Mavzu. Absalyut va shartli yaqinlashuvchi qatorla Reja

Ikki karrali qatorlar. Haqiqiy sonlaming (a_nk) ko‘rinishdagi ikki karrali ketma-ketligini qaraymiz, bu yerda n va к indekslar barcha natural qiymatlarni qabul qiladi. Ushbu

formal yig‘indini yozib, uni ikki karrali qator deb ataymiz. Oddiy sonli qatorlardan farqli ravishda ikki karrali qator yig'indisi turli usullarda aniqlanishi mumkin. Matematik tahlilning tadbiqlarida (9.4.1) ikki karrali qatorni takroriy qator deb qarash, ya’ni qator yig'indisi sifatida
sonni olish ayniqsa ko‘p uchraydi. Bunday aniqiashda yig'indi olish tartibi muhim ahamivatga ega, chunki boshqa tartibda olingan

yig‘indi s sonidan farq qilishi, yoki umuman mavjud bo'knasligi mumkin.
9.4.1 - misol. Qator hadlari a_nk = (∂_nk-∂_2nk) ko'rinishda aniqlangan bo‘lsin, bunda ∂_nk orqali Kroneker del'ta-simvoli deb ataiuvchi quyidagi kattalik belgilangan:

U holda istalgan n nomer uchun

tengiik bajariladi, chunki (9.4.4) cheksiz yig'indida faqat ikki had noldan farqli boiib, bulardan biri (k=n bo'lgan holda) 1 ga teng bolsa, ikkinchisi esa (k = 2n bo‘lgan holda) —1 ga teng. Demak, (9.4.2) qator yaqinlashadi va s = 0 bo‘ladi. Ammo istalgan toq k nomer uchun

tengiik bajariladi, ya'ni bu yig'indi k,→∞ da nolga intilmaydi va shu sababli (9.4.3) qator uzoqlashadi. Shuni aytish kerakki, agar (9.4.1) qatoming barcha hadlari musbat bo‘lsa, (9.4.2) va (9.4.3) yig'indilar ustma-ust tushadi.
9.4.1 - teorema. Ikki karrali (9.4-1) qatoming barcha hadlar manfiy bo‘lmasin, ya’ni a_nk > 0 bo'lsin. U holda, agar (9.4-2) takroriy qator yaqinlashsa, (9.4-8) takroriy qator ham, yaqinlashadi va

tengiik bajariladi.
Isbot. Teorema shartiga ko‘ra, istalgan n ≥ 1 uchun

ko'rinishdagi qatoriar va, bund an tashqari,

qator yaqinlashadi.
Shundan foydalangan holda biz isialgan к ≥ 1 uchun

ko'rinishdagi qatorlarning va quyidagi

qatorning yaqinlashishini ko'rsatib,

tenglikni isbotlashimiz kerak.
Avval shuni qayd etamizki, qatorning hadlari manny bo‘lmagani sababii, (9.4.6) tenglikdan istalgan N uchun

tengsizlik kelib chiqadi.
Bundan, xususan,

tengsizlikni olamiz. Bu fcengsizlik va (9.4.7) qatorning yaqinlashishiga ko‘ra esa, istalgan k ≥1 uchun (9.4.8) qatorning yaqinlashishi kelib chiqadi.
Ikki takroriy yig‘indilardan biri chekli boigan holda, 9.1.2 – tasdiqqa ko‘ra, yig'indi tartibini o'zgartirish mumkin. Bundan chiqdi, (9.4.11) tengsizlikka asosan,

munosabatga ega boiamiz.
Ravshanki, qator hadlari manfiy boimagani uchun, N o'sganda chap tomondagi yig‘indining monoton o'sishi kelib chiqadi. Shunday ekan, (9.4.9) qator (demak, (9.4.3) takroriy qator ham) yaqinlashadi va