Mazmuni 1-lekciya. Ózlik emes integrallar

N(x,y) – N(x

0

,y) + 

     

  

           

bunnan 

     

  

           

demek,  

                                  ∫    

 

          

 

 

 

 

                                 (11) 

bunda,  C

1 

– erikli turaqli.  

       Bul  tabilg`an  (11)  an`latpani  (8)  formulag`a qoyip, izlengen   U(x,y)  

funkciyasin alamiz:  

                 U(x,y) = ∫          

 

 

 

    ∫          

 

 

 

   

 

            (12) 

Bunnan 

M(x,y) =

       

  

      N(x,y) =

       

  

 

eki  ten`like  iye bolamiz. Al, bul 

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 

       

  

   +

       

  

   = dU(x,y)   

ten`liklerin aliw ushin jetkilikli boladi.  

         (12) funkciyalarinin` birewin, basqasha aytqanda,  C

1

 = 0  bolatug`inin 

alip ha`m oni  C erikli turaqlig`a ten`lestirip,  (1)  ten`lemenin` uliwma 

sheshimin to`mendegi tu`rde alamiz:  

∫          

 

 

 

    ∫    

 

                                        

 

 

 

           

        Eger U(x,y)  funkciyasin du`zgende  (6) ten`liklerinin` ekinshisin 

esapqa alip shiqsaq, onda uliwma sheshim ushin 

---

∫       

 

   

 

 

 

    ∫          

 

 

 

                                              

an`latpasina iye bolamiz.  

       Bul (13) ha`m (14) formulalarda integrallawdin` to`mengi  x

0 

ha`m  y

0  

shegaralarin qarastirip atirg`an bir baylanisli   D  oblastinin` sheklerinde 

erkli tu`rde, biraq aling`an integrallar ma`niske iye bolatug`inday etip 

tan`lap aliwg`a boladi.  Bul  x

0  

ha`m  y

0    

ma`nislerdin` qolayli etip tan`lap 

aliniwi berilgen ten`lemeni integrallaw ma`selesin  jen`illestiredi.  

        Mina,  

M(x)dx + N(y)dy = 0   

differencial ten`leme toliq differencialli, sebebi  

  

  

   

  

  

     

A`piwayi esaplawlar menen to`mendegilerdi tabamiz:  

  

  

          

  

  

                ∫                   

  

  

     

 

        

 

              

         Differencial ten`lemenin`  integrali  

      ∫            ∫          

funkcialarinan  ibarat.  Uliwma  integral  bolsa  

Ф

1

(x) + Ф

2

(y) = C  

ko`riniste  boladi, bunda   Ф

1

(x) funkciya  M(x)  tin`  bazibir  baslang`ish  

funkciyasi,   Ф

2

(y)  funkciya  bolsa  N(y) tin`  bazibir  baslang`ish  

funkciyasi. 

          2 – teorema.  (1)  differencial ten`lemede   

---

        

        

        

  

       

        

  

    

funkcialar  D oblastqa tiyisli bazibir  P  to`rtmu`yeshlikte u`ziliksiz bolip,   

N(x,y) ≠ 0,  (x,y) Є P,  ha`m  

  

  

   

  

  

   

 (x,y) Є P  bolsa, onda  P  ko`pliktin` 

ha`r bir berilgen  (x

o

,y

o

)  noqatinan  (1)  ten`lemenin` tek  g`ana  bir  integral 

sizig`I o`tedi.  

Da`lilleniwi:  Teoremanin`  sh`rtine muwapiq differencial  ten`lemenin`  sol  

ta`repi toliq differencialli,  yag`niy   

           

  

  

                

  

  

    

N(x,y) ≠ 0,  (x,y) 

Є 

P  g`a  muwapiq (1)  differencial  ten`lemeni  

M(x,y) + N(x,y)y' = 0  

ko`riniste  jaziw mumkin. Bunnan   

        

  

     

kelip shig`adi.  Endi   y(x)   funkciya  (1) ten`lemenin` sheshimi boliwi 

ushin   

                            U(x,y(x)) = C                                           (15)  

boliwi  zaru`r  ha`m  jetkilikli. Sha`rtke  muwapiq  

  

  

                               

Sonliqtan,  (15) ten`lemeni  y(x) g`a  qarata  bir ma`nisli  sheshiw mukin.  C  

nin`  U(x

0

,y

0

) = C  qatnasi menen aniqlang`an manisi  (1) tenlemenin`  (x

0

,y

0

)  

noqattan o`tetug`in  birden-bir  integral sizig`in  belgileydi  ha`m  ol 

U(x,y) = U(x

0

,y

0

)  

formula ja`rdeminde an`latiladi.  U(x,y)  funkciyani  tabiw  usili  alding`i  

teoremmada  kelltirilgen.   

