Kengaytma (metafizika) Extension (metaphysics)

Kengaytma (metafizika) - Extension (metaphysics)

Yilda metafizika, kengaytma ikkalasi ham "cho'zilgan" degan ma'noni anglatadi (lotincha: ekstensio) shuningdek, keyinchalik "makon egallash" va yaqinda o'z ichki aqliy idrokini tashqi dunyoga yoyish.

Haqida o'ylash tarixi kengaytma hech bo'lmaganda orqaga qaytarilishi mumkin Arxitalar'kosmosning cheksizligi uchun nayza o'xshashligi. Biror kishining qo'li yoki nayzasi haqiqat chekkasiga yetguncha qancha cho'zilishi mumkin? “Agar men osmonning eng chekkasiga kelganimda, qo'limni yoki tayog'imni tashqarida bo'lgan narsaga cho'zsam bo'ladimi yoki yo'qmi? Uni kengaytira olmaslik paradoksal bo'lar edi [kosmik tabiat haqidagi odatiy taxminlarimizni hisobga olgan holda].
Bunga qarama-qarshi bo'lishi mumkin kvant fizikasidagi hozirgi tushunchalar[kimga ko'ra?], qaerda Plank uzunligi, deyarli tasavvur qilib bo'lmaydigan darajada kichkina miqdor, nazariya qilingan masofa o'lchoviga erishishni anglatadi, barcha o'lchovlar ushbu o'lchovda faqatgina masofa yoki kengaytma kabi tortilishi mumkin bo'lgan o'lchamlarga bo'linadi.
Rene Dekart kengaytmani bir nechta o'lchamdagi mavjudlik xususiyati, keyinchalik Grassmanning n o'lchovli algebrasida kuzatilgan xususiyat deb ta'riflagan. Dekart uchun asosiy xarakteristikasi materiya kengaytma (res extensa) ning asosiy xarakteristikasi kabi aql bu deb o'yladi (res cogitans).
Nyuton
Tananing kengayishi bilan dekartiy identifikatsiyasini rad etgandan so'ng, Nyuton tanadan ajralib turadigan "harakatsiz mavjudot" - bo'shliq yoki kengaytmaning o'zi qanday bo'lganligi haqidagi savolga o'giriladi. U kengaytma uchun uchta mumkin bo'lgan ta'riflarni keltirib chiqaradi: bir turi sifatida modda; yoki bir turi sifatida baxtsiz hodisa (uchun standart falsafiy atama xususiyat: moddani oldindan aniqlash mumkin bo'lgan har qanday narsa); yoki "shunchaki hech narsa"(atomizmga ishora), bularning hammasini rad etadi. Buning o'rniga u" kengayishning "o'ziga xos mavjudlik rejimiga ega, u moddalar bilan ham, baxtsiz hodisalar bilan ham kelishmaydi".[1] Bu savol bilan kurashgandan so'ng, Nyuton kengaytmaning aniq ta'riflaridan birini taqdim etadi
Agar biz Dekart bilan ekstansiya tana deb aytsak, biz Ateizmga yo'lni taklif qilmaymizmi, chunki kengaytma mavjudot emas, balki abadiy mavjud bo'lgan va shuning uchun biz Xudo bilan hech qanday aloqasiz uning mutlaq g'oyasiga egamiz va shuning uchun biz Xudoning mavjud emasligini tasavvur qilish paytida uni mavjud deb tasavvur qila olasizmi?[1]
