Maydonning oddiy kengaytmasi. Maydonning chekli va murakkab kengaytmalari

II.2. Sonli holatda multiplikativlik formulasining isboti
Yilda xarakterli 0, har bir cheklangan kengaytma uchun oddiy kengaytma. Bu ibtidoiy element teoremasi, bu nolga teng bo'lmagan xarakteristikalar uchun to'g'ri kelmaydi.Agar oddiy kengaytma bo'lsa K(s) / K sonli emas, maydon K(s) maydoni uchun izomorfdir ratsional kasrlar yilda s ustida K. Notation L / K sof rasmiy va a shakllanishini anglatmaydi uzuk yoki kvant guruhi yoki boshqa har qanday bo'linish. Buning o'rniga chiziq "over" so'zini ifodalaydi. Ba'zi adabiyotlarda yozuvlar L:K ishlatilgan.Kichik maydon aslida kattaroq maydonda mavjud bo'lmagan, ammo tabiiy ravishda joylashtirilgan holatlarda, odatda, maydon kengaytmalari haqida gapirish maqsadga muvofiqdir. Shu maqsadda, kimdir maydon kengaytmasini mavhum ravishda an deb belgilaydi in'ektsion halqa gomomorfizmi ikki maydon o'rtasida.Har bir maydonlar orasidagi nolga teng bo'lmagan halqali homomorfizm in'ektsiondir, chunki maydonlar noan'anaviy ideallarga ega emas, shuning uchun maydon kengaytmalari aniq morfizmlar ichida maydonlar toifasi. Bundan buyon biz in'ektsion gomomorfizmni bostiramiz va biz haqiqiy pastki maydonlar bilan ishlaymiz deb o'ylaymiz.Misollar:
Kompleks sonlar maydoni maydonining kengaytirilgan maydoni haqiqiy raqamlar va o'z navbatida ratsional sonlar maydonining kengayish maydoni Shubhasiz, shuningdek, maydon kengaytmasi. Bizda ... bor chunki asosdir, shuning uchun kengaytma cheklangan. Bu oddiy kengaytma, chunki (the doimiylikning kardinalligi), shuning uchun bu kengaytma cheksizdir.Maydonning kengaytma maydoni Bundan tashqari, oddiy oddiy kengaytma. Daraja 2 ga teng, chunki asos bo'lib xizmat qilishi mumkin.ikkalasining ham kengayish maydoni va navbati bilan 2 va 4 daraja. Bundan tashqari, bu oddiy kengaytma, chunki buni ko'rsatish mumkinNing so'nggi kengaytmalari ham deyiladi algebraik sonlar maydonlari va muhimdir sonlar nazariyasi. Raqsiyatlarning yana bir kengayish sohasi, bu raqamlar nazariyasida ham muhimdir, garchi cheklangan kengaytma bo'lmasa ham, bu maydon p-adik raqamlar asosiy raqam uchun p.
Berilgan maydonning kengaytma maydonini qurish odatiy holdir K kabi uzuk ning polinom halqasi K[X] "yaratish" uchun a ildiz berilgan polinom uchun f(X). Masalan, shunday deylik K hech qanday elementni o'z ichiga olmaydi x bilan x2 = -1. Keyin polinom bu qisqartirilmaydi yilda K[X], natijada ideal bu polinom hosil qiladi maksimalva ning kengaytma maydoni K qaysi qiladi kvadratiga teng bo'lgan elementni o'z ichiga oladi (ya'ni qoldiq sinfi X).Yuqoridagi konstruktsiyani takrorlash orqali a ni tuzish mumkin bo'linish maydoni dan har qanday polinom K[X]. Bu kengaytma maydoni L ning K unda berilgan polinom chiziqli omillar ko'paytmasiga bo'linadi.
Agar p har qanday asosiy raqam va n musbat tamsayı, bizda a bor cheklangan maydon GF (pn) bilan pn elementlar; bu cheklangan maydonning kengaytma maydoni bilan p elementlar.Maydon berilgan K, maydonni ko'rib chiqishimiz mumkin K(X) hammasidan ratsional funktsiyalar o'zgaruvchida X koeffitsientlari bilan K; ning elementlari K(X) ikkitaning kasrlari polinomlar ustida Kva haqiqatan ham K(X) bo'ladi kasrlar maydoni polinom halqasining K[X]. Ratsional funktsiyalarning ushbu sohasi kengaytma maydonidir K. Ushbu kengaytma cheksizdir.Berilgan Riemann yuzasi M, barchasi to'plami meromorfik funktsiyalar bo'yicha belgilangan M bilan belgilangan maydon Bu transandantal kengayish maydoni agar biz har bir murakkab sonni mos keladigan bilan aniqlasak doimiy funktsiya bo'yicha belgilangan M. Odatda, an algebraik xilma V ba'zi bir sohada K, keyin funktsiya maydoni ning Vbo'yicha aniqlangan ratsional funktsiyalardan iborat V va bilan belgilanadi K(V) kengaytma maydoni K.