 

---

 

11-lekciya. Tártibi tómenletiletiletuǵın ekinshi tártipli differencial 

teńleme. 

Bazı bir jaǵdaylarda ekinshi t{rtipli teńlemeni sheshiw izbe-iz eki birinshi 

t{rtipli differencial teńlemeni sheshiwge alıp keliniwi múmkin. Onda 

berilgen differencial teńlemeniń t{rtibin tómenletiwge boladı delinedi.  

                         

  

           

 

                     (11.1) 

differencial teńlemesin t{rtibin tómenletip sheshiwdiń eki jaǵdayın qarap 

óteyik.  

  1-jaǵday. Meyli (11.1) teńlemeniń shep jaǵında x bolmasın, yaǵnıy 

tómendegi túrge iye bolsın:  

                        

  

        

 

                     (11.2)  

bunda   

 

     dep alamız h{m  

  

 

  

  

 

  

  

 

  

  

 

  

  

    bunnan   

  

  

 

        túrindegi birinshi t{rtipli differencial teńlemege iye bolamız. Bunda 

  ǵ{rezsiz ózgeriwshi rolin atqarıp tur.  

  2-jaǵday. (11.1) teńlemeniń shep jaǵında   bolmasın, yaǵnıy   

                                

  

        

 

                      (11.3) 

túrge iye bolsın. Bunda  

 

    dep alamız h{m  

  

 

  

  

 , onda 

  

  

          

túrindegi birinshi t{rtipli differencial teńlemege iye bolamız.  

  1-mısal.   

                           

  

 

 

  

 

                                    (11.4) 

differencial teńlemeniń ulıwma sheshimin tabıń.  

  Sheshiliwi:  

 

    dep alamız h{m  

  

 

  

  

 , bunı (11.4) teńlemege 

qoysaq,    

  

  

 

 

 

 

 . Bunnan 1)      , yaǵnıy       , yamasa 2) 

  

  

 

 

 

 , 

yaǵnıy  

  

 

 

  

 

 bunnan integral alsaq:    | |     | |     | 

 

|,       

 

  , 

---

yamasa  

  

  

   

 

  , 

  

 

   

 

   ,   | |     | 

 

|    

 

  , bunnan       

 

 

 

 

 

 

sheshimi kelip shıǵadı.  

 

   

 

       . 

  2-mısal.  

                        

  

        

 

                                 (11.5) 

teńlemesiniń baslanǵısh sh{rtler     

 

 

  h{m  

 

   ,       bolǵandaǵı 

sheshimin tabıń. 

  Sheshiliwi:  

 

     dep alıp  

  

 

  

  

 tabamız. Onda  

                            

  

  

                                        (11.6) 

yamasa  

                           

  

  

     

 

 

       

alınǵan teńleme birtekli, sonlıqtan 

 

 

    dep alamız, demek        , 

  

  

   

  

  

    .  Bul m{nisti (11.6) teńlemesine qoysaq 

                       

  

  

             

kelip shıǵadı. Bunnan  

                

  

  

 

    

 

 , bunnan  

  

   

 

    

 

 

Integrallaw arqalı                        

 

  , demek        

 

 

 

 

   yaǵnıy  

 

 

     

 

 

 

 

   h{m          

 

 

 

 ,  

 

 di tabıw ushın baslanǵısh sh{rtlerden 

paydalanamız:       bolǵanda      

 

    . Demek          

 

 yaǵnıy  

 

 

    . 

 Solay etip,    

  

  

    ,           ,   ∫      

 

 

 

   

 

. Baslanǵısh sh{rtten 

      h{m     

 

 

 dep esaplasaq 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

   , demek izlengen dara 

sheshim    

 

 

 

. 

