Mazmuni 1-lekciya. Ózlik emes integrallar

Geometriyalıq qatar  

∑   

   

 

   

  

eger | |      bolsa qatar jıynaqlı, eger | |      bolsa tarqalıwshı. 

Garmoniklıq qatar  

∑

 

 

 

   

 

tarqalıwshı;   

3.   Keńeytirilgen garmoniklıq qatar:  

    

∑

 

 

 

 

   

     

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

                         

eger       jıynaqlı, eger        bolsa tarqalıwshı; 

Mısal.    

 

   

 

 

   

 

     

 

   

   

      (   

 

 

   ) 

qatarın jıynaqlılıqqa izertleń.  

Sheshiliwi: Berilgen qatardı jıynqlı  

   

 

   

 

 

   

 

     

 

   

   

      (   

 

 

   )    geometriyalıq  qatar  menen 

salıstırsaq.  Berilgen  qatardıń  aǵzalarınan  kishi  (

 

   

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

   h{m 

ulıwma 

 

   

   

 

 

 

   

)  bolǵanlıqtan,  salıstırıw  belgisi  tiykarında  berilgen 

qatar jıynaqlı.   

 

 2-teorema. (Sheklik salıstırıw belgisi)

 Eger oo aǵzalı  

---

∑  

 

 

   

                   

h{m  

∑  

 

 

   

              

 qatarlar  berilip,  olardıń  ulıwma  aǵzalarınıń  qatnası  shekli  shekke  iye 

bolsa, yaǵnıy  

   

   

 

 

 

 

           

onda qatarlar bir waqıtta jıynaqlı yamasa tarqalıwshı boladı. 

 1-mısal.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

    qatarın jıynaqlılıqqa tekseriń. 

Sheshiliwi:    Bul  qatardıń  ulıwma  aǵzasın 

 

   

 

 

   

 

 

   

     

 

       

    

jıynaqlı qatardıń ulıwma aǵzası menen salıstırsaq:  

                                                             

 

 

 

 

 

       

. 

   3-teorema. (Dalamber belgisi) Meyli oń aǵzalı                    

∑  

 

 

   

 

   qatarınıń (n+1) aǵzasınıń, n-aǵzasına qatnasınıń shegi bar bolsın, yaǵnıy  

   

   

 

   

 

 

     

Onda  eger       bolsa  qatar  jıynaqlı,  eger         bolsa  qatar  tarqalıwshı, 

eger       bolsa qatardıń jıynaqlılıǵı belgisiz boladı.  

Eger 

   

   

 

   

 

 

    

bolsa, qatar tarqalıwshı.   

2-mısal. Ulıwma aǵzası   

 

 

 

 

 

 bolǵan qatardı jıynaqlılıqqa tekseriń.    

Sheshiliwi:  

 

   

 

 

 qatnasın tabamız. 

                        

   

 

   

 

   

           

 

 

 

 

 

            

   

   

 

   

 

 

     

   

(

     

 

   

 

 

 

 

)      

   

(

     

  

)  

 

 

    

bunnan Dalmaber belgisi boyınsha jıynaqlı.  

---

4-teorema. (Jıynaqlılıqtıń integrallıq belgisi)

 

Meyli oo aǵzalı ósiwshi emes    

 

 

   

 

       

 

      

∑  

 

 

   

 

qatarı  berilgen  bolsın  h{m  f(x)  funkciyası        bolǵanda  úzliksiz  h{m 

ósiwshi emes h{m   

                                

 

          

 

              

 

           (4.3) 

onda    

∑  

 

 

   

 

qatarı jıynaqlı bolıwı ushın                              

∫       

 

 

 

ózlik emes integralınıń jıynaqlılıǵı z{rúrli h{m jeterli.  

  Mısal.  

∑

 

 

 

 

   

 

keńeytirilgen garmoniklıq qatardıń jıynaqlılıǵın izertleń.  

  Sheshiliwi:  Meyli       

 

 

 

 funkciyası         bolǵanda  oń  h{m  ósiwshi 

emes 

bolsın. 