Element x maydon kengaytmasi L / K algebraik hisoblanadi K agar u bo'lsa ildiz noldan polinom koeffitsientlari bilan K. Masalan, ratsional sonlar ustida algebraik hisoblanadi, chunki u ning ildizi Agar element bo'lsa x ning L algebraik hisoblanadi K, monik polinom ega bo'lgan eng past daraja x ildiz sifatida the deyiladi minimal polinom ning x. Bu minimal polinom qisqartirilmaydi ustida K.
Element s ning L algebraik hisoblanadi K agar va faqat oddiy kengaytma bo'lsa K(s) /K cheklangan kengaytma. Bu holda kengayish darajasi minimal polinom darajasiga, va ning asosiga teng bo'ladi K-vektor maydoni K(s) dan iborat qayerda d minimal polinomning darajasi.N ning elementlari to'plami L algebraik K deb nomlangan pastki kengaytmani hosil qiling algebraik yopilish ning K yilda L. Bu avvalgi tavsifdan kelib chiqadi: agar s va t algebraik, kengaytmalari K(s) /K va K(s)(t) /K(s) cheklangan. Shunday qilib K(s, t) /K pastki kengaytmalar qatori cheklangan K(s ± t) /K, K(st) /K va K(1/s) /K (agar s ≠ 0). Bundan kelib chiqadiki s ± t, st va 1 /s barchasi algebraikdir. An algebraik kengayish L / K ning har bir elementi shunday kengaytma L algebraik hisoblanadi K. Teng ravishda, algebraik kengaytma - bu algebraik elementlar tomonidan hosil qilingan kengaytma. Masalan, ning algebraik kengaytmasi  oddiy kengaytma algebraik hisoblanadi agar va faqat agar bu cheklangan. Bu shuni anglatadiki, kengaytma algebraik, agar u faqat uning cheklangan pastki kengaytmalarining birlashishi bo'lsa va har bir sonli kengaytma algebraik bo'lsa.
Har bir soha K algebraik yopilishga ega, ya'ni qadar izomorfizmning eng katta kengayish maydoni K bu algebraik K, shuningdek, koeffitsientli har bir polinom kabi eng kichik kengayish maydoni K unda ildiz bor. Masalan, ning algebraik yopilishi ammo algebraik yopilishi emas chunki u algebraik emas (masalan π algebraik emas ).Maydon kengaytmasi berilgan L / K, ichki qism S ning L deyiladi algebraik jihatdan mustaqil ustida K agar koeffitsientlari bilan ahamiyatsiz polinom aloqasi bo'lmasa K elementlari orasida mavjud S. Algebraik mustaqil to'plamning eng katta kardinalligi deyiladi transsendensiya darajasi ning L/K. Har doim to'plamni topish mumkin S, algebraik jihatdan mustaqil K, shu kabi L/K(S) algebraik hisoblanadi. Bunday to'plam S deyiladi a transsendensiya asoslari ning L/K. Barcha transsendensiya asoslari kengayishning transsendensiya darajasiga teng bo'lgan bir xil kardinallikka ega. Kengaytma L/K deb aytilgan mutlaqo transandantal agar va faqat transsendensiya asosi mavjud bo'lsa S ning L/K shu kabi L = K(S). Bunday kengaytmaning barcha elementlari xususiyatiga ega L ulardan tashqari K transandantaldir K, ammo, bu xususiyat bilan faqat transandantal bo'lmagan kengaytmalar mavjud - bunday kengaytmalar klassi shaklga ega L/K ikkalasi ham L va K algebraik tarzda yopilgan. Bundan tashqari, agar L/K faqat transandantal va S kengaytmaning transsendensiya asosidir, bunga amal qilish shart emas L = K(S). Masalan, kengaytmani ko'rib chiqing qayerda x transandantaldir To'plam beri algebraik jihatdan mustaqil x transandantaldir. Shubhasiz, kengaytma algebraik, shuning uchun transsendensiya asosidir. Bu butun kengaytmani yaratmaydi, chunki polinom ifodasi yo'q uchun . Ammo buni ko'rish oson hosil qiluvchi transsendensiya asosidir shuning uchun bu kengaytma haqiqatan ham transandantaldir.)