 

 

---

12-lekciya. Turaqlı koefficientli sızıqlı ekinshi tártipli differencial 

teńleme 

  Ekinshi t{rtipli turaqlı koeficientli sızıqlı differencial teńleme tómendegi 

túrge iye boladı: 

                             

  

    

 

                      (12.1) 

bunda   h{m   bazı bir haqıyqıy sanlar,      bazı bir funkciya. Eger         

bolsa:  

                           

  

    

 

                           (12.2) 

teńlemesi birtekli dep, keri jaǵdayda          birtekli emes boladı. D{slep 

(12.2) túrindegi sızıqlı birtekli, turaqlı koefficientli teńlemeni sheshiwdi 

qarayıq.  

  Meyli  

 

   

 

     h{m  

 

   

 

     

(12.2) teńlemeniń dara sheshimleri bolsın.  

  Anıqlama. Eki  

 

 h{m  

 

 sheshimler óz-ara sızıqlı ǵ{rezli delinedi. 

Egerde bir waqıtta ekewide nolge teń bolmaytuǵın bazı bir  

 

 h{m  

 

 

sanları tabılıp, bul funkciyalardıń sızıqlı kombinaciyası birdeylik nolge teń 

bolsa, yaǵnıy:  

         

 

 

 

   

 

 

 

                                     (12.3) 

bul birdeylik tek  

 

   

 

    bolǵanda ǵana orınlansa sızıqlı ǵ{rezli 

delinedi.  

  1-teorema. Egerde (12.2) teńlemeniń  

 

    h{m  

 

    sızıqlı ǵ{rezsiz dara 

sheshimleri bolsa, onda (12.2) teńlemeniń ulıwma sheshimi bazı bir  

 

 ,  

 

 

haqıyqıy sanları ushın dara sheshimlerdiń sızıqlı kombinaciyası boladı. 

Yaǵnıy:  

                                

 

 

 

   

 

 

 

                   (12.4)  

  Solay etip (12.2) teńlemeniń ulıwma sheshimin tabıw ushın d{slep  

 

 h{m 

 

 

 dara sheshimlerdi tabıw kerek eken. (12.2) teńlemeniń sheshimin:  

                                   

  

                                (12.5) 

túrinde izleymiz,   – bazı bir haqıyqıy san.  

---

        ( 

  

)

  

   ( 

  

)

 

    

  

    

 

          

  

 bolǵanlıqtan (12.5) 

funkciya (12.2) teńlemeniń sheshimi bolıw ushın   sanı: 

                          

 

                                   (12.6) 

teńlemesiniń koreni bolıwı kerek. Bul (12.2) teńlemeniń xarakteristikalıq 

teńlemesi dep ataladı.  

  2-teorema. 1

0

. (12.2) differencial teńlemeniń  (12.6) xarakteristikalıq 

teńlemesi eki  

 

 h{m  

 

 haqıyqıy korenge iye bolsın. Onda (12.2) 

teńlemeniń ulıwma sheshimi                       

                           

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

                  (12.7) 

boladı. Bunda  

 

 h{m  

 

 bazı bir turaqlı san. 

   2

0

. Egerde (12.6) xarakteristikalıq teńleme bir korenge (eseli korenge) iye 

bolsa onda (12.2) teńlemeniń ulıwma sheshimi   

                        

 

 

  

   

 

 

  

                         (12.8) 

boladı. Bunda  

 

 h{m  

 

 bazı bir turaqlı san.  

  3

0

. Egerde (12.6) xarakteristikalıq teńleme haqıyqıy korenge iye bolmasa 

onda (12.2) teńlemeniń ulıwma sheshimi   

                        

 

 

  

         

 

 

  

              (12.9) 

boladı. Bunda     

 

 

       √   

 

 

 

   

 

   

 

 bazı bir sanlar. 

  1-mısal. Baslanǵısh sh{rtler menen berilgen differencial teńlemeniń dara 

sheshimin tabıń.  

          

  

    

 

                         

 

           

  Sheshiliwi: Differencial teńlemeniń xarakteristikalıq teńlemesin dúzemiz.  

             

 

                   bul teńleme  

 

    ,  

 

     korenlerge iye. 

Demek differencial teńlemeniń ulıwma sheshimi:                       

                           

 

 

 

   

 

 

  

                   

 

 

 h{m  

 

 lerdi tabıw ushın baslanǵısh sh{rtlerden paydalanamız:  

---

          {

        

 

   

 

   

 

 

       

 

    

 

   

  {

 

 

   

 

   

 

 

    

 

   

  {

 

 

   

 

 

    

demek dara sheshim:        

 

   

  

 boladı.  

