Mazmuni 1-lekciya. Ózlik emes integrallar

Eskertiw.Bazi  bir  qatarlardin’  jiynaqliliq  radusi  tochkani  an’latsa 

         bazi birewleri barliq   ko’sherin o’z ishine aladi          

 

2-misal.     

  

 

 

√ 

 

  

 

 

 

√ 

 

       

 

 

 

 

      

 

√ 

 

         qatarinin’  jiynaqliliq 

oblastin tabin’. 

 

Sheshiliwi. Jiynaqliliq radiusin (11.14) formula boyinsha tabamiz. 

       

   

|

 

 

 

   

|      

   

|

 

 

        

 

√ 

 

 

 

   

              

 

√ 

   

|

 

√ 

 

   

   

        

 

        

 

 

√ 

 

 

demek jiynaqliliq intervali   

√ 

 

 

√ 

 

 .  

 

Endi  intervalidin’  ushlarindag’i  jiynaqliqti  ko’remiz:       

√ 

 

 

bolg’anda da’rejeli Qatar to’mendegi tu’rge iyr boladi. 

   

 

 

 

 

 

 

 

       

    

 

        

 

       

bul qatar Leybnits belgisi boyinsha jiynaqli. 

---

 

   

√ 

 

 bolg’anda 

   

 

 

 

 

 

 

 

       

 

      

 

             

 bolg’an 

toliqtirilg’an garminikaliq qatarg’a iye bolamiz.           bolg’anliqtan bul 

qatarda  jiynaqli.  Intervaldin’  shep  aqirindag’i      

√ 

 

 qatar  jiynaqlig’i, 

belgileri  o’zgeriwshi  Qatar  jiynaqlilig’inin’  kerekli  belgisi  menen 

korsetiliwi mu’mkin. Sebebi, ag’zalarinin’ absolyut shamalarinan du’zilgan 

∑

 

      

 

   

 qatari  jiynaqli.Demek  berilgen  qatardin’  aniqlaniw  oblasti 

* 

√ 

 

 

√ 

 

+  

Makloren ha’m Teylor qatarlari

. Meyli      funksiyasi       tochkasinin’ 

a’trapinda aniqlang’an ha’m   ma’rtebe differenciallanatug’in ha’m 

olto’mendegishe da’rejeli qatarg’a jiklenetug’in bolsin.

 

        

 

   

 

     

 

 

 

   

 

 

 

         

 

 

 

      (6.4) 

qatar  koefficientlerin        arqali  ko’rsetemiz.  Onin’  ushin       

funksiyanin’   ma’rte differencialin tabamiz. 

 

 

       

 

    

 

      

 

 

 

          

 

 

   

      

 

 

        

 

    

 

                   

 

 

   

      

                                            

 

   

                            

 

    

      dep esaplan’. 

 

 

       

 

   

  

               

 

      

 

   

   

                   

 

      

 

       

   

   

      

 

 

bunnan 

 

 

 

   

 

      

 

 

 

  

   

  

   

 

 

 

   

   

  

       

 

 

 

   

   

  

 ge  ten’.   

 

   

 

   

 

       

 

 

koefficentlerinin’ ma’nislerin orinlarina qoysaq.  

 

               

 

      

 

  

   

  

 

 

 

 

   

   

  

 

 

       

 

   

   

  

 

 

     

 bul 

qatar Makloren qatari dep ataladi. 

 

Sanli  qatarlar  ushin  Makloren  qatarinin’  qosindisi        ti 

to’mendegishe ko’rsetiw mu’mkin: 

        

 

       

 

    

bunda  

 

 qatardin’     shi dara qosindisi,  

 

    – qatardin’     qaldig’i. 

 

Teorema.    Makloren  qatari      funksiyasina  jiynaliwi  ushin,       

da Qatar qaldig’i no’lge umtiliwi kerekli ha’m jetkilikli, yag’niy jiynaqliliq 

intervalindag’i barliq ma’nisleri ushin 

   

   

 

 

        

---

 

Makloren  Qatari  Teylor  qatarinin’  

 

    bolg’andag’i  dara  jag’dayi 

boladi. 

          

 

     

 

  

 

       

 

   

 

  

  

 

 

  

      

 

 

 

       

 

   

  

 

 

  

      

 

 

 

        

(6.5) 

bul Teylor qatari. 

 

Teylor qatarito’mendegi Teylor formulasi menen tig’iz baylanisli: 

          

 

     

 

  

 

       

 

   

 

  

  

 

 

  

      

 

 

 

       

 

   

  

 

 

  

      

 

 

 

 

 

 

     (6.6) 

bunda   

 

     Teylor formulasinin’ qaldiq ag’zasi. 

