Mavzu: paramaetrga bog’liq koshi masalasi. Koshi masalasining asimptotik masalalari. Topshirdi: Kurs ish rahbari: reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

1-teorema. Agar bo‘lsa, u holda (1) differensial tenglamaning boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi uchun quyidagi

(32)

(33)

baholashlar o‘rinli. Quyidagi lemmalardan foydalanib, yuqoridagi baholashlarni yanada aniqlashtirish mumkin:

3-lemma. Agar bo‘lsa, u holda

(34)

(2.2.35)

asimptotikalar o‘rinli.

Isbot. Ma’lumki, berilgan funksiyaga shu fazoning normasi bo‘yicha yaqinlashuvchi finit funksiyalar ketma-ketligi mavjud. Demak, ixtiyoriy son uchun nomer topilib, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun ushbu

baho o‘rinli bo‘ladi. Bundan foydalanib, quyidagi integralni baholaymiz:

natijada ushbu

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bu esa (34) asimptotik tenglik o‘rinli bo‘lishini bildiradi. (35) tenglik ham shu tarzda isbotlanadi.

4-lemma. Agar bo‘lsa, u holda quyidagi asimptotikalar o‘rinli bo‘ladi:





(36)



Isbot. Bo‘laklab integrallash qoidasidan foydalanib, quyidagi integrallarni hisoblaymiz:

(37)

(37)

3-lemmadan foydalanib, ushbu

asimptotikalarni topamiz. Bu ifodalarni (28)-(31) formulalarga qo‘ysak, (36) asimptotik tengliklar kelib chiqadi.

2-teorema. Agar bo‘lsa, u holda quyidagi asimptotikalar o‘rinli bo‘ladi:

Bu yerda

.

Isbot. Quyidagi

ifodalarni (7), (8) va (18), (19) tengliklarning o‘ng tomoniga qo‘yib, yuqoridagi kabi mulohaza yuritsak, natijada teoremada keltirilgan tasdiqlar kelib chiqadi.

2-natija. Agar bo‘lsa, u holda (1) differensial tenglamaning boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi uchun quyidagi asimptotikalar o‘rinli bo‘ladi:

(38)

(39)