  Endi biz (12.1) túrdegi birtekli emes turaqlı koefficientli differencial 

teńlemeni sheshiwdi qarayıq.  

  Dara jaǵdayda bunday teńlemelerdi g{rezsiz turaqlılardı variaciyalaw 

uslı menen sheshiw múmkin. Ol tómendegishe boladı d{slep (12.1) birtekli 

emes teńlemeniń shep jaǵındaǵıday (12.2) birtekli teńlemeniń ulıwma  

     

 

 

 

   

 

 

 

  sheshimin tabamız. Keyin (12.1) teńlemeniń sheshimin 

     

 

    

 

   

 

    

 

 túrinde izleymiz. Yaǵnıy turaqlılar  

 

 h{m  

 

 

ǵ{rezsiz ózgeriwshilerdiń funkciyası retinde qaraymız. Sonıń menen birge 

 

 

    h{m  

 

    ler  

                         {

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   

                 (12.10) 

sistemanı sheshiw arqalı tabıladı.  

  2-mısal.        

  

    

 

        

 

                 (12.11) 

teńlemeniń sheshimin tabıń. 

  Sheshiliwi: Berilgen teńlemeniń shep jaǵınıń xarakteristikalıq teńlemesi 

 

 

             ,bul teńlemeniń korenleri  

 

    ,  

 

   . 

  Demek ulıwma sheshim:  

                        

 

 

 

   

 

 

  

  

           {

 

 

 

 

 

   

 

 

 

  

   

 

 

 

 

 

   

 

 

    

  

   

 

  bunnan  

 

 

       

 

 

   

  

. 

  Bulardı integrallasaq:    

        

 

        

 

   

 

    

  

   

 

   

 

 h{m  

 

 turaqlı sanlar. Sonda berilgen 

differencial teńlemeniń ulıwma sheshimi:                      

           

 

  

 

     

  

   

 

  

  

   

 

 

 

   

 

 

  

           

 

   

 boladı.     

---

13-lekciya. Differencial teńlemelerdiń ekonomikada qollanılıwı. 

  Differencial teńlemeler ekonomikalıq dinamika modellerinde keńnen 

qollanıladı. Olar tek ózgeriwshilerdiń waqıttan ǵ{rezliligin s{wlelendirip 

qoymastan, olardıń waqıt boyınsha bir biri menen baylanısında 

s{wlelendiredi.  

  Bazı bir {piwayı makroekononomikalıq dinamika m{selelerin qarap 

ótemiz.  

  1-mısal. Meyli      waqıttıń t-momentinde bazı bir tarawdıń satqan ónim 

mugdarı bolsın. Bir tarawdıń shıǵarǵan barlıq bazı bir ózgermes p bahası 

menen satıladı dep esaplayıq. Yaǵnıy bazardıń tolıp ketpew sh{rti 

orınlanadı. Onda waqıttıń t-momentindegi d{ramat: 

                                           

boladı.  

    I(t) arqalı óndiristi keńeytiwge beriletuǵın investitsiya muǵdarın 

belgileyik. T{biyiy ósiw modelinde ónim shıǵarıw tezligi (akseleratsiya) 

investitsiya muǵdarına proporcional dep esaplanadı. Yaǵnıy:  

                               

 

                                          (13.1)  

(bunda ónims shıǵarıwdıń tamamlanıwı h{m satılıwı arasındaǵı waqıt 

esapqa alınbaydı, yaǵnıy investitsiya nolge teń).  

  Investiysiya muǵdarı      d{ramattıń qatań bir bólegi dep esaplasaq:  

                                                                (13.2) 

teńligine iye bolamız, bunda proporcionallıq koeffitsient m-turaqlı shama 

         . 

(13.2) degi      nıń m{nisin (13.1) qoysaq: 

                          

 

                                              (13.3) 

bunda          . 

 Alınǵan differencial teńlemeni sheshiw arqalı:   

        

 

 

     

 

 

, bunda  

 

   

 

    funkciyasına iye bolamız.  

---

  Sonıń menen birge (13.1) model, xalıqtıń ósimin (demografiyalıq 

protsess), inflyatsiyanıń turaqlılıǵında bahanıń ósiw dinamikasın, 

radioaktivlik tarqalıw protsessin h{m taǵı basqalardı súwretlewi múmkin.  

  Ámeliyatta bazardıń tolmaw sh{rti tek waqıttıń jeterli qısqa aralıǵı ushın 

qollanıw múmkin.  