bu Shteynni Nyutonning kosmik kontseptsiyasi, kosmosning mavjudligi yoki kengayishi to'g'risida xulosa qilishga olib keladi. dan kelib chiqadi har qanday narsaning; ammo kengaytma mulk sifatida "meros qilib olgan" mavzuni talab qilmaydi; va uni hech kimni taxmin qilmasdan mavjud deb tasavvur qilish mumkin xususan Xudo ham qo'shgan. Boshqa tomondan, bu "har bir mavjudotning mehri".[1]
Lokk
Jon Lokk, yilda Inson tushunchasiga oid insho, kengaytmani tananing "faqat shu qattiq izchil qismlarning chekkalari orasidagi bo'shliq" deb ta'riflagan.[2] Bu tanaga ega bo'lgan bo'shliq. Lokk kengaytmani bilan birgalikda anglatadi mustahkamlik va o'tmaydiganlik, materiyaning boshqa birlamchi xususiyatlari.[3]
Kengayish falsafasida ham muhim rol o'ynaydi Baruch Spinoza, bu moddani (kengaytiradigan narsa) faqat bir xil turdagi moddalar bilan cheklash mumkin, ya'ni materiyani g'oyalar bilan cheklash mumkin emas va aksincha. Ushbu printsipdan u moddaning cheksizligini aniqlaydi. Ushbu cheksiz modda Spinoza chaqiradi Xudo, yoki undan ham yaxshiroq tabiatva u cheksiz kengayish va cheksiz ongga ega.
Cheksiz bo'linish kengaytma yoki miqdor, bo'linib, cheksiz bo'linib bo'lgach, nol miqdor darajasiga eta olmaydi degan fikrni anglatadi. Uni juda kichik yoki ahamiyatsiz miqdorga bo'lish mumkin, lekin nolga teng emas yoki umuman yo'q. Matematik yondashuvdan, xususan geometrik modellardan foydalanib, Gotfrid Leybnits va Dekart kengaytmaning cheksiz bo'linishini muhokama qildilar. Kesish asboblari mavjud emasligi sababli haqiqiy bo'linish cheklanishi mumkin, ammo uning kichik bo'laklarga bo'linish ehtimoli cheksizdir.
Hisoblash bir vaqtning o'zida bir xil maydonni egallagan ikki yoki undan ortiq kengaytmalarni nazarda tutadi. Bu, ko'ra maktab faylasuflar, mumkin emas; ushbu qarashga ko'ra, mavjudotlar (materiya yoki ruh) egallagan joyni faqat ruhlar yoki ma'naviy materiya egallashi mumkin.
So'nggi yillarda faylasuflar Devid Chalmers va Endi Klark 1998 yilda nashr etilgan "Kengaytirilgan aql. "Bu epistemologiya, aql falsafasi, kognitiv va neyro-fan, dinamik tizimlar tafakkuri, fan, texnika va innovatsiyalarni o'rganish bo'yicha yangi tadqiqotlar kanalini ochdi.
Yilda matematika, a guruhni kengaytirish tasvirlashning umumiy vositasidir guruh muayyan jihatidan oddiy kichik guruh va kvant guruhi. Agar Q va N ikki guruh, keyin G bu kengaytma ning Q tomonidan N agar mavjud bo'lsa qisqa aniq ketma-ketlik
Agar G ning kengaytmasi Q tomonidan N, keyin G guruh, a oddiy kichik guruh ning G va kvant guruhi bu izomorfik guruhga Q. Guruh kengaytmalari kontekstida paydo bo'ladi kengaytma muammosi, qaerda guruhlar Q va N ning xususiyatlari ma'lum va G aniqlanishi kerak. E'tibor bering, iboralar "G ning kengaytmasi N tomonidan Q"ba'zi birlari tomonidan ham ishlatiladi.[1]
