Mavzu: Yuqori tartibli tenglamaning tartibini pasaytirish. O‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli va umumlashgan bir jinsli yuqori tartibli tenglamalarni integrallash n-tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglama yеchimlarining umumiy хоssalari

Natija-1. Ushbu
(3.5)

Koshi masalasi yagona , yechimga ega. ■
Isbot. Ko’rinib turibdiki funksiya (3.5) Koshi masalasining yechimidan iborat. Yechimning yagonaligidan natija-1 ning isboti kelib chiqadi. ■
Quyidagi
(3.6)
belgilash natijasida (3.1) va (3.2) differensial tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin:
L[y]=g(x), (3.7)
L[y]=0 . (3.8)
Bu yerda L[y] ifodaga differensial operator deyiladi. Endi differensial operatorning ayrim xossalari bilan tanishamiz.
Lemma-2. O’zgarmas ko’paytuvchini operator belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni
L[cy]=cL[y], c=const.
Isbot.

Lemma-3. Ushbu

tenglik o’rinli.
Isbot.

Natija -2. Ushbu

tenglik o’rinli. Bu yerda .
Teorema-2. Agar y=y(x) funksiya [a,b] kesmada (3.8) bir jinsli differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda funksiya ham (3.8) tenglamaning yechimi bo’ladi.
Isbot. Teorema shartiga ko’ra L[y]=0. Bundan kelib chiqadi.
Teorema-3. Agar funksiyalar [a,b] kesmada (3.8) bir jinsli differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda

funksiya ham [a, b] kesmada (3.8) tenglamaning yechimi bo’ladi.