Oddiy, ajratiladigan va Galois kengaytmalari

Algebraik kengaytma L/K deyiladi normal agar har biri bo'lsa kamaytirilmaydigan polinom yilda K[X] ning ildizi bor L butunlay faktorlarni chiziqli omillarga L. Har qanday algebraik kengaytma F/K normal yopilishini tan oladi L, kengaytma maydoni bo'lgan F shu kabi L/K normal va bu xususiyat bilan minimal bo'lgan narsa.Algebraik kengaytma L/K deyiladi ajratiladigan agar ning har bir elementining minimal polinomi bo'lsa L ustida K bu ajratiladigan, ya'ni algebraik yopilishida takrorlanadigan ildizlarga ega emas K. A Galois kengaytmasi ham normal, ham ajratiladigan maydon kengaytmasi.N ning natijasi ibtidoiy element teoremasi har bir sonli ajratiladigan kengaytma ibtidoiy elementga ega ekanligini bildiradi (ya'ni oddiy).
Har qanday maydon kengaytmasi berilgan L/K, biz buni ko'rib chiqishimiz mumkin avtomorfizm guruhi Avtomatik (L/K), barcha maydonlardan iborat avtomorfizmlar a: L → L bilan a(x) = x Barcha uchun x yilda K. Kengaytma Galois bo'lganda, bu avtomorfizm guruhi Galois guruhi kengaytmaning.
Galois guruhi bo'lgan kengaytmalar abeliya deyiladi abeliya kengaytmalari.Belgilangan maydon kengaytmasi uchun L/K, ko'pincha qidiruv sohalar qiziqtiradi F (pastki maydonlari L o'z ichiga olgan K). Galois kengaytmalari va Galois guruhlarining ahamiyati shundaki, ular oraliq maydonlarni to'liq tavsiflashga imkon beradi: bijection oraliq maydonlar va kichik guruhlar tomonidan tasvirlangan Galois guruhining Galua nazariyasining asosiy teoremasi.Dala kengaytmalarini umumlashtirish mumkin uzuk kengaytmalari dan iborat bo'lgan uzuk va uning biri subrings. Kommutativ bo'lmagan analogga yaqinroq markaziy oddiy algebralar (CSA) - maydon bo'ylab uzuk kengaytmalari oddiy algebra (xuddi maydon uchun bo'lgani kabi ahamiyatsiz ikki tomonlama ideallar mavjud emas) va halqa markazi aynan shu maydon. Masalan, haqiqiy sonlarning yagona sonli maydon kengaytmasi bu murakkab sonlar, kvaternionlar esa reallar ustida markaziy oddiy algebra, reallar ustidagi barcha CSAlar esa Brauer ekvivalenti reallarga yoki kvaternionlarga. CSA-larni yanada umumlashtirish mumkin Azumaya algebralari, bu erda asosiy maydon kommutativ bilan almashtiriladi mahalliy halqa.
Maydon kengaytmasi berilgan bo'lsa, "skalerlarni kengaytirish"bog'liq algebraik ob'ektlarda. Masalan, haqiqiy vektorli bo'shliqni hisobga olgan holda, orqali murakkab vektorli bo'shliqni hosil qilish mumkin murakkablashuv. Vektorli bo'shliqlardan tashqari, uchun skalyarlarni kengaytirishni amalga oshirish mumkin assotsiativ algebralar maydon bo'yicha aniqlangan, masalan, polinomlar yoki guruh algebralari va tegishli guruh vakolatxonalari. Polinomlarning skalerlarini kengaytirish ko'pincha koeffitsientlarni kattaroq maydon elementlari deb hisoblash bilan bevosita, lekin rasmiyroq ham ko'rib chiqilishi mumkin. Skalerlarning kengaytirilishi ko'plab dasturlarga ega skalar kengaytmasi: dasturlar.buni ko'rsatib turibdi x ning chiziqli birikmasi sizmwn dan koeffitsientlar bilan K; boshqacha qilib aytganda ular tarqaladi M ustida K.Ikkinchidan, ularning mavjudligini tekshirishimiz kerak chiziqli mustaqil ustida K. Shunday qilib, taxmin qiling ba'zi koeffitsientlar uchun bm,n yilda K. Distributivlik va assotsiativlikdan yana foydalanib, biz shartlarni quyidagicha guruhlashimiz mumkin va biz qavs ichidagi atamalar nolga teng bo'lishi kerakligini ko'ramiz, chunki ular elementlardir L, va wn chiziqli mustaqil L. Anavi,har biriga n. Keyin, beri bm,n koeffitsientlar ichida K, va sizm chiziqli mustaqil K, bizda shunday bo'lishi kerak bm,n = 0 hamma uchun m va barchasi n. Bu elementlarning ekanligini ko'rsatadi sizmwn chiziqli mustaqil K. Bu dalilni yakunlaydi.

