким образом, в результате всех этих преобразований данная система линейных уравнений приводится к следующему треугольному виду:

т.е. найдено решение системы
.
Пример 4. Решить систему уравнений

методом Гаусса – Жордана.
Решение:
Выпишем расширенную матрицу данной системы
~ ,
к элементам которой примем метод полных исключений неизвестных или метод Гаусса – Жордана:
~ ~ ~
~ .
Система свелась к ступенчатому виду:

Здесь за базисные неизвестные примем и , ибо определитель, составленный из коэффициентов при этих неизвестных (этот единичный определитель является базисным минором основной матрицы коэффициентов последней системы). Свободным неизвестным служит .
Из последней системы находим:

Следовательно, общее решение данной системы можно запи­сать в виде
.
Если положить, например,
,
то найдем одно из частных решений этой системы:
.
Базисное решение данной системы таково:
.
Оно получается из общего решения при .