Mavzu: Yuqori tartibli tenglamaning tartibini pasaytirish. O‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli va umumlashgan bir jinsli yuqori tartibli tenglamalarni integrallash n-tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglama yеchimlarining umumiy хоssalari

Ayrim n-tartibli differensial tenglamalarni yechish.

Ushbu
(2.1)
differensial tenglamaning umumiy yechimini topish bilan shug’ullanamiz.

Ketma-ket integrallash usuli.
Avvalo (2.1) tenglamani
(2.2)
ko’rinishda yozib olamiz. Endi ixtiyoriy nuqtani olib (2.2)
differensial tenglamaning dan x gacha integrallab, ushbu

tenglikni hosil qilamiz. Bu munosabatni yana integrallab ushbu

tasvirni topamiz. Yuqoridagi jarayonni davom qildirib
(2.3)
(2.1) differensial tenglamaning umumiy yechimini topishga muvoffaq bo’lamiz.
Quyidagi

formuladan foydalanib (2.3) munosabatni
(2.4)
ko’rinishda yozish mumkin.
2. Koshi usuli, Avvalo ixtiyoriy nuqtani tanlab olamiz va quyidagi Koshi masalasini qaraymiz:
(2.5)
(2. )
So’ngra, ushbu

differensial tenglamaning umumiy yechimini ketma-ket integrallash natijasida topamiz:
(2.6)
Bu yerdagi o’zgarmaslarning qiymatlarini boshlang’ich shartlardan foydalanib topish mumkin:
(2.7)

(2.7) sistemani pastdan yuqoriga qarab ketma-ket yechsak o’zgarmaslarning qiymatlari topiladi:

O’zgarmaslarning bu qiymatlarini (2.6) tenglikning o’ng tomoniga qo’yib, ushbu

Koshi funksiyasini topamiz.
Lemma-1. Ushbu
(2.8)
funksiya (2.1) differensial tenglamaning quyidagi
(2. )
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimdan iborat bo’ladi.
Bu lemmani isbotlashni o’quvchiga havola qilamiz.
Endi, (2.1) differensial tenglama bir jinsli

qismining umumiy yechimi

ko’rinishda bo’lishini inobatga olsak, u holda (2.1) differensial tenglamaning umumiy yechimi
(2.9)
ko’rinishda bo’lishi kelib chiqadi.