Mavzu: paramaetrga bog’liq koshi masalasi. Koshi masalasining asimptotik masalalari. Topshirdi: Kurs ish rahbari: reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

5-xossa. Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlari haqiqiqydir.

Isbot. Aytaylik son (1)-(2) chegaraviy masalaning xos qiymati bo‘lib, unga mos keluvchi xos funksiya bo‘lsin. U holda son ham shu chegaraviy masalaning xos qiymati bo‘lib, unga xos funksiya mos keladi. Ushbu

tenglikdan ekanligi kelib chiqadi. Bu esa farazimizga zid.

1-natija. Xos funksiyani haqiqiy qilib tanlash mumkin. Chunki xos qiymatning haqiqiy ekanligidan qaralayotgan tenglamaning haqiqiyligi kelib chiqadi. Chegaraviy shartlar esa hamisha haqiqiy.

6-xossa. Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining turli xos qiymatlariga mos keluvchi xos funksiyalari o‘zaro ortogonaldir, ya’ni xos qiymatlarga mos keluvchi xos funksiyalar uchun ushbu

(3)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot. Ushbu

ayniyatda bo‘lgani uchun undan (3) tenglik kelib chiqadi.

7-xossa. Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlari oddiy, ya’ni bitta xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar bir-biriga proporsionaldir.

Isbot. xos qiymatga chiziqli erkli xos funksiyalar mos keladi deb faraz qilaylik. U holda

munosabatning o‘rinli bo‘lgani uchun, va yechimlar chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Bu esa farazimizga ziddir.

8-xossa. Aytaylik funksiya (1) differensial tenglamaning yechimi bo‘lsin. U holda

tenglik bajariladi. Bu yerda

Isbot. Ushbu

(4)

ayniyatdan bo‘yicha hosila olsak,

(5)

tenglik kelib chiqadi. (4) va (5) tengliklarni mos ravishda va funksiyalarga ko‘paytirib, bir-biridan ayirsak, quyidagi

ayniyat hosil bo‘ladi. Bu tenglikni kesma bo‘yicha integrallasak, ushbu

formula kelib chiqadi.

Endi (1) tenglamaning quyidagi

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilaymiz. Xuddi shuningdek, (1) differensial tenglamaning ushbu

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilab olamiz. Ko‘rinib turibdiki, yechim (2) chegaraviy shartlardan birinchisini qanoatlantiradi, yechim esa ikkinchisini qanoatlantiradi. Bu va yechimlar mos ravishda (2) chegaraviy shartlarning ikkinchisiga va birinchisiga qo‘yib, ushbu

tengliklarni hosil qilamiz. Bu tenglamalarga (1)-(2) chegaraviy masalaning xarakteristik tenglamalari deyiladi. Ushbu

Vronskiy determinantini qaraylik. Yuqorida biz bu determinantning qiymati o‘zgaruvchiga bog‘liq emasligini ko‘rsatgan edik. Shuning uchun ushbu

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa

munosabat kelib chiqadi.

Agar son tenglamaning ildizi bo‘lsa, u holda bo‘lgani uchun va funksiyalar (2) chegaraviy shartlarni va (1) differensial tenglamani qanoatlantiradi. Bundan esa son xos qiymat va hamda funksiyalar Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos funksiyalaridan iborat bo‘lib,

(6)

tengliklarning bajarilishi kelib chiqadi.

3-ta’rif. Ushbu

sonlarga (1)-(2) chegaraviy masalasining normallovchi o‘zgarmaslari deyiladi.

Bunga ko‘ra, (1)-(2) chegaraviy masalaning ortonormal xos funksiyalari quyidagi

(7)

tenglik orqali aniqlanadi.

4-ta’rif. Ushbu sonli ketma-ketliklar juftligiga (1)-(2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral xarakteristkalari deyiladi.

5-ta’rif. Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral xarakteristkalarini topish va ularning xossalarini o‘rganishga spektral analizning to‘g‘ri masalasi deyiladi. Aksincha, spektral xarakteristkalar yordamida Shtrurm-Liuvill chegaraviy masalasining keffisiyentini va chegaraviy shartlarini topishga spektral analizning teskari masalasi deb ataladi.

9-xossa. Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining normallovchi o‘zgarmaslari

(9)

tenglikni qanoatlantiradi.

Isbot. (8) munosabatning isboti bevosita 8-xossadan kelib chiqadi.