Formulaning cheksiz holatda isboti

Bunday hollarda biz bazalardan boshlaymiz siza va wβ  ning L/K va M/L tegishlicha, bu erda a indeksatsiya to'plamidan olinadi A, va β indeksatsiya to'plamidan B. Yuqoridagi kabi to'liq o'xshash dalillardan foydalanib, biz mahsulotlarni topamiz sizawβ uchun asos yaratadi M/K. Ular indekslanadi kartezian mahsuloti A × B, ta'rifi bo'yicha kardinallik ning kardinalliklari ko'paytmasiga teng A va B.

Misollar:

Murakkab sonlar maydon kengaytmasi haqiqiy raqamlar daraja bilan [C:R] = 2, va shuning uchun ahamiyatsiz narsa yo'q dalalar ular orasida.

• 
  Maydon kengaytmasi Q(√2, √3) ulashgan holda olingan √2 va √3 dalaga Q ning ratsional sonlar, 4 darajaga ega, ya'ni [Q(√2, √3):Q] = 4. oraliq maydon Q(√2) 2 darajadan yuqori Q; multiplikativlik formulasidan xulosa qilamiz [Q(√2, √3):Q(√2)] = 4/2 = 2.
  
• 
  The cheklangan maydon (Galois maydoni) GF(125) = GF(53) pastki maydonida 3 darajaga ega GF(5). Umuman olganda, agar p asosiy va n, m bilan musbat tamsayılar mavjud n bo'linish m, keyin [GF(pm):GF(pn)] = m/n.
  
• 
  Maydon kengaytmasi C(T)/C, qayerda C(T) ning maydoni ratsional funktsiyalar ustida C, cheksiz darajaga ega (aslida u a mutlaqo transandantal kengaytma). Buni 1, T, T2va boshqalar, chiziqli ravishda mustaqil C.
  