  Sonlıqtanda b{sekiles bazar jaǵdayında ósim modeli:    

                           

 

                                  (13.4) 

túrge iye boladı. Bul da ózgeriwshileri ajırılatuǵın differencial teńleme.  

   (13.4) teńlemeniń oń jaǵındaǵı kóbeytiwshilerdiń h{mmesi oń 

bolǵanlıqtan  

 

    h{m bul teńleme ósiwshi      funkciyanı súwretleydi. 

Bul funkciyanı dóńeslikke izertlegende t{biyiy túrde funkciyanıń elastikligi 

túsinigi qollanıladı.  

  Haqıyqatında da,       

                         

  

     

 

 

  

  

     

 kelip shıǵadı.  

  Talaptıń elastikligi (baha salıstırması)  

 

     

   

   

  formulası menen 

anıqlanadı. Onda  

  

 ushın ańlatpa tómendegishe jazıladı.  

                                  

  

     

 

  

 

 

 

   

      

h{m  

  

    sh{rti  

 

         teńligine teń kúshli. Solay etip, eger talap 

elastikli bolsa, yaǵnıy | 

 

   |     yamasa | 

 

   |      , onda  

  

    h{m 

     funkciyası tómenge qarata dóńes; eger talap elastikli bolmasa, yaǵnıy 

| 

 

   |     yamasa      | 

 

   |     , onda  

  

    h{m      funkciyası 

joqarıǵa qarata dóńes. 

  1-mısal. Egerde talap iymekligi                teńligi menen berilgen 

bolıp, akseleraciya norması 

 

 

    investitsiya norması                         

bolsa, satılǵan ónimniń kólemi ushın ańlatpanı tabıń.  

  Sheshiliwi. (13.4) teńleme biziń mısal ushın tómendegishe jazıladı:         

---

   

 

                yamasa  

  

       

     bul teńlemege aǵzalarǵa bólip 

integrallawdı qollansaq:  

       |

   

 

|          

 

    yamasa      

                                             

   

 

    

   

         (13.5)  

      

 

 

 .                 ekenin esapqa alsaq, C=-3 boladı. (13.5) teńlik   

ushın:  

                    

 

    

   

   

boladı.  

  2-mısal. Bazı bir tarawdıń waqıttıń t momentindegi alǵan d{ramatı        

investitsiya summası h{m tutınıw shamasınıń qosındısına teń, yaǵnıy:  

                                                           (13.6) 

joqarıdaǵı t{biyiy ósiw modelindegidey d{ramattıń kóbeyiw tezligi 

investitsiya muǵdarına proprotsional dep esaplaymız, yaǵnıy  

                              

 

                                (13.7) 

bunda b-d{ramat ósiwiniń kapital sıyımlılıǵı koeffitsienti.  

    -d{ramat funksiyasınıń      funkciyasına baylanıslı ózin tutıwın 

qaraymız.  

  Meyli      alıǵan d{ramattıń bazı bir belgili bólegi bolsın:       

            bunda   -investitsiya norması. Onda (13.6) h{m (13.7) den: 

                              

 

 

 

 

                                     (13.8) 

teńlemesine iye bolamız.  Bul           bolǵanda (13.8) teńleme menen teń 

kúshli. Bazı bir jaǵdaylarda paydalanıw funkciyasınıń túri C(t) belgili 

boladı. 

   3-mısal.  Egerde tutınıw muǵdarı C=2t funkciyası menen d{ramat 

ósiwiniń kapital sıyımlılıq koeficienti b=

 

 

 , Y(0)=2 berilgen bolsa, d{ramat 

funkciyası Y=Y(t) nı tabıń.  

---

  Sheshiliwi. (13.6) h{m (13.7) den tómendegi teńlemege iye bolamız:  

                             

 

 

 

 

         

yaǵnıy d{ramat funkciyası birinshi t{rtipli birtekli emes sızıqlı differencial 

teńlemeni qanaatlandıradı. Bul teńlemeniń sheshimin                    

túrinde izleymiz.  

  Onda           

   

   

   

               

  

 ǵa iye bolamız. C turaqlısın 

baslanǵısh sh{rtten paydalanıp tabamız:                          

bolǵanlıqtan C=1 boladı. Bunnan n{tiyjede                

  

    d{ramat 

funkciyasına iye bolamız.