Mavzu: paramaetrga bog’liq koshi masalasi. Koshi masalasining asimptotik masalalari. Topshirdi: Kurs ish rahbari: reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

1-chizma.

natural sonning biror qiymatidan boshlab, aylana ustida

baho o‘rinli. Haqiqatan ham,

,

bo‘lgani uchun

o‘rinli. Xususan natural sonning biror qiymatidan boshlab, ushbu

tengsizlik bajariladi.

funksiyaning aylana ichidagi karrali bo‘lmagan ildizlari bo‘lib, soni ikki karrali ildiz bo‘ladi, chunki , barcha ildizlarining soni esa ta. Rushe teoremasiga ko‘ra qaralayotgan aylana ichida va funksiyalar bir xil sondagi ildizlarga ega bo‘ladi. Bunga asosan, funksiya aylana ichidagi ildizlari soni ta. aylananing ichida esa ta ildizga ega, ya’ni va aylanalar bilan chegaralangan halqada 2 ta ildiz joylashgan. juft funksiya bo‘lgani uchun uning aylana ichidagi barcha ildizlari: bo‘ladi. ildizlarining qaralayotgan halqada yotishini va haqiqiyligini e’tiborga olsak,

ya’ni

bo‘lishi ko‘rinadi. Demak,

(12)

ning asimptotikasini o‘rganish maqsadida (12) ifodani (11) tenglikka qo‘yib,

ya’ni

(13)

munosabatni olamiz. (13) ifodani (12) tenglikka qo‘ysak, (8) formulaga ega bo‘lamiz.

(1)-(2) chegaraviy masalaning xos qiymatlari uchun topilgan (8) asimptotik formulani yanada aniqlashtirish mumkin.

3-teorema. Agar haqiqiy uzluksiz funksiya bo‘lib, (1)-(2) chegaraviy masalaning xos qiymatlari bo‘lsa, u holda ushbu

(14)

asimptotik formula o‘rinli bo‘ladi, bu yerda

, (15)

Isbot. Quyidagi

formulalar yordamida - xarakteristik funksiyaning asimptotikasini keltirib chiqaramiz:

Bunga ko‘ra, quyidagi

(16)

funksiya uchun ushbu

(17)

asimptotik formula o‘rinli bo‘ladi.

Agar belgilash kiritsak, bo‘lgani uchun (17) tenglikka asosan ekanligi kelib chiqadi. (16) ifodaga asosan

ya’ni

(18)

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ushbu

asimptotikadan

(19)

kelib chiqadi. (19) ifodani (18) tenglikka qo‘ysak,

ya’ni

tenglik hosil bo‘ladi. Buni ushbu tenglikka qo‘ysak, (14) formulaga ega bo‘lamiz.

1-izoh. (1)-(2) chegaraviy masalaning xos qiymatlari uchun olingan (14)-(15) asimptotik formula haqiqiy funksiya fazoga tegishli bo‘lgan holda ham o‘rinli bo‘ladi.

4-teorema. Agar haqiqiy funksiya bo‘lib, (1)-(2) chegaraviy masalaning xos qiymatlari bo‘lsa, u holda ushbu

asimptotik formula o‘rinli bo‘ladi, bu yerda

,

Isbot. (20) munosabatning isboti va funksiyalarning (38)-(39) asimptotikalardan kelib chiqadi.