• 
  Maydon kengaytmasi C(T2) shuningdek, cheksiz darajaga ega C. Ammo, agar biz ko'rib chiqsak C(T2) ning pastki maydoni sifatida C(T), keyin aslida [C(T):C(T2)] = 2. Umuman olganda, agar X va Y bor algebraik egri chiziqlar maydon ustida Kva F : X → Y daraja ular orasidagi sur'ektiv morfizmdir d, keyin funktsiya maydonlari K(X) va K(Y) ikkalasi ham cheksiz darajada tugadi K, lekin darajasi [K(X):K(Y)] ga teng bo'lib chiqadi d. Umumlashtirish:
  

Ikki berilgan bo'linish uzuklari E va F bilan F tarkibida E va ko'paytmasi va qo'shilishi F operatsiyalarni cheklash E, biz ko'rib chiqishimiz mumkin E vektor maydoni sifatida F ikki yo'l bilan: skalar chap tomonda harakat qilib, o'lchamini beradi [E:F]lva ularni o'ng tomonda harakat qilib, o'lchamini berish [E:F]r. Ikki o'lchov bir-biriga mos kelmasligi kerak. Ikkala o'lcham ham bo'linish halqalari minoralari uchun ko'paytma formulasini qondiradi; yuqoridagi dalil o'zgarishsiz ishlaydigan skalerlarga tegishli.

L halqa butunlik sohasi bo’lsin. KczL bo’lib К va x\,x2,...jcmGL bo’lsin. Ta’rif. L halqaning qism xalqasi va shu L dagi xi,x2,...,xm elementlami o’z ichiga oluvchi К xalqaning minimal kengaytmasi К halqa va elementlar yaratgan L halqaning qism halqasi deyiladi va u K[*i,Jt2,...,xm] orqali belgilanadi. Boshqacha aytganda K[xi,x2,...,jcm] xalqa К ning qism xalqasi sifatida va 34 xir*2vv*m elementlami o’z ichiga oluvchi L halqaning barcha qism halqalari kesishmasi bo’ladi. Ta’rif. Quyidagi induktivlik formulasi orqali aniqlanadigan AT[jci][*2]...[ xm] halqam К halqaning m karrali kengaytmasi deyiladi: 1. K[x1][х2]=(К[х1])[х2]. 2. K[xi][x2].• [*m ]=K[x1][х2].. [дГт-1])[хт].

Teorema. К halqa L halqaning kommutativ qism halqasi va xi,x2,...,xmsL bo’lsa, u holda ATfxi, x2, дгт] tenglik o’rinli bo’ladi. Ta’rif. Agar {l,2,...,m} to’plamning xitiyoriy s elementi uchun К[х\,хг,...ух^ halqa xs element orqali AT[xi,;t2,...,*8-i] halqaning oddiy transtsendent kengaytmasi bo’lsa, u holda K[х1,х2^,...Лп] halqani К halqaning m karrali transtsendent kengaytmasi deyiladi. Bunda a*e K. n ta noma’lumli ko’phadlar yiljindisi yoki ayirmasi o’xshash hadlami ixchamlash kabi topiladi. Ikkita ko’p noma’lumli ko’phadlar ko’paytmasini topishda birinchi ko’phadning har bir hadini ikkinchi ko’phadning har bir hadiga ko’paytirib, natijalar qo’shiladi, so’ng o’xshash hadlar ixchamlanadi. К maydon ustidagi ixtiyoriy ikkita ko’p noma’lumli ko’phadning yiljindisi, ayirmasi, ko’paytmasi, ya’ni К maydon ustidagi ko’phadlar bo’ladi. Shu sababli К maydon ustidagi ko’p noma’lumli ko’phadlar to’plami kommutativ halqa tashkil etadi. Bu halqani К [хь*2>--,*п] ko’rinishda belgilanadi.

Ta’rif. n ta noma’lumli ko’phadning darajasi deb, bu ko’phaddagi qo’shiluvchilar daraj alarming kattasiga aytiladi. Misol. f(x,y,z)= x2y-2*yz+3*yz4+7 ko’phad 6-darajali ko’pxad bo’ladi.