 

To’mende  biz  bazi  bir  funksiyalardin’  Makloren  da’rejeli  qatarina 

jikleniwin dalillewsiz keltirip o’temiz. 

1.       

 

  

 

 

         

 

 

  

 

 

 

  

         

 

 

  

                                  (6.7) 

jiynaqliliq oblasti          

2.          ; 

          

 

 

  

 

 

 

  

       

    

   

 

    

       

                                 (6.8) 

jiynaqliliq oblasti          

3.            

          

 

 

  

 

 

 

  

       

    

 

 

  

     

                                    (6.9) 

jiynaqliliq oblasti          

4.             

 

 bunda     qa’legen haqiqiy san. 

       

 

 

        

      

  

 

 

 

           

  

 

 

       

                   

  

 

 

      

(6.10) 

        intervalda  jiynaqli.         bolg’anda       nin’  aniq  ma’nisine 

baylanisli.Biominal Qatar dep ataladi. 

5.                 

               

 

 

  

 

 

 

  

         

    

 

   

   

      

                     (6.11) 

jiynaqliliq oblasti       ] yarim segment. 

 

Misal.    

   

   

 

 

 funksiyasin qatarg’a jiklen’. 

 

Sheshiliwi. (11.18) formula boyinsha  

 

 

         

 

 

  

 

 

 

  

         

 

 

  

      

---

bolg’anliqtan   ti    

 

  penen almastirsaq: 

 

  

 

       

 

 

 

 

  

       

    

 

 

  

    

      

     

  

 

   

 

 

 

 

  

       

    

   

 

  

    

      

     

  

 

 

 

     

 

 

  

       

    

   

 

    

    

 

boladi. 

 

Qatardin’ jiynaqliliq oblasti         boladi. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

 

7-lekciya.  Ózgeriwshilerge ajırılatuǵın birinshi tártipli differencial 

teńlemeler 

  Birinshi t{rtipli differencial teńleme ulıwma  

                                        (       

 

)                     (7.1) 

túrinde jazıladı.  

  Egerde teńleme  

 

 tuwındısına qarata sheshilse ol: 

                                        

 

                               (7.2) 

túrge iye boladı.  

  Bul teńlemeniń ulıwma sheshimi q{legen C turaqlısı menen     

                                                                          (7.3) 

túrge iye boladı.  

Birinshi t{rtipli ózgeriwshilerge ajırılatuǵın differencial teńleme  

      

 

       

 

         

 

       

 

                      (7.4) 

túrde beriledi. Bunda  

 

    h{m  

 

    tek x tıń, al  

 

     h{m  

 

    tek y 

tıń funkciyaları.  (7.4) teńlemeni                           

 

       

 

    kóbeymesine 

aǵzama-aǵza bólsek  

                    

 

 

   

 

 

   

      

 

 

   

 

 

   

                                (7.5) 

teńlikke iye bolamız. Bul teńliktiń shep jaǵı tek y ten ǵ{rezli.  Demek, shep 

jaǵın bazı bir      tıń differencialı, al oń jaǵı bazı bir Ф    tıń differencialı 

dep esaplawǵa boladı,  olay bolsa (7.5) teńlikten        Ф        yamasa: 

             ∫

 

 

   

 

 

   

       ∫

 

 

   

 

 

   

                             (7.6) 

kelip shıǵadı. Bul (7.4) teńliktiń ulıwma integralı boladı.  

  1-misal.  √     

 

      √     

 

       teńlemesin sheshiń. 

---

  Sheshiliwi. Berilgen teńlemeni √     

 

  √     

 

 kóbeymesine aǵzama-

aǵza bólsek:   

                    

 

√   

 

    

 

√   

 

          

kelip shıǵadı. Integral alsaq:  

              ∫

   

√   

 

  ∫

   

√   

 

   

 

   √     

 

  √     

 

   

 

 

yamasa      

                           √     

 

  √     

 

    

bul teńliktiń shep jaǵı korenlerdiń arifmetikalıq m{nisleriniń qosındısı 

bolǵanlıqtan       

 

   . 

  Mısalı: (Ekonomikalıq) Eger          ortasha miynet ónimdarlıǵı bolsa 

onıń elastikligi 

 

 

   

    

  funkciyası arqalı kórsetiledi. Bul elastiklik 

ózgermeytuǵın bolǵanda     

 

 

   

    

  ,           , differencial teńlemesine 

iye bolamız. Bul ózgeriwshiler ajıratılatuǵın differencial teńleme. Onı 

integrallasaq 

                             ∫

 

 

   

    

     ∫

 

 

    

bunnan                             

                      

 

          

 Bul funkciya Kobba-Duglas funkciyası ushın ortasha miynet 

ónimdarlıǵınan ibarat. 

   

 

 

 

 

 

---