Maydonning oddiy kengaytmasi. Maydonning chekli va murakkab kengaytmalari

II BOB. KENGAYTMANING DARAJASI HAQIDA UMUMIY MA’LUMOT

II.1. Darajalar uchun multiplikativlik formulasi
Yilda matematika, aniqrog'i maydon nazariyasi, maydonni kengaytirish darajasi ning "kattaligi" ning qo'pol o'lchovidir maydonni kengaytirish. Ushbu kontseptsiya matematikaning ko'plab qismlarida, jumladan, muhim rol o'ynaydi algebra va sonlar nazariyasi - haqiqatan ham har qanday sohada dalalar ko'zga ko'rinadigan darajada paydo bo'ladi.Aytaylik E/F a maydonni kengaytirish. Keyin E sifatida qaralishi mumkin vektor maydoni ustida F (skalar maydoni). The o'lchov bu vektor fazasining deyiladi maydonni kengaytirish darajasi, va u [E: F] bilan belgilanadi.Daraja cheklangan yoki cheksiz bo'lishi mumkin, maydon a deb nomlanadi cheklangan kengaytma yoki cheksiz kengayish shunga ko'ra. Kengaytma E/F ba'zan ba'zan oddiy deb ham aytiladi cheklangan agar bu cheklangan kengaytma bo'lsa; buni dalalarning o'zi bilan aralashtirmaslik kerak cheklangan maydonlar (juda ko'p elementlarga ega bo'lgan maydonlar).Darajani transsendensiya darajasi dala; Masalan, maydon Q(X) ning ratsional funktsiyalar cheksiz darajaga ega Q, lekin transsendensiya darajasi faqat 1 ga teng. A maydonida joylashgan uchta maydon berilgan minora, demoq K ning pastki maydoni L bu o'z navbatida subfild M, uchta kengaytma darajalari o'rtasida oddiy bog'liqlik mavjud L/K, M/L va M/K:

Boshqacha qilib aytganda, "pastki" dan "yuqori" maydonga o'tadigan daraja shunchaki "pastki" dan "o'rtaga", so'ngra "o'rta" dan "tepaga" o'tadigan darajalarning hosilasidir. Bunga juda o'xshash Lagranj teoremasi yilda guruh nazariyasi, bu guruhning tartibini buyurtma bilan va indeks kichik guruhning - albatta Galua nazariyasi bu o'xshashlik shunchaki tasodif emasligini ko'rsatadi.
Formula chekli va cheksiz darajadagi kengaytmalar uchun ham amal qiladi. Cheksiz holatda, mahsulot mahsulotlarining ma'nosida talqin etiladi asosiy raqamlar. Xususan, bu shuni anglatadiki, agar M/K cheklangan, keyin ikkalasi ham M/L va L/K cheklangan.
Agar M/K sonli, keyin formulalar o'rtasida yuzaga kelishi mumkin bo'lgan maydon turlariga kuchli cheklovlar qo'yadi M va K, oddiy arifmetik mulohazalar orqali. Masalan, agar daraja [M:K] a asosiy raqam p, keyin har qanday oraliq maydon uchun L, ikkita narsadan biri bo'lishi mumkin: yoki [M:L] = p va [L:K] = 1, bu holda L ga teng K, yoki [M:L] = 1 va [L:K] = p, bu holda L ga teng M. Shuning uchun, oraliq maydonlar mavjud emas (tashqari) M va K o'zlari).

Sonli holatda multiplikativlik formulasining isboti

Aytaylik K, L va M yuqoridagi darajadagi formuladagi kabi maydonlarning minorasini hosil qiling va ikkalasi ham d = [L:K] va e = [M:L] cheklangan. Bu biz a ni tanlashimiz mumkinligini anglatadi asos {siz1, ..., sizd} uchun L ustida Kva asos {w1, ..., we} uchun M ustida L. Biz elementlarni ko'rsatamiz sizmwn, uchun m 1, 2, ..., gacha d va n 1, 2, ..., gacha euchun asos yaratadi M/K; chunki aniq bor de ularning, bu o'lchov ekanligini isbotlaydi M/K bu de, bu kerakli natijadir.Avval biz ularni tekshiramiz oraliq M/K. Agar x ning har qanday elementidir M, keyin beri wn uchun asos yaratadi M ustida L, biz elementlarni topishimiz mumkin an yilda L shu kabi. Keyin, beri sizm uchun asos yaratadi L ustida K, biz elementlarni topishimiz mumkin bm,n yilda K har biri uchun shunday.Dala kengaytmalari algebraik sonlar nazariyasiva o'rganishda polinom ildizlari orqali Galua nazariyasi, va keng ishlatiladi algebraik geometriya.A pastki maydon a maydon L a kichik to'plam K ning L bu meros bo'lib o'tgan dala operatsiyalariga nisbatan maydon L. Bunga teng ravishda subfild - bu 1 ni o'z ichiga olgan kichik to'plamdir yopiq qo'shish, ayirish, ko'paytirish va qabul qilish operatsiyalari ostida teskari ning nolga teng bo'lmagan elementi L.Sifatida 1 – 1 = 0, oxirgi ta'rif shuni anglatadi K va L bir xil nol elementga ega.Masalan, ning maydoni ratsional sonlar ning subfildidir haqiqiy raqamlar, bu o'zi murakkab sonlarning pastki maydonidir. Umuman olganda, ratsional sonlar maydoni (yoki shunday) izomorfikning har qanday sohasidagi subfild xarakterli 0. Ularning xarakterli subfildning maydoni katta maydonning xarakteristikasi bilan bir xil.Agar K ning subfildidir L, keyin L bu kengaytma maydoni yoki oddiygina kengaytma ning K, va bu juft maydonlar a maydonni kengaytirish. Bunday maydon kengaytmasi belgilanadi L / K (o'qing "L ustida K"). Agar L ning kengaytmasi F, bu esa o'z navbatida kengaytmasi K, keyin F deyiladi oraliq maydon (yoki oraliq kengaytma yoki pastki kengaytma) ning L / K.
Maydon kengaytmasi berilgan L / K, katta maydon L a K-vektor maydoni. The o'lchov bu vektor fazasining deyiladi daraja kengaytmaning va [bilan belgilanadi L : K]. Kengayish darajasi 1 ga teng, agar ikkala maydon teng bo'lsa. Bunday holda, kengaytma a ahamiyatsiz kengaytma. 2 va 3 darajali kengaytmalar deyiladi kvadrat kengaytmalar va kub kengaytmalarinavbati bilan. A cheklangan kengaytma cheklangan darajaga ega bo'lgan kengaytma.Ikki kengaytma berilgan L / K va M / L, kengaytma M / K cheklangan va agar ikkalasi bo'lsa ham L / K va M / L cheklangan.Maydon kengaytmasi berilgan L / K va ichki qism S ning L, ning eng kichik kichik maydoni mavjud L o'z ichiga oladi K va S. Ning barcha pastki maydonlarining kesishishi L o'z ichiga olgan K va S, va bilan belgilanadi K(S). Biri shunday deydi K(S) maydon hosil qilingan tomonidan S ustida Kva bu S a ishlab chiqaruvchi to'plam ning K(S) ustida K. Qachon cheklangan, deb yozadi biri o'rniga va biri shunday deydi K(S) nihoyatda hosil bo'ladi K. Agar S bitta elementdan iborat s, kengaytma K(s) / K deyiladi a oddiy kengaytmava s deyiladi a ibtidoiy element kengaytmaning.Shaklning kengaytirilgan maydoni K(S) dan kelib chiqadi deyishadi birikma ning S ga K.