Sonlıqtanda 

qatardıń 

jıynaqlılıǵı  

∫

  

 

 

 

 

 

ózlik emes integralınıń jıynaqlılıǵı menen teń kúshli:  

1. 

    ∫

  

 

 

 

 

     

   

∫

  

 

 

 

 

   

eger       bolsa,   

       

   

(  | ||

 

 

)      

   

   | |     | |       

eger       bolsa 

---

       

   

(

 

    

      

|

 

 

)  

 

     

   

   

  

   

       {

 

     

             

             

 

Solay etip berilgen qatar       bolsa jıynaqlı,       bolsa tarqalıwshı; 

 

                Aǵzaları qálegen belgidegi qatarlar 

  Belgileri  gezeklesip  ózgeretuǵın  qatarlar  degende  biz  aǵzaları  gezeklesip 

oń h{m teris bolatuǵın qatardı túsinemiz:   

             

 

   

 

   

 

   

 

          

   

 

 

     

bunda  

 

     

  Teorema. (Leybnic belgisi)

 Belgileri gezeklesip ózgeretuǵın qatardıo  aǵzaları 

absolyut shamaları boyınsha kemeyiwshi bolsa,  

 

   

 

       

 

 hám onıo  

ulıwma aǵzasınıo limiti       de nolge teo bolsa, 

   

   

 

 

     

onda qatar jıynaqlı, al onıń qosındısı birinshi aǵzasınan aspaydı.      

 

 . 

 Belgileri  ózgermeli  

 

   

 

       

 

    qatarınıń  q{legen    

 

 aǵzası  oń 

yamasa teris belgige iye bolıwı múmkin.   

Teorema. (Belgileri ózgermeli qatardıń jıynaqlılıǵınıń jeterli shárti).

 Bazı bir 

qatar (3.1) qatardıń aǵzalarınıń absolyut shamalarınan dúzilgen bolıp                   

                      | 

 

|   | 

 

|       | 

 

|                                          (4.4)  

ol (4.4)  jıynaqlı bolsa, berilgen qatarda jıynaqlı boladı.  

 1-anıqlama.  Egerde  qatardıń  ózi  h{m  onıń  aǵzalarınıń  absolyut 

shamalarınan dúzilgen qatarda jıynaqlı bolsa, onda berilgen qatar absolyut 

jıynaqlı dep ataladı.     

2-anıqlama.  Egerde  qatardıń  ózi  bolıp,  onıń  aǵzalarınıń  absolyut 

shamalarınan dúzilgen qatar tarqalıwshı bolsa, onda berilgen qatar sh{rtli 

jıynaqlı dep ataladı. 

Mısal.   

∑

    

   

 

 

 

   

 

qatarı-absolyut jıynaqlı.   

---

  Al  

∑

    

   

 

 

   

 

qatarı sh{rtli jıynaqlı.  

  Absolyut  h{m  sh{rtli  jıynaqlı  qatarlardıń  q{siyetleri  bir-birinen 

aytarlıqtay  parıq  qılmaydı.  Absolyut  jıynaqlı  qatarlar  shekli  summanı 

esletedi,  olardı  qosıwǵa,  kóbeytiwge,  aǵzalarınıń  orınların  almastırıwǵa 

boladı. Al sh{rtli jıynaqlı qatarlar bunday q{siyetke iye emes.        

 

 

 

 

 

 

5 – Lekciya.  Funkciyanal qatarlar 

 

Aģzaları funkciyalardan ibarat bolģan qatarlardı qaraymız: 

 

 

       

 

            

 

         

 

    

Bunday  qatarlar  funkciyanal  qatarlar  dep  ataladı,  bul  jerde     

 

     

 

 

            

 

         funciyalardıń barlıģı qandayda bir shekli yaki sheksiz 

aralıqta anıqlanģan h{m úzliksiz funkciyalar. 

    qatardıń  d{slepki  n  aģzası  qosındısı    

 

       

 

       

 

            

 

     

               funkciyanı    qatardıń dara qosındısı dep ataymız.  