Har qanday narsadan beri cheklangan guruh G maksimal darajaga ega oddiy kichik guruh N oddiy omil guruhi bilan G/N, barcha cheklangan guruhlar cheklangan kengaytmalar qatori sifatida tuzilishi mumkin oddiy guruhlar. Ushbu fakt yakunlash uchun turtki bo'ldi cheklangan oddiy guruhlarning tasnifi.
Kengaytma a deb nomlanadi markaziy kengaytma agar kichik guruh bo'lsa N yotadi markaz ning G.
Bitta kengaytma to'g'ridan-to'g'ri mahsulot, darhol aniq. Agar kerak bo'lsa G va Q bolmoq abeliy guruhlari, keyin kengaytmalarining izomorfizm sinflari to'plami Q berilgan (abeliya) guruh tomonidan N aslida bir guruh, ya'ni izomorfik ga qarz The Qo'shimcha funktsiya. Kengaytmalarning boshqa bir nechta umumiy sinflari ma'lum, ammo barcha mumkin bo'lgan kengaytmalarni bir vaqtning o'zida ko'rib chiqadigan nazariya mavjud emas. Guruhni kengaytirish odatda qiyin muammo sifatida tavsiflanadi; u "deb nomlanadi kengaytma muammosi.
Ba'zi misollarni ko'rib chiqish uchun, agar G = K × H, keyin G ikkalasining ham kengaytmasi H va K. Umuman olganda, agar G a yarim yo'nalishli mahsulot ning K va Hsifatida yozilgan , keyin G ning kengaytmasi H tomonidan Kkabi mahsulotlar gulchambar mahsuloti kengaytmalarga qo'shimcha misollar keltiring.
Kengaytma muammosi
Qaysi guruhlar haqida savol G ning kengaytmalari H tomonidan N deyiladi kengaytma muammosi, va o'n to'qqizinchi asrning oxiridan beri juda ko'p o'rganilgan. Uning motivatsiyasi haqida o'ylab ko'ring kompozitsiyalar seriyasi sonli guruh - bu kichik guruhlarning cheklangan ketma-ketligi {Amen}, har birida Amen+1 ning kengaytmasi Amen kimdir tomonidan oddiy guruh. The cheklangan oddiy guruhlarning tasnifi bizga cheklangan oddiy guruhlarning to'liq ro'yxatini beradi; shuning uchun kengaytma muammosining echimi bizga barcha cheklangan guruhlarni qurish va tasniflash uchun etarli ma'lumot beradi.
Kengaytmalarni tasniflash
Kengaytma muammosini hal qilish barcha kengaytmalarini tasniflashga to'g'ri keladi H tomonidan K; yoki amaliy jihatdan, barcha bunday kengaytmalarni tushunish va hisoblash osonroq bo'lgan matematik ob'ektlar ko'rinishida ifodalash orqali. Umuman olganda, bu muammo juda qiyin va barcha foydali natijalar qo'shimcha shartlarni qondiradigan kengaytmalarni tasniflaydi.
Ikki kengaytmaning qachon teng yoki mos kelishini bilish muhimdir. Biz kengaytmalar deymiz
va bor teng Agar guruh izomorfizmi mavjud bo'lsa (yoki mos keladigan) 1-rasmning kommutativ diagrammasini tuzish. Aslida guruh homomorfizmi bo'lishi kifoya; diagrammaning taxmin qilingan komutativligi tufayli xarita tomonidan izomorfizm bo'lishga majbur qisqa besh lemma.
