Mavzu: Yuqori tartibli tenglamaning tartibini pasaytirish. O‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli va umumlashgan bir jinsli yuqori tartibli tenglamalarni integrallash n-tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglama yеchimlarining umumiy хоssalari

Isbot (Zarurligi). Faraz qilaylik (4.2) bir jinsli differensial tenglamaning yechimlari [a,b] oraliqda chiziqli bog’lanmagan bo’lib, biror nuqtada

bo’lsin. Bundan foydalanib o’zgarmaslarga nisbatan quyidagi
(4.8)
tenglamalar sistemasini tuzib olamiz. Bu sistemaning asosiy determinanti bo’lgani uchun u nolmas yechimga ega. Ushbu sonlarning kamida bittasi noldan farqli. Natijada ushbu
(4.9)
funksiya (4.2) bir jinsli differensial tenglamani va
(4.10)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradi. 20-paragrafdagi natija-1 ga ko’ra, (4.2) bir jinsli differensial tenglamaga qo’yilgan (4.10) boshlang’ich masala faqat nol yechimga ega ekanligidan (4.9) tenglik ushbu

ko’rinishni oladi. Bunda sonlar orasida kamida bittasi noldan farqli. Shuning uchun (4.2) differensial tenglamaning yechimlari chiziqli bog’langan. Bu esa yechimlarning chiziqli bog’lanmaganligiga zid.
Yetarliligi. Aytaylik bo’lib, yechimlar chiziqli bog’liq bo’lsin. U holda

ayniyat o’rinli. Bu yerda, masalan . Bundan

kelib chiqadi. Bu tenglikni differensiallab

topamiz. O’z navbatida bu tengliklardan W(x)=0 kelib chiqadi. Bu esa farazimizga zid. Teorema isbot bo’ldi. ■

5.