Abu rayhoh beruniy nomidagi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ABU RAYHOH BERUNIY NOMIDAGI TOSHKENT DAVLAT TEXNIKA UNIVERSITETI










MAVZU:

DARAJALI QATORLAR. QATORLAR YORDAMIDA TAQRIBIY HISOBLASHLAR.

Bajardi: Sodiqov H. Tekshirdi: Axmadjonova K.


Toshkent-2015

DARAJALI QATORLAR. QATORLAR YORDAMIDA TAQRIBIY HISOBLASHLAR.

Ta’rif. Hadlari darajali funksiyalardan iborat bo’lgan



a  a x  a x ² ...a xⁿ ... _ a xⁿ

0 1 2

n n

n0

(1)

ko’rinishdagi qator darajali qator deb ataladi.

Abel teoremasi. 1) Agar darajali qator x=x₀0 nuqtada yaqinlashsa, u holda bu qator -|x₀|<x<|x₀| oraliqda absolyut yaqinlashadi; 2) Agar darajali qator x=x₀^| nuqtada uzoqlashsa, u holda bu qator -|x₀^||>x va x>|x₀^|| oraliqlarda uzoqlashadi;

Isboti. 1) Teoremaning shartiga ko’ra

а₀+а₁х₀+а₂х₀²+...+а_nx₀ⁿ+... (2)
qator yaqinlashadi, demak n da a_nx₀ⁿ0, bu degani shunday bir musbat M soni mavjud bo’ldiki, qatorning hamma hadi absolyut qiymati bo’yicha M dan kichik bo’ladi. (1) qatorni


a  a x ^



x
^  a x

 2

x

x

2
 

 ...  a x

 n

x

x

n
 

 ...



0 
0 1 0 _{ x }

2 0 _{ }

 0 

n 0 _{ }

 0 

(3)

ko’rinishda yozib olamiz va

2

n
2 n

|a₀ ||a₁ x₀ |

|a₂ x₀ |

...|a_n x₀ |

...

(4)

qatorni ko’raylik. Bu qatorning hadlari

2 n

M  M ^x

x₀

• 
  _M x
  

x₀

... M ^x

x₀

... ₍₅₎

qatorning mos hadidan kichik. |x|<|x₀| tengsizlik bajarilganda (5) qator maxraji

_{q } x

x₀

^{ 1} ga teng bo’lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani

tashkil etadi, demak, yaqinlashadi. Shunday qilib, (5) qator yaqinlashgani uchun

(4) qator ham yaqinlashadi, natijada (3) qator yoki (1) qator absolyut yaqinlashadi.

2) Endi teoremaning ikkinchi qismini ham isbot qilish unchalik qiyin emas: faraz qilaylik x₀¹ nuqtada (1) qator uzoqlashsin. U holda |x|>|x₀^||

tengsizlikni qanoatlantiruvchi har qanday x nuqtada ham qator uzoqlashadi. Demak, -|x₀^||>x va x>|x₀^|| oraliqlarda (1) qator uzoqlashadi. Shunday qilib, teorema to’la isbot qilindi.

Ta’rif. Darajali qatorning yaqinlashish sohasi markazi koordinat boshida yotadigan intervaldan iboratdir. Darajali qatorning yaqinlashish intervali deb shunday -R dan +R gacha bo’lgan intervalga aytiladiki, bu intervalning ichida yotadigan har qanday x nuqtada qator absolyut yaqinlashadi, intervalning tashqarisida yotadigan istalgan x nuqtada esa uzoqlashadi.

qator yaqinlashadi



qator uzoqlashadi qator uzoqlashadi

R soni darajali qatorning yaqinlashish radiusi deb aytiladi. Intervalning oxirlarida (ya’ni x=-R va x=R nuqtalarida) berilgan qatorning yaqinlashishi va uzoqlashishi haqidagi savol har bir qator uchun alohida yechiladi.

1. 
   Darajali qatorning yaqinlashish intervalini (yoki yaqinlashish radiusini) topish.
   

1. 
   darajali qatorni
   

|a ||a || x||a || x|² |a || x|³ ...|a

|| x|ⁿ ...

(6)

0 1 2 3 n
ko’rinishda yozib olamiz. Bu qator musbat hadli qator bo’lgani uchun uning yaqinlashishini Dalamber alomatiga ko’ra aniqlaymiz. Faraz qilaylik, quyidagi limit mavjud bo’lsin:

u a x^n1 a

n

n
_lim n1

 lim| ^n1 | lim| ^n1 || x|

L| x|

n _un

n _{a x}ⁿ n _a

Unda agar L|x|<1 bo’lsa, ya’ni |x|<1/L yoki -1/LL intervalda qator absolyut yaqinlashadi.