Shakl 1Ogohlantirish
Bu kengaytmalar bo'lishi mumkin va tengsiz lekin G va G ' guruhlar sifatida izomorfikdir. Masalan, mavjud ning tengsiz kengaytmalari Klein to'rt guruh tomonidan ,[2] ammo izomorfizmga qadar faqat to'rtta tartib mavjud buyurtmaning oddiy kichik guruhini o'z ichiga olgan izomorfik kvant guruhi bilan Klein to'rt guruh.
Arzimagan kengaytmalar
A ahamiyatsiz kengaytma kengaytma
bu kengaytmaga teng
bu erda chap va o'ng strelkalar mos ravishda har bir omilning qo'shilishi va proektsiyasi .
Split kengaytmalarni tasniflash
A split kengaytma kengaytma
bilan homomorfizm shunday qilib H ga G tomonidan s va keyin qaytib H qisqa aniq ketma-ketlikning xaritasi bo'yicha hisobga olish xaritasi kuni H ya'ni, . Bunday vaziyatda odatda shunday deyiladi s bo'linadi yuqorisida, yuqoridagi aniq ketma-ketlik.
Split kengaytmalarni tasniflash juda oson, chunki kengaytma bo'linadi agar va faqat agar guruh G a yarim yo'nalishli mahsulot ning K va H. Yarim yo'nalishli mahsulotlarni o'zlari tasniflash oson, chunki ular homomorfizmlar bilan yakka yozishmalarda , qaerda Aut (K) bo'ladi avtomorfizm guruhi K. Nima uchun bu haqiqat ekanligi haqida to'liq muhokama qilish uchun qarang yarim yo'nalishli mahsulot.
Ogohlantirish
Umuman olganda matematikada strukturaning kengayishi K odatda struktura sifatida qaraladi L ulardan K pastki tuzilishdir. Masalan, qarang maydonni kengaytirish. Biroq, guruh nazariyasida qisman notatsiya tufayli qarama-qarshi terminologiya kirib keldi kengaytmasi sifatida osongina o'qiydi Q tomonidan Nva asosiy e'tibor guruhga qaratilgan Q.
Braun va Porterning qog'ozi (1996) Shrayer nonabelian kengaytmalar nazariyasi (quyida keltirilgan) kengaytirilgan terminologiyadan foydalanadi K kattaroq tuzilishni beradi.
Markaziy kengaytma
A markaziy kengaytma guruhning G qisqa aniq ketma-ketlik guruhlar
shu kabi A Zda (E), the markaz guruhining E. markaziy kengaytmalarining izomorfizm sinflari to'plami G tomonidan A (qayerda G ahamiyatsiz harakat qiladi A) bilan bittadan yozishmada kohomologiya guruh H2(G, A).
Markaziy kengaytmalarga misollar har qanday guruhni olish yo'li bilan tuzilishi mumkin G va har qanday abeliy guruhi Ava sozlash E bolmoq A × G. Bunday Split misol elementga mos keladi 0 yilda H2(G, A) yuqoridagi yozishmalar ostida. Nazariyasida yanada jiddiy misollar mavjud proektsion vakolatxonalar, proektsion vakillikni oddiy darajaga ko'tarib bo'lmaydigan holatlarda chiziqli vakillik.
Cheklangan mukammal guruhlar uchun a mavjud universal mukammal markaziy kengaytma.
