Mavzu: paramaetrga bog’liq koshi masalasi. Koshi masalasining asimptotik masalalari. Topshirdi: Kurs ish rahbari: reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

Isbot. 1) Mavjudligi va yagonaligi. Koshi masalasining mavjudligini isbotlash uchun (6) integral tenglamaning uzluksiz yechimi mavjud ekanligini ko‘rsatish yetarli. Buning uchun Pikarning ketma-ket yaqinlashishlar usulidan foydalanamiz. Quyidagi



(10)

tengliklar orqali funksional ketma-ketlik tuzib olamiz. Aytaylik, ixtiyoriy son bo‘lsin. ketma-ketlikning , bo‘lganda tekis yaqinlashishini ko‘rsatamiz. Shu maqsadda ushbu

(11)

funksional qatorni qaraymiz. Endi bu qatorning xususiy yig‘indilaridan tuzilgan

ketma-ketlikning tekis yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun ushbu

belgilashlarni kiritib olamiz. So‘ngra quyidagi ayirmalarni baholaymiz:

Bu jarayonni davom qildirish natijasida ushbu

(12)

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Oxirgi (12) baho matematik induksiya usulidan foydalanib osongina isbotlanadi. Ko‘rinib turibdiki ushbu

sonli qator (11) funksional qator uchun majaranta qator vazifasini o‘taydi. Demak, , to‘plamda (11) funksional qator Veyershtrass alomatiga ko‘ra tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. Uning yig‘indisini orqali belgilaymiz. U holda funksiyalarning uzluksizligidan funksiyaning uzluksizligi kelib chiqadi.

Agar (10) tenglikda da limitga o‘tsak,

ayniyat hosil bo‘ladi. Bundan esa funksiya (6) integral tenglamaning uzluksiz yechimidan iborat ekanligi kelib chiqadi.

Endi (6) integral tenglamaning yechimi yagona ekanligini isbotlaymiz. Aytaylik, (6) integral tenglama ikkita yechimlarga ega bo‘lsin. Bu yechimlarni integral tenglamaga qo‘yib, hosil bo‘lgan ayniyatlarni bir-biridan ayiramiz:

Bundan

(13)

baho kelib chiqadi. Agar quyidagi

belgilashdan foydalansak, (13) tengsizlik ushbu

(14)

ko‘rinishni oladi. Bu tengsizlikning ikki tomonini musbat funksiyaga ko‘paytiramiz va uning chap tomonini ko‘paytmaning hosilasi ko‘rinishida yozib olamiz:

(15)

Bu tengsizlikda deb, hosil bo‘lgan munosabatni oraliq bo‘yicha integrallasak, kelib chiqadi. Yuqoridagi belgilashni e’tiborga olsak,

hosil bo‘ladi. Bundan o‘z navbatida kelib chiqadi. Bu esa farazimizga ziddir.