Mavzu: Yuqori tartibli tenglamaning tartibini pasaytirish. O‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli va umumlashgan bir jinsli yuqori tartibli tenglamalarni integrallash n-tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglama yеchimlarining umumiy хоssalari

Mavzu: Yuqori tartibli tenglamaning tartibini pasaytirish. O‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli va umumlashgan bir jinsli yuqori tartibli tenglamalarni integrallash. n-tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglama yеchimlarining umumiy хоssalari. Umumiy yechimning xossalari. Chiziqli erkli funksiyalar. Vrоnskiy dеtеrminanti va uning xossalari. Yеchimlar fundamеntal sitеmasi. Mavjudlik va yagonalik teoremasi. Yechimning umumiy xossalari. Оstragradskiy-Liuvill fоrmulasi.

1. 
   n-chi tartibli differensial tenglamalar
   

Ushbu
(1.1)
ko’rinishdagi tenglamaga n-tartibli hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglamaning umumiy ko’rinishi deyiladi.
Quyidagi belgilashlarni kiritaylik:

Endi, -o’lchamli fazoda quyidagi

sohani olaylik. Bu yerda a, b –o’zgarmas sonlar bo’lib,
Ta’rif-1. Aytaylik (1.1) ko’rinishidagi oddiy differensial tenglama berilgan bo’lib funksiya sohada aniqlangan bo’lsin. Agar oraliqda aniqlangan biror funksiya uchun quyidagi
1.
2.
3.
shartlar bajarilsa, funksiya oraliqda (1.1) differensial tenglamaning yechimi deyiladi.
Ta’rif-2. (1.1) differensial tenglamaning ushbu
(1.2)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi y=y(x) yechimini topishga Koshi masalasi deyiladi. Bu yerda berilgan nuqta.
Teorema-1. Agar funksiya sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, o’zgaruvchilar bo’yicha Lipshits:
(1.3)
shartшni qanoatlantirsa, u holda shunday h>0 soni mavjud bo’lib (1.1)+(1.2) Koshi masalasining oraliqda aniqlangan yagona yechimi mavjud bo’ladi.
Bu teoremaning isbotini qisuvchi akslantirishlar prinspidan foydalanib ko’rsatish mumkin.

2.