Xuddi shunday, a-ning markaziy kengaytmasi Yolg'on algebra aniq ketma-ketlikdir
shu kabi ning markazida joylashgan .
Markaziy kengaytmalarning umumiy nazariyasi mavjud Maltsev navlari, quyida keltirilgan Janelidze va Kellining maqolalariga qarang.
Umumiy kengaytmalarni umumlashtirish
Guruh kengaytmalari va Quyida berilgan barcha kengaytmalarining o'xshash tasnifini keltiradi G tomonidan A dan homomorfizm jihatidan , zerikarli, ammo aniq tekshiriladigan mavjudlik sharti bilan bog'liq va kohomologiya guruhi .
Yolg'on guruhlar
Yilda Yolg'on guruh nazariyasi, markaziy kengaytmalar bilan bog'liq holda paydo bo'ladi algebraik topologiya. Taxminan aytganda, diskret guruhlar bo'yicha Lie guruhlarining markaziy kengaytmalari bir xil guruhlarni qamrab olish. Aniqrog'i, a ulangan bo'shliqni qoplash G∗ ulangan Yolg'on guruhining G ning tabiiy ravishda kengaytmasi G, shunday qilib proektsiyani
guruh homomorfizmi va sur'ektivdir. (Guruh tarkibi G∗ identifikatorni xaritada identifikatsiya qilish elementini tanlashga bog'liq G.) Masalan, qachon G∗ bo'ladi universal qopqoq ning G, π yadrosi bu asosiy guruh ning G, abeliya ekanligi ma'lum (qarang H maydoni). Aksincha, Yolg'on guruhi berilgan G va alohida markaziy kichik guruh Z, miqdor G/Z yolg'on guruhi va G uning qoplamali maydoni.
Umuman olganda, guruhlar qachon A, E va G markaziy kengaytmada uchraydigan Lie guruhlari va ular orasidagi xaritalar Lie guruhlarining homomorfizmlari, keyin Lie algebrasi bo'lsa G bu g, bu A bu ava bu E bu e, keyin e a Lie algebra markaziy kengaytmasi ning g tomonidan a. Ning terminologiyasida nazariy fizika, generatorlari a deyiladi markaziy to'lovlar. Ushbu generatorlar markazida joylashgan e; tomonidan Noether teoremasi, simmetriya guruhlari generatorlari deb nomlangan saqlanadigan miqdorlarga mos keladi ayblovlar.
Guruhlarni qamrab oluvchi markaziy kengaytmalarning asosiy misollari:
The spin guruhlari, bu ikki marta yopiladi maxsus ortogonal guruhlar, bu (hatto o'lchamda) ikki barobar qoplaydi proektsion ortogonal guruh.
The metaplektik guruhlar, bu ikki marta yopiladi simpektik guruhlar.
Ishi SL2(R) asosiy guruhni o'z ichiga oladi cheksiz tsiklik. Bu erda markaziy kengaytma yaxshi tanilgan modulli shakl nazariya, og'irlik shakllarida ½. Mos keladigan proektsion vakillik bu Vayl vakili, dan qurilgan Furye konvertatsiyasi, bu holda haqiqiy chiziq. Metaplektik guruhlar ham uchraydi kvant mexanikasi.
Shuningdek qarang
Yolg'on algebra kengaytmasi
Ring uzaytirilishi
Virasoro algebra
HNN kengaytmasi
Guruh qisqarishi
Topologik guruhning kengayishi

