Mavzu: Yuqori tartibli tenglamaning tartibini pasaytirish. O‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli va umumlashgan bir jinsli yuqori tartibli tenglamalarni integrallash n-tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglama yеchimlarining umumiy хоssalari

Ostragratskiy- Liuvill formulasining tadbiqi (n=2 hol).

Aytaylik ushbu
(8.1)
ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning bitta nolmas -xususiy yechimi berilgan bo’lsin. U holda uning dan farqli, lekin unga chiziqli bog’lanmagan ikkinchi yechimini topish algoritmini bayon qilamiz. Faraz qilaylik (8.1) differensial tenglamaning dan farqli ixtiyoriy yechimi bo’lsin. U holda bu va yechimlardan tuzilgan Vronskiy determinanti

uchun quyidagi
(8.2)
Ostragratiskiy-Liuvill formulasi o’rinli. Endi (8.2) tenglikni ushbu
(8.3)
ko’rinishda yozib uni ikki tamonini ga ko’paytirib
(8.4)
differensial tenglamani hosil qilamiz. Oxirgi (8.4) differensial tenglamani integrallab
(8.5)
formulani topamiz. Bu tenglik orqali aniqlangan funksiya (8.1) differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.
Ushbu
(8.6)
funksiya (8.1) differensial tenglamaning dan farqli, unga chiziqli bog’lanmagan yechimini ifodalaydi.
Agar (8.1) differensial tenglamada , ya’ni
(8.7)
bo’lsa, u holda uning umumiy yechimi
(8.8)
ko’rinishda bo’ladi. Ayrim adabiyotlarda (8.8) ga Abel formulasi deb ham yuritiladi.