Mavzu: Elementar hodisalar to‘plami sanoqsiz bo‘lgan ehtimollar fazosi. Kolmogorov aksiomatikasi. Reja: I kirish II asosiy qism

2.3.1-Aksioma: Ixtiyoriy hodisaning ehtimolligi manfiy emas

Bu aksioma nomanfiylik aksiomasi deb ataladi.
2.3.2-Aksioma: Muqarrar hodisaning ehtimolligi birga teng
P()1
Bu aksioma normallashtirish aksiomasi deb ataladi.
2.3.3-Aksioma: Juft-jufti bilan birgalikda bo’lmagan hodisalar yig’indisining ehtimolligi shu hodisalar ehtimollari yig’indisiga teng, ya‘ni agarA_i A_j, i  jbo’lsa, u holda

Bu aksioma additivlik aksiomasi ham deyiladi.
(, S, P) uchlik ehtimollik fazosi deyiladi, bu yerda -elementar hodisalar fazosi, S-hodisalar algebrasi, P˗ 2.3.1-2.3.3-aksiomalarni qanoatlantiruvchi sanoqli funksiya.
Kolmogorov aksiomalarining tatbiqi sifatida quyidagi xossalarni keltiramiz: 1. Mumkin bo’lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng

2. Qarama-qarshi hodisalarning ehtimolliklari yig’indisi birga teng
P(A) P(A)1.

3. 
   Ixtiyoriy hodisaning ehtimolligi uchun quyidagi munosabat o’rinli:
   

3. 
   Agar bo’lsa, u holda
   

5. Agar birgalikda bo’lmagan hodisalar to’la gruppani tashkil etsa, ya‘ni vaA_i A_ji  j bo’lsa u holda
.
Isbot:
1. , tengliklardan 2.3.3- aksiomaga ko’ra
2. tengliklardan hamda 2.3.2 va 2.3.3 aksiomalardan esa tenglik kelib chiqadi.

3. 
   2-xossaga ko’ra P( A)  1 P( A) va 2.3.1 aksiomaga asosan 0P(A)1..
   
4. 
   A  BekanligidanB(BA)Ava(BA)A. 2.3.3 aksiomaga ko’raP(B) P(B  A) P( A), ammoP(BA)0bo’lgani uchunP(A)P(B).
   
5. 
   A₁ A₂... A_n tenglik, 2.3.2 va 2.3.3 aksiomalarga ko’ra
   

P( A₁ A₂... A_n) P( A₁) P( A₂)... P( A_n).
Elementar hodisalar fazosi cheksiz bo’lsin  {₁ ,₂ ,..., _n ,...} . S esa ning barcha qism to’plamlaridan tashkil topgan hodisalar algebrasi bo’lsin. Har bir _i, i 1,2,... elementar hodisaga p(_i ) sonni mos qo’yamiz. p(_i ) -elementar hodisaning ehtimoli deyiladi. Demak, da quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi sonli p(_i ) funksiya kiritamiz:
1._i, P(_i)0;;
2.
U holda A hodisaning ehtimolligi yig’indi shaklida ifodalanadi:
(2.4.1)
Ehtimollikni bunday aniqlash Kolmogorov aksiomalarini qanoatlantiradi:
1. , chunki har bir P(_i )  0;

2. 
   
   

3. Agar AB bo’lsa, u holda

Bunday aniqlangan {, S, P} uchlik ehtimolliklar fazosi(yoki diskret ehtimolliklar fazosi) deyiladi.
Agar  {₁,₂,...,_n} – chekli fazo va tajribadagi barcha elementar hodisalar teng imkoniyatli bo’lsa, ya‘ni
(2.4.2)
u holda (2.4.2) formula quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
(2.4.3)
Bu yerda m A hodisaga tegishli elementar hodisalar soni. Bu esa ehtimollikni klassik ta‘rifga ko’ra hisoblashdir.Demak, klassik ehtimol (2.4.1) formula orqali aniqlangan ehtimollikning xususiy holi ekan.
Xulosa
Bizga ma’lumki ehtimollar nazariya va matematik statistika fani muhim rivojlanayotgan borayotgan fanlar jumlasidandir. Ayniqsa ehtimollar nazariyasining hayotga bo’lgan tadbiqlari bo’limi salohiyati va amaliy qo’llay bilishi jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda ko’p tushunchalarni o’z ichiga oladi. Ehtimollikning asosiy aksiomalari – ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanini yaxshi o’zlashtirish, unga tegishli bo’lgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi.
Bu kurs ishini tayyorlash davomida quyidagilarni o’rgandim:

1. 
   Tasodifiy hodisalar tushunchasi va uning klassifikatsiyasi;
   
2. 
   Hodisalar ustida amallar. Elementar hodisalar fazosi;
   
3. 
   Hodisalar algebrasi;
   
4. 
   Ehtimollikning klassik va statistik ta’rifi;
   
5. 
   Ehtimollikning geometrik ta’rifi;
   
6. 
   Ehtimollikning asosiy aksiomalari;
   
7. 
   Ehtimollikning xossalari.
   

Biz ushbu kurs ishini tayyorlash davomida tasodifiy hodisalar, ular ustida amallar, ehtimollikning klassik, geometrik va statistik ta’riflari, ehtimollikning asosiy aksiomalari va xossalarining hayotiy masalalarga bo’lgan tatbiqlari bilan tanishib chiqdik.