Algebraik kengayish - Algebraic extension

Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Ma'lumot manbasi bo'lmagan materialga qarshi chiqish va olib tashlash mumkin. Manbalarni toping: "Algebraik kengaytma" – Yangiliklar · gazetalar · kitoblar · olim · JSTOR (2013 yil fevral) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda mavhum algebra, a maydonni kengaytirish L/K deyiladi algebraik agar har bir element L bu algebraik ustida K, ya'ni. ning har bir elementi bo'lsa L a ildiz nolga teng bo'lmagan polinom koeffitsientlari bilan K. Algebraik bo'lmagan, ya'ni o'z ichiga olgan maydon kengaytmalari transandantal elementlar, deyiladi transandantal.
Masalan, maydon kengaytmasi R/Q, bu maydon haqiqiy raqamlar maydonining kengaytmasi sifatida ratsional sonlar, transsendental, maydon kengaytmalari esa C/R va Q(√2)/Q algebraik, qaerda C maydonidir murakkab sonlar.
Barcha transandantal kengaytmalar cheksiz daraja. Bu o'z navbatida barcha cheklangan kengaytmalar algebraik ekanligini anglatadi.[1] Biroq, bu teskari emas: algebraik cheksiz kengaytmalar mavjud. Masalan, barchaning maydoni algebraik sonlar ratsional sonlarning cheksiz algebraik kengaytmasi.
Agar a algebraik hisoblanadi K, keyin K[a], barcha polinomlarning to'plami a koeffitsientlari bilan K, nafaqat halqa, balki maydon: ning algebraik kengaytmasi K cheklangan darajaga ega K. Aksincha, agar shunday bo'lsa ham to'g'ri K[a] bu maydon, keyin a algebraik hisoblanadi K. Maxsus holatda qaerda K = Q bo'ladi ratsional sonlar maydoni, Q[a] ning misoli algebraik sonlar maydoni.
Tegishli algebraik kengaytmalari bo'lmagan maydon deyiladi algebraik yopiq. Masalan, ning maydoni murakkab sonlar. Har bir sohaning algebraik kengaytmasi mavjud, u algebraik ravishda yopiq (uning nomi deb ataladi) algebraik yopilish), lekin buni umuman isbotlash uchun ba'zi bir shakllar kerak tanlov aksiomasi.
Kengaytma L/K algebraikdir agar va faqat agar har bir pastki qism K-algebra L a maydon.
Mundarija
1 Xususiyatlari
2 Umumlashtirish
3 Shuningdek qarang
4 Izohlar
5 Adabiyotlar
Xususiyatlari
Algebraik kengaytmalar klassi a ni tashkil qiladi maydon kengaytmalarining taniqli klassi, ya'ni quyidagi uchta xususiyat mavjud:[2]
Agar E ning algebraik kengaytmasi F va F ning algebraik kengaytmasi K keyin E ning algebraik kengaytmasi K.
Agar E va F ning algebraik kengaytmalari K umumiy ortiqcha maydonda C, keyin kompozitum EF ning algebraik kengaytmasi K.
Agar E ning algebraik kengaytmasi F va E>K>F keyin E ning algebraik kengaytmasi K.
Ushbu yakuniy natijalarni transfinite induksiyasi yordamida umumlashtirish mumkin:
Har qanday algebraik kengaytmalar zanjirining tayanch maydonida birlashishi o'zi bir xil tayanch maydonidagi algebraik kengaytma hisoblanadi.
Bu haqiqat bilan birga Zorn lemmasi (tegishli tanlangan posetga qo'llaniladi), mavjudligini belgilaydi algebraik yopilishlar.
UmumlashtirishAdvertisementAsosiy maqola: Substruktura (matematika)
Model nazariyasi algebraik kengayish tushunchasini o'zboshimchalik nazariyalariga umumlashtiradi: an ko'mish ning M ichiga N deyiladi algebraik kengayish agar har biri uchun bo'lsa x yilda N bor formula p parametrlari bilan M, shu kabi p(x) to'g'ri va to'plam
cheklangan. Ma'lum bo'lishicha, ushbu ta'rifni maydonlar nazariyasiga qo'llash algebraik kengaytmaning odatiy ta'rifini beradi. The Galois guruhi ning N ustida M yana sifatida belgilanishi mumkin guruh ning avtomorfizmlar, va Galua guruhlari nazariyasining aksariyati umumiy ish uchun ishlab chiqilishi mumkin ekan.

Adabiyotlar

1. 
   Mak Leyn, Sonders (1975), Gomologiya, Matematikadan klassikalar, Springer Verlag, ISBN 3-540-58662-8
   
2. 
   R.L.Teylor, bog'lanmagan topologik guruhlarning guruhlarini qamrab olish, Amerika matematik jamiyati materiallari, vol. 5 (1954), 753-768.
   
3. 
   R. Braun va O. Mukuk, bir-biriga bog'lanmagan topologik guruhlarning qoplovchi guruhlari qayta ko'rib chiqildi, Kembrij falsafiy jamiyatining matematik materiallari, vol. 115 (1994), 97-110.
   
4. 
   R. Braun va T. Porter, Shrayerning abeliya bo'lmagan kengaytmalar nazariyasi to'g'risida: umumlashtirish va hisoblash, Irlandiya Qirollik akademiyasining materiallari, vol. 96A (1996), 213-227.
   
5. 
   G. Janelidze va G. M. Kelli, Malt'sev navlarida markaziy kengaytmalar, Kategoriyalar nazariyasi va qo'llanilishi, vol. 7 (2000), 219-226.
   
6. 
   P. J. Morandi, Guruh kengaytmalari va H3. Uning qisqa matematik eslatmalar to'plamidan.