Maydonning oddiy kengaytmasi. Maydonning chekli va murakkab kengaytmalari

Misol 1. f(x)=x3+9jc-26 ko’phadning butun ildizi - 26 ozod hadning bo’luvchisi bo’lgan 2 bo’ladi. 2. f(jc)=4jc3-3jc-1 ko’phadning ratsional ildizlari *1=1, *23=-1/2 bo’ladi.

Ta’rif. Agar a son koeffitsientlari ratsional sonlardan iborat ko’phadning yoki algebraik tenglamaning ildizi bo’la olsa, u holda a son algebraik son, aks holda transtsendent son deyiladi. Bu ta’rifga ko’ra barcha ratsional sonlar algebraik sonlar bo’la oladi, chunki har qanday p/q ( q ^ ) ko’rinishdagi ratsional sonlar p-q;t=0 tenglamaning ildizi bo’la oladi. n, e sonlari transtsendent sonlardir. Hozirgi vaqtda transtsendent sonlar algebraik sonlarga nisbatan ko’proq ekanligi aniqlandi. Ta’rif. Agar a son koeffitsientlari Fi maydonga tegishli biror algebraik tenglamaning ildizi bo’lsa, u holda a son Fi maydonga nisbatan algebraik son, aks holda a son Fi maydonga nisbatan transtsendent son deyiladi.

Teorema. Ildizi a dan iborat bo’lgan keltirilmaydigan ko’phad nolinchi darajali ko’phad aniqligida yagonadir. Ta’rif. Fi maydon ustida keltirilmaydigan ko’phadning barcha ildizlari o’zaro qo’shma sonlar deyiladi. Ratsional sonlar o’z-o’ziga qo’shma deb hisoblanadi. Ratsional bo’lmagan har qanday son, darajasi ikkidan kichik bo’lmagan ko’phadning ildizidan iborat bo’lgani uchun ular qo’shma algebraik sonlarga ega.

Ta’rif. Fi maydon ustida bosh koeffitsienti 1 ga teng va keltirilmaydigan f(x) ko’phad a ildizga ega bo’lsa, u holda bu ko’phadning darajasi Fi maydonga nisbatan a algebraik sonning darajasi deyiladi, f(x) ko’phad esa Fi sonlar maydoni ustida minimal ko’phad deyiladi. Bu ta’rifga ko’ra f(x)= д^+4 ko’phad haqiqiy sonlar maydoni ustidagi minimal ko’phad bo’ladi.

Teorema. Agar a element F] maydon ustidagi algebraik element va g(x), (p(x) lar Fj maydonga ustidagi minimal ko’phadlar bo’lsa, u holda g(*)=(p(x) bo’ladi. 29 Isboti. g(x) va cp(x) minimal ko’phadlaming darajasi bir xil bo’ladi. Agar g(jt)^(p(x) bo’lsa, u holda a element (Fi maydon ustidagi n daraja) g(*)-cp(*) ko’phadnmg ildizi bo’ladi. Bu daraja esa q>(x) darajasidan (n dan kichik) kichik bo’ladi. Buningbo’lishi mumkin emas. Demak, g(x)=tp(x) bo’ladi.