Agar L|x|>1 bo’lsa, ya’ni |x|>1/L yoki -1/L>x va x>1/L intervallarda qator uzoqlashadi. Yaqinlashish radiusi

1

R  _L

 lim|

n

a_{n |}

^an1

formulaga ko’ra topiladi. Shunga o’xshab R ni Кoshi alomatini qo’llab ham

1

topish mumkin: ^{R  ;}

Misol.

x 2² x ²

2  2²

₃2 _x 3

 <sub>23

4</sub>2 _x 4

 ₂₄

...

_n2 _xn

₂n

^... darajali qatorning

yaqinlashish intervali topilsin.

_n2
(n  1)²

^{Yechish. Bu yerda a}n

 _2n ,

a

^an1

^ ₂n1

_n2 ₂n1

^, demak,

R  lim| ⁿ | lim  2

n

^an1

^n 2ⁿ (n  1)²

Javob. Berilgan darajali qatorning yaqinlashish intervali

-2<x<2 tengsizlikdan iborat. Intervalning chegaralarida qator uzoqlashadi.

2. 
   Teylor va Makloren qatorlari.
   

Agar y=f(x) funksiya x=a nuqtaning atrofida (n+1)-nchi tartibgacha hosilaga ega bo’lsa Teylor formulasi deb ataluvchi

f (x) 

f (a) 

x  a

1!

f ^| (a) 

(x  a)²

2!

_f ||

(a)  ... 

• 
  (x  a)ⁿ
  

n!

_f (n)

1. 
    R_n (x).
   

(1)

formula bizga ma’lum, bu yerda

(x  a)^n1

R_n (x) 

(n  1)!

f ^(n1) [a  (x  a)]

qoldiq had edi, 0<<1.

n
Agar f(x) funksiya x=a nuqtaning atrofida istalgan tartibgacha hosilaga ega bo’lsa, Teylor formulasidagi n istalgancha katta qilib olinishi mumkin. ^{Faraz qilaylik lim R}n ^{(x)  0 bajarilsin, u holda (1) formulada n da}

limitga o’tib, o’ng tomonda qator hosil qilinadi va u Teylor qatori deb ataladi:

f (x) 

f (a) 

x  a

1!

f ^| (a) 

(x  a)²

2!

f ^|| (a)...

(x  a)ⁿ

n!

f ⁽ⁿ⁾ (a)... ₍₂₎

n
^{(2) tenglik lim R}n ^{(x)  0 bajarilgandagina o’rinlidir.}

Agar Teylor qatorida a=0 desak uning xususiy ko’rinishi bo’lgan Makloren qatori hosil bo’ladi:

f (x) 

f (0)  ^x

1!

f ^| (0)  ^x


2
2!

f ^|| (0)... ^x


n
n!

f ⁽ⁿ⁾ (0)...
(3)

Berilgan f(x) funksiyani Teylor qatoriga yoyish uchun:

1. 
   f(x) funksiyaning barcha tartibdagi hosilalarining x=a nuqtadagi qiymatlari hisoblanadi va Teylor qatorining yoyilmasiga olib borib qo’yiladi;
   
2. 
   hosil bo’lgan qatorning yaqinlashish sohasi topiladi.
   

Misol. f(x)=2^x funksiya x ning darajalari bo’yicha Teylor qatoriga yoyilsin.

Yechish. a) 2^x funksiyaning barcha tartibdagi hosilalarini x=0 nuqtadagi qiymatlarini topamiz:

f(x)=2^x, f(0)=1;

f^|(x)=2^xln2, f^|(0)=ln2;

f^||(x)=2^xln²2, f^||(0)=ln²2;

......................................................

f⁽ⁿ⁾(x)=2^xlnⁿ2, f⁽ⁿ⁾(0)=lnⁿ2;

......................................................

Endi topilgan qiymatlarni (3) ifodaga qo’yib, 2^x funksiya uchun x ning darajalari bo’yicha Teylor qatorini hosil qilamiz:

2 ^x  1 

ln 2

_1! x 

ln² 2

2!

x ² ...

lnⁿ 2


n!

xⁿ ...

b) hosil bo’lgan qatorning yaqinlashish sohasini topamiz:

R  lim| ^an | lim

lnⁿ 2(n  1)!

 

n

^an1

n

_n!ln^n1 ₂ dan ko’rinadiki topilgan qator x

ning har qanday qiymatlarida yaqinlashadi.

3. 
   Asosiy funksiyalar yoyilmasining jadvali:
   

 _xⁿ _x ² _x ³ _x ⁴

_1. e^x  _  1  x    ... (| x| );

n0 ^n!

2! 3! 4!

2. 
   sin x  _
   

n1



_(1)n1 _x2n1

(2n 1)!

(1)ⁿ x²ⁿ

 x  ^x 

3
3!

_x2 _x4

^x  ... 5!


5
_x6

(| x | );

2. 
   cos x  _
   

n0

(2n)!

 1  