Mavzu. Absalyut va shartli yaqinlashuvchi qatorla Reja

9.3.4 - teorema (B. Rim an). Agar (9.3.16) qator shartii yaqinlashsa, istalgan haqiqiy A soni uchun bu qator hadlari o'mini shunday almashurish mumkinki, natijada ho sil bo‘lgan (9.3.15) qator yaqinlashuvchi bo‘lib.uning yig’indisi A ga teng bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, (9.3.16) qator shartli yaqinlashsin. U holda qator yaqinlashishining zaruriylik shartiga ko‘ra. bu qatorning musbat hadlari ham, manfiy hadlari ham nolga intiladi. Shuning uchun qatorning musbat hadlarini kamayuvchi tartibda joylashtirishimiz mumkin. Bunda hosil bo'lgan ketma-ketlikni {p_k} orqali belgilaymiz Xuddi shunga o'xshash, manfiy hadlar absolyut qiymatlarini
kamayuvchi tartibda joylashtirib, hosil bo‘lgan ketma-ketlikni {q_k} orqali belgilaymiz.
9.3.1 - tasdiq va 9.3.3 - teoremaning natijasidan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi:

Endi A ixtiyoriy berilgan haqiqiy son bo'lsin. (9.3.16) qator hadlarini o'mini quyidagi ravishda almashtirarniz.
1) Dastlab musbat hadlarni shunday qo‘shib boramizki, toki ularning yig‘indisi S(n₁)=p₁+p+… p_n berilgan A dan oshsin. Bungaerishishimiz bilan, hosil bo'lganyig‘indidan q₁,q₂,..q_m1 sonlarni shunday ayirib boramizki, toki
S(n₁ + m₁) = p₁ + P2 + ... +p_n1 – Q₁ - q₂ - ... – q_m1 (8.3.25)
kattalik A dan kichik bolsin, Modomiki (9.3.26) shart bajarilar ekan, bu har ikki qadamni ham amalga oshirish mumkin.
2) Ikkinchi qadamda yana p_ni+1 +_{pni+ 2} +... + P_n2 musbat hadlarni shunday qo‘shib boramizki, toki ularning umumiy yig'indisi

yana A dan oshib ketsin. So'ngra, hosil bo‘lgan yig'indidan

q_m1+1; q_m2i+2; …q_mn
sonlarni shunday ayirib boramizki, toki

qiymat A dan kichik bo‘lsin.
k) Bu jarayonni davom ettirib, k-qadamda hosil qilingan S(n_k-1+m_k-1) yig'indiga musbat hadlarni shunday qo‘shib boramizki, toki umumiy yig'indi S(n_k + m_k-1) berilgan A sondan oshib ketsin, so`ngra, manfiy hadlarni shunday qo‘shib (ya’ni q<sub>j</sub> larni ayirib) boramizki, toki umumiy yig'indi S(n<sub>k</sub>+m<sub>k</sub>) o‘sha A sondan kichik bo'lsin.
Albatta, bu jarayon hech qachon tugamaydi. Chunki har bir qadamda biz hech bo'lmasa bitta musbat va bitta manfiy hadni qo‘shib borayapmiz va bunday hadlarning soni, yuqorida ko`rsatganimizdek, cheksiz ko‘pdir. Bu jarayon natijasida biz (9.3.16) qator hadlarining o`rni almashtirilgan yangi qatorga ega bo‘lamiz.
Mana shu yangi qatorning S(n) qismiy yig‘indilari berilgan A soniga yaqinlashishini ko'rsatamiz. Ravshanki, hadlar o!rnini almashtirish jarayoniga asosan, k- qadamdan so'ng qismiy yig'indilar A+p_mk sonidan oshib ketmaydi va, xuddi shu kabi, A+q_mk dan kichik ham bo'lmaydi. Bundan chiqdi, n≥n_k+m_k bolganda quyidagi

qo'sh tengsizlik bajariladi.
Shartga ko'ra (9.3.16) qator shartli yaqinlashgani sababli, bu qator hadiari nolga yaqinlashadi. Demak, (9.3.27) dan

munosabat kelib chiqadi, ya’ni hadlarining o‘rni almashtirilgan qator avvaldan berilgan A soniga yaqinlashar ekan.
Eslatma. Xuddi yuqoridagi usul bilan shartli yaqinlashuvchi qatorni +∞ yo -∞ ga intiladigan, yoki bo‘lmasa umuman limitga ega boimaydigan qilib hadlarini o‘ mini o'zgartirish mumkinligi ko'rsatiladi.