Mavzu: Elementar hodisalar to‘plami sanoqsiz bo‘lgan ehtimollar fazosi. Kolmogorov aksiomatikasi. Reja: I kirish II asosiy qism

2.1.2-Teorema. Ikkita erkli xodisaning birgalikda ro’y berish extimoli shu xodisalarning ehtimollari ko’paytmasi teng:

Isboti. Belgilashlar kiritamiz:
n - sinashning A hodisa ro’y beradigan yoki ro’y bermaydigan elementar natijalari jami soni;
n₁ - A hodisaga qulaylik tug’diruvchi natijalar soni (n₁ ≤ n);
m - sinashning B hodisa ro’y beradigan yoki bermaydigan elementar natijalari jami soni;
m₁ - B xodisaga qulaylik tug’diruvchi natijalar soni (m₁ ≤ m);
Sinashning mumkin bo’lgan elementar natijalari jami soni nm ga teng (bu natijalarda ham A, ham yoki va B yoki va ro’y beradi). Haqiqatan ham, A hodisaning ro’y berishi yoki ro’y bermasligidan iborat n ta natijaning har biri B ning ro’y berishi yoki ro’y bermasligidan iborat m ta natijaning har biri bilan birgalikda bo’lishi mumkin.
Bulardan tasi A va B hodisalarning birgalikda ro’y berishiga qulaylik tug’diradi. Haqiqatan ham, A hodisaga qulaylik tug’diruvchi ta natijaning har biri B hodisaga qulaylik tug’diruvchi ta natijaning har biri bilan birgalikda ro’y berishi mumkin.
A va B hodisalarning birgalikda ro’y berish ehtimoli:

va ligini e’tiborga olib, uzil-kesil quyidagini hosil qilamiz:

Ko’paytirish teoremasini bir nechta hodisalarga umumlashtirish uchun birgalikda bog’liqmaslik tushunchasini kiritamiz.
Bir necha hodisalardan har biri va qolganlarining istalgan kombinatsiyasi (u qolgan hodisalarning hammasini yoki bir qismini o’z ichiga oladi) erkli bo’lsa, u holda bu hodisalar birgalikda bog’liq emas deyiladi. Masalan, agar , va hodisalar birgalikda bog’liq bo’lmasa, u holda va , va , va , va , va hodisalar erkli bo’ladi.
Shuni ta’kidlab o’tamizki, bir nechta hodisalarning juft-juft bog’liq emasligidan ularning birgalikda bog’liq emasligi kelib chiqmaydi. Shu ma’noda hodisalarning birgalikda bog’liq emasligi talabi ularning juft-juft erklilik talabidan kuchliroqdir.
Aytilganlatni misolda tushuntiramiz. Yashikda 4 tashar bor, ulardan bittasi qizil rangga , 1 tasi ko’k rangga , 1 tasi qora rangga , bittasi esa shu uchala rangga bo’yalgan. Yashikdan olingan sharning qizil rangli bo’lish ehtimoli qanchaga teng? To’rtta shardan ikkitasi qizil rangli bo’lgani uchun . Shunga o’xshash mulohaza yuritib, , ni topamiz.
Olingan shar ko’k rangli bo’lsin, ya’ni hodisa ro’y bergan bo’lsin, deb faraz qilaylik.Olingan shar qizil rangli bo’lishi ehtimoli endi o’zgaradimi yoki yo’qmi, ya’ni hodisaning ehtimoli o’zgaradimi? Ko’k rangli ikkita shardan bittasida qizil rang ham bor, shuning uchun hodisaning ehtimoli avvalgidek ga teng. Shunday qilib, va hodisalar erkli.
Shunga o’xshash mulohaza yuritib, va , va erkli hodisalar ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Shunday qilib , , hodisalar juft-juft erki.
Bu hodisalar birgalikda bog’liqmas bo’ladimi?Yo’q, bunday bo’lmas ekan. Haqiqatan ham, olingan shar ikki rangli, masalan, ko’k va qora rangli bo’lsin. Shu shar qizil rangga ham ega bo’lish ehtimoli qanchaga teng?Faqat bitta shar uchala rangga bo’yalgani uchun olingan shar qizil rangga ham ega. Shunday qilib, va hodisalar ro’y bergan deb faraz qilsak, u holda hodisa albatta ro’y beradi degan hulosaga keldik. Demak, bu hodisa muqarrar va uning ehtimoli ( ga emas) birga teng.
Shunday qilib, juft-juft erkli bo’lgan , va hodisalar birgalikda erkli emas ekan.
Endi ko’paytirish teoremasidan kelib chiqadigan natijaga keltiramiz:
Natija. Birgalikda bog’liq bo’lmagan bir nechta hodisalarning birgalikda ro’y berishi ehtimoli shu hodisalarning ehtimollari ko’paytmasiga teng.