Dara qosındılar { 

 

   } izbe-izligin qaraymız. 

Anıqlama.  Eger  anıqlanıw  oblastı  G  kópliginen  ibarat  { 

 

   } 

funkciyanal  izbe-izlig  D  umtılıwshı  oblastına  iye  bolıp,  bul  oblastta 

qandayda bir      funkciyaģa umtılsa, yaģnıy 

---

            

   

 

 

    

bolsa,       qatar  D  kóplikte  umtılıwshı  (h{r  bir  noqatında),          bolsa      

qatardıń qosındısı delinedi. 

Bul jaģdayda  

 

 

       

 

       

 

            

 

         

dep jazıladı.  

 

1-mısal. ∑

 

            

 

   

  qatar umtılıw oblastın h{m qosındısın 

tabıń. 

 

Sheshiliwi.  

 

     

 

            

                funkciyalar        h{m 

             noqatlarda anıqlanbaģan. Usı sebepli bul qatardı        

        bolģan noqatlarda tekseremiz. Qatardıń ulıwma aģzası  

 

     

 

     

 

 

       

 dep jazıp alıw múmkin. 

Usı sebepli 

 

 

     

 

              

 

 

              

        

 

                  

  

  (

 

     

 

 

     

)   (

 

     

 

 

     

)          (

 

     

 

 

         

)

 

 

     

 

 

         

 

 

 

Bunnan 

   

   

 

 

         

   

(

 

     

 

 

         

)  

 

     

 

 

Demek, berilgen qatar                noqatlarda umtılıwshı boladı 

h{m onıń qosındısı  

 

   

 ge teń. 

 

Funkciyanal qatarlar ushın sanlı qatarlardıń tiykarģı q{siyetlerinen 

kelip shıģatuģın tómendegiler orınlı: 

---

1)  Eger     qatardıń h{r bir aģzasın nólden ayrıqsha sanģa yaki     

qatardıń umtılıw oblastında nólden ayrıqsha m{nis qabıl qılatuģın 

funkciyaģa kóbeytsek, qatardıń umtılıw oblastı ózgermeydi. 

2)      funkciyanal qatardıń bir neshe aģzaların alıp taslaw yaki     

qatarģa shekli sandaģı jańa aģzalardı qosıw (    Qatar umtılıw 

oblastında anıqlanģan) n{tiyjesinde qatardıń jaqınlasıw oblastı 

ózgermeydi. 

Eger  ∑

 

 

  

 

 

 

   

 qatar  absolyut  umtılsa,  ol  jaģdayda       qatar   

 

 

noqatta  absolyut  umtılıwshı  delinedi.  Eger       Qatar  kópliktiń  h{r  bir 

noqatında  absolyut  umtılsa,  ol  jaģdayda  Qatar  usı  kóplikte  absolyut 

umtılıwshı delinedi. 

2-mısal. ∑

 

 

  

     

 

   

 qatardıń umtılıw oblastın tabıń. 

Sheshiliwi.     argument  m{nisin  tańlap  alamız  h{m  ulıwma  aģzasın 

 

 

     

 

 

  

 bolģan j{rdemshi qatardı qaraymız. Dalamber belgisine qaray    

tiń h{r bir m{nisinde 

   

   

|

 

   

 

 

|      

   

(

 

   

      

 

 

  

)      

   

| |

   

    boladı,  h{m  bunnan ∑

 

 

  

 

   

  

qatardıń absolyut umtılıwshı ekenligi kelip shıģadı. 

Q{legen     ushın  |

 

 

  

     |   |

 

 

  

|   | 

 

|  bolģanlıģı  sebepli,  salıstırıw 

teoremasına  qaray  berilgen  qatar     tiń  q{legen  m{nisinde  umtılıwshı 

boladı. Solay etip, qatardıń umtılıw oblastı          aralıqtan ibarat.