Mavzu. Absalyut va shartli yaqinlashuvchi qatorla Reja

s*≤s
tengsizlik bajariladi.
Endi yuqoridagi mulohazalarni (9.4.3) qatorga qoilasak, teskari tengsizlikni, ya’ni
s ≤s*
munosabatni olamiz. Demak, talab qilingan (9.4.10) tenglik bajarilar ekan.
Agax berilgan qator hadlarining ishorasi o'zgaruvchi boisa, yuqorida qayd etilganidek, (9.4.5) tenglik, umuman aytganda, bajarilmaydi. Ammo qator absolyut yaqinlashsa, navbatdagi teorema qayd etilgan tenglikning o'rinli boiishini ko!rsatadi
9.4.2 - teorema. Agar quyidagi

takroriy qator yaqinlashsa, u holda har ikkala (9.4.2) va (9.4.8) takroriy qatorlar ham yaqinlashadi va ularning yig'indilari o‘zaro teng bo‘ladi.
Isbot. Quyidagi
P_nk = maх{а_nk, 0}, q_nk = max{- а_nk, 0}
belgilashlarni kiritamiz.
Ravshanki, bunda
tengliklar bajariladi.
Shartga ko‘ra

qator absolyut yaqinlashadi. Bundan chiqdi, 9.1.2 - tasdiqqa asosan,

tenglik o'rinli, chunki (9.4.13) tengsizlikdan o‘ng tomondagi qatorlarning yaqinlashuvchuigi kelib chiqadi. Demak.

Boshqa tomondan, 9.4.1 - teoremaga asosan, (9.4.12) qatorning yaqinlashishidan quyidagi

takroriy qatorning ham yaqinlashishi kelib chiqadi. Demak, yuqoridagi mulohazalami takrorlasak,

tenglikka ega bo'lamiz.
Endi 9.4.1 - teoremani qo'llasak, (9.4.16) va (9.4.15) tengliklarning o‘ng tomonidagi qatorlarning o'zaro tengligini olamiz. Shunday ekan, qayd etilgan tengliklarning chap tomonlari ham o‘zaro tengdir.
Natija. Ikki karrali {а_nk}, ketma-ketlik indekslari n ≥ k ≥ 1 tengsizlikni qanoatlantirganda aniqlangan bo‘lsin. Agar

qator yaqinlashsa, u holda chap va o‘ng tomonlari yaqinlashuvchi qatorlardan iborat bo‘lgan quyidagi

tenglik bajariladi.
Bu tasdiqni isbotlash uchun k > n boiganda ikki karrali ketmaketlik hadlarini a_nk = 0 deb aniqlab, (9.4.5) tenglikni qo‘llash yetarli
Eslatma. Agar qator absolyut yaqinlashmasa, xatto (9.4.5) tenglikning har ikkala tomonida yaqinlashuvchi qatorlar tursa ham, bu tenglikning bajarilishini kafolatlab bo'lmaydi.
9.4.2 - misol. Hadlari a_nk=∂_nk-∂_(n+1),k ko'rinishda aniqlangan ikki karrali ketma-ketlikni qaraymiz. Aniqroq tassovur qilish maqsadida bu ketma-ketlik qiymatlarini quyidagi

cheksiz matritsa ko‘rinishida yozib olamiz Bu matritsa bosh diagonalida joylashgan barcha elementlar 1 ga teng bo‘lib, undan yuqoridagi diagonalda joylashgan barcha elementlar -1 ga teng. 0 ‘z-o‘zidan ko'rinib turibdiki, bunda har bir satr elementlari yig'indisi ham, ikkinchi ustundan boshlab, har bir ustun elementlari yig:indisi ham nolga teng. Birinchi ustun elementlari
yig‘indisiga kelsak, ravshanki, u 1 ga teng. Shunday qilib, qaralayotgan holda

ya’ni har ikki t.akroriy qator yaqinlashsada, ularning yig'indisi o'zaro teng bolmas ekan.