Mavzu: Yuqori tartibli tenglamaning tartibini pasaytirish. O‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli va umumlashgan bir jinsli yuqori tartibli tenglamalarni integrallash n-tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglama yеchimlarining umumiy хоssalari

Misol-1. Ushbu funksiyalar shart bajarilganda ixtiyoriy kesmada chiziqli bog’lanmagan funksiyalar bo’lishini ko’rsating.
Yechish. Faraz qilaylik, bu funksiyalar chiziqli bog’langan bo’lsin, ya’ni

tenglik -o’zgarmasning birortasi, masalan bo’lganda o’rinli bo’lsin. U holda tenglikni ga bo’lib

munosabatni topamiz. Bu tenglikni differensiallab

munosabatni hosil qilamiz. Bu tenglikni ga bo’lib

munosabatga ega bo’lamiz. Buni yana differensiallab

tenglikka ega bo’lamiz. Yuqorida bayon qilingan jarayonni davom qildirish natijasida

tenglikka ega bo’lamiz. Bundan o’z navbatida

ekanligi kelib chiqadi. Buning bo’lishi mumkin emas. Shunday qilib -funksiyalar sistemasi bo’lganda chiziqli bog’lanmagan funksiyalar sistemasini tashkil qiladi.
Ta’rif-2. Ushbu funksiyalardan tuzilgan

determinantga Vronskiy determinanti yoki vronskiyan deyiladi.
Teorema-2. Ushbu
(4.2)
bir jinsli differensial tenglamaning yechimlari chiziqli bog’liq bo’lishi uchun, ulardan tuzilgan Vronskiy determinanti nolga teng, ya’ni
(4.3)
bo’lishi zarur va yetarli.