Mavzu. Absalyut va shartli yaqinlashuvchi qatorla Reja

9.3.3 - teorema. Agar qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘lsa, bu qatorning hadlari o'rnini istalgancha almashtirish natijasida hosil bo`lgan yangi qator ham yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yig`indisi berilgan qator yig‘indisiga teng bo‘ladi. Isbot. Faraz qilaylik, (9.3.16) qator absolyut yaqinlashib uning yig‘indisi S ga teng bo'lsin. Bu qator hadlarining o‘rnini o'zgartirish natijasida hosil bo'lgan (9.3.15) qatorni qaraymiz va uning yaqinlashuvchi bo'lib, yig'indisi aynan S ga tengligini ko`rsatamiz. Buning uchun S¹_n orqali (9.3.15) qatorning qismiy yig'mdilarini belgilaymiz:

va istalgan Ԑ > 0 olganda ham shunday N = N(Ԑ) nomer topilib, barcha K ≥ N larda

tengsizlik bajarilishini isbotlaymiz. Modomiki (9.3.16) qator absolyut yaqinlashar ekan, Koshi kriteriysiga asosan, berilgan Ԑ > 0 uchun shunday m = m(Ԑ) nomer topiladiki, barcha natural p sonlar uchun

tengsizlik bajariladi.
Demak, (9.3.16) qatorning S_m qismiy yig'indilari quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi:

bahoga ega bo'lamiz.
Yuqorida aniqlangan rn = m(Ԑ) sonni tayinlab, N = N(Ԑ) nomerni shunday katta qilib olamizki, n ≥ N bo‘lganda berilgan qatorning hadlari o'rnini almashtirish natijasida hosil bo‘lgan qatorning (9.3.17) ko`rinishdagi S'_n qismiy yig'indilari quyidagi

hadlarni o‘z ichiga olsin.
U holda, shunday aniqlangan ixtiyoriy qismiy yig`indini

ko'rinishda yozish mumkin, bu yerda shtrix orqali S'_n ga kiruvchi k > m nomerli a_k elementlardan iborat yig'indi belgilangan. Shunday ekan, yetarlicha katta p lar uchun, (9.3.19) ga asosan,

tengsizlik bajariladi.
Bundan. (9.3.20) ni e’tiborga olsak, n ≥ N bo'lganda talab qilingan (9.3.18) tengsiziikka ega bo`lamiz:

Natija. Agar musbat hadli qator yaqinlashsa, u hadlarining o‘rnini istalgancha almashlirgandan keyin ham xuddi o‘sha yig‘indiga yaqinlashadi.
5. Shartli yaqinlashuvchi (9.3.10) qator hadlarining o‘rnini almashtirish haqidagi yuqoridagi natijani B. Riman umumiy holda ham isbot qilgan. Chunonchi, agar (9.3.16) qator shartli yaqinlashsa,
uning hadlarini o'rnini o‘zgartirish natijasida uni istalgan avvaldan berilgan songa yaqinlashuvchi qilish mumkin.
Bu teoremani isbot qilishdan oldin, biz shartli yaqinlashuvchi qatorda musbat hadiari ham, manfiy hadiari ham cheksiz ko‘p ekanini ko‘rsatamiz. Aslida biz bundanda kuchliroq natijani, ya’ni bunday qatoriarda musbat hadlarining yig'indisi ham, manfiy hadlarining yig‘indisi ham chegaralanmagan ekanini isbotlaymiz.
Shu maqsadda (9.3.16) qatoming n - nomerli qismiy yig'indisi tarkibiga kiruvchi musbat hadlari yig'indisini P(n) simvol orqali va o‘sha qismiy yig!indi tarkibiga kiruvchi manfiy hadlarining absoiyut
qiymatlari yig!indisini Q(n) simvol orqali belgilaymiz.
9.3.1 - tasdiq. Agar (9.3.16) qator shartli yaqinlashsa, u holda

tenglik bajariladi.

Isbot. Ravshanki, P(n) va Q(n) kattaliklarta’rifigako'ra, (9.3.16) qatorning n-nomerli qismiy yig'indisi

ga teng bo‘lib, hadlami absoiyut qiymatlaridan hosil bo!lgan qatoming n - qismiy yig'indisi esa

ga teng.
Endi qayd etamizki, (9.3.16) qatorning biror S soniga yaqinlashishi

tenglik bajarilishini anglatsa, ko'rsatilgan qatorning shartli yaqinlashishi esa, qatorning absoiyut yaqinlashmas ekanini, ya’ni

munosabat bajarilishini anglatadi.
Agar (9.3.24) va (9.3.25) tengliklarni (9.3.22) va (9.3.23) tengliklar
bilan taqqoslasak,

tengliklarga ega bo‘lamiz.

Ravshanki, bu munosabatlardan talab qilingan (9.3.21) tenglik kelib chiqadi.
Endi, (9.3.21) munosabat larga asoslanib, yuqorida qayd etilgan Riman teoremasini isbotlash qiyin emas.