Ta’rif. Barcha qo’shiluvchilarining darajalari bir xil bo’lgan ko’phadga bir jinsli ko’phad yoki forma deyiladi. Misol. f(jc,y,z)=2jcyz-3x2y+4yz2, f(x,y)=2jc2-jcy+y2 ko’phadlar bir jinsli ko’phad bo’ladi. Bu misolda birinchi ko’phad kubik forma, ikkinchi ko’phad kvadratik forma deyiladi.

XULOSA
Xulosa qilib aytganda, Ixtiyoriy polinom f ba'zi sohalarda koeffitsientlar bilan F bor deyiladi aniq ildizlar yoki bo'lish kvadratsiz agar bo'lsa deg (f) ba'zilarida ildizlar kengaytma maydoni . Masalan, polinom g(X) = X2 – 1 aniq bor deg (g) = 2 murakkab tekislikdagi ildizlar; ya'ni 1 va –1va shuning uchun bor aniq ildizlar. Boshqa tomondan, polinom h(X) = (X – 2)2, bu doimiy bo'lmagan polinomning kvadrati emas aniq ildizlarga ega, chunki uning darajasi ikkitadir va 2 uning yagona ildizi.
Har bir polinomni chiziqli omillarda hisobga olish mumkin algebraik yopilish uning koeffitsientlari maydoni. Shuning uchun, agar ko'pburchak musbat darajadagi polinom kvadratiga bo'linadigan bo'lsa, u holda alohida ildizlarga ega bo'lmaydi. Agar shunday bo'lsa, bu shunday bo'ladi eng katta umumiy bo'luvchi polinomning va uning lotin doimiy emas. Shunday qilib, polinom kvadratsiz bo'lsa, sinov uchun har qanday kengaytmani aniq ko'rib chiqish va ildizlarni hisoblash kerak emas.
Shu nuqtai nazardan, qisqartirilmaydigan polinomlar masalasi biroz ehtiyotkorlikni talab qiladi. Aftidan, kvadrat uchun bo'linish mumkin emasdek tuyulishi mumkin kamaytirilmaydigan polinom, o'zidan tashqari doimiy bo'luvchisi yo'q. Biroq, qisqartirilmaslik atrof-muhit maydoniga bog'liq va polinom kamaytirilmasligi mumkin F ning kengaytmasi bo'yicha qisqartirilishi mumkin F. Xuddi shunday, kvadratga bo'linish atrof-muhit maydoniga bog'liq.Agar kamaytirilmaydigan polinom f ustida F maydonning kengaytmasi bo'yicha kvadratga bo'linadi, keyin (yuqoridagi munozara bo'yicha) ning eng katta umumiy bo'luvchisi f va uning hosilasi f′ doimiy emas. Ning koeffitsientlari ekanligini unutmang f′ maydonlari bilan bir xil sohaga tegishli fva ikkita polinomning eng katta umumiy bo'luvchisi atrof-muhit maydoniga bog'liq emas, shuning uchun f va f′ ning koeffitsientlari mavjud F. Beri f ichida qisqartirilmaydi F, bu eng katta umumiy bo'luvchi shart f o'zi.Chunki darajasi f′ darajasidan qat'iyan kamroq f, ning hosilasi shundan kelib chiqadi f  nolga teng, bu shuni anglatadiki  xarakterli maydonning asosiy soni p va f yozilishi mumkin bu ajratiladigan, agar E ning ajraladigan yopilishi F yilda E. Agar shunday bo'lsa, bu shunday bo'ladi E tugadi F ajratiladigan elementlar bo'yicha.
  E maydon kengaytmalari, keyin E ajratilishi mumkin F agar va faqat agar E ajratilishi mumkin L va L ajratilishi mumkin F.Agar a cheklangan kengaytma (anavi E a F- cheklangan o'lchamdagi vektor maydoni), keyin quyidagilar tengdir.

1.