Abu rayhoh beruniy nomidagi

2!



4! 6!

 ...

(| x | );

4. ¹ = _

xⁿ  1  x  x²  x³  x⁴  ...

(| x | 1);

1. x

n0

5. (1  x)^m

= 1 + _

n1

m(m 1)(m  2)...(m  n  1)_{xn =}

n!

_{= 1 + mx } m(m 1) _{x2 } m(m 1)(m  2) _{x3 + ...}

(| x | 1)

2! 3!

(binomial m-istalgan haqiqiy son);

6. ln(1  x)  _

n1

(1)^n1 xⁿ

n

 x  ^x

2
2

• 
  _x3
  

3

• 
  _x4
  

4

 ...

(1  x  1);

7. arctgx  _

n1

_(1)n1 _x2n1

2n  1

 x  ^x

3
3

• 
  _x5
  

5

• 
  _x7
  

7

 ...

(| x | 1);

4. Qatorlar yordamida taqribiy hisoblashlar.
f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi qiymatini taqribiy hisoblash uchun bu funksiya darajali qatorga yoyiladi va yoyilmadagi x lar o’rniga x₀ qiymat qo’yiladi. Shundan keyin f(x₀) qiymatni kerakli aniqlikda hisoblash uchun qatorning zarur sondagi boshlang’ich hadlari olinadi. Masalan, arcsin1/10 ni hisoblash uchun arcsinx funksiyani darajali qatorga yoyish (x ning darajalari bo’yicha) va undagi x lar o’rniga 1/10 qiymatni qo’yish kerak.

4. 
   misol. 0,00001 aniqlikda hisoblansin.
   

Yechilishi. ^ex

olamiz:

 1  x 

_x2 

2!

_x3

 
...

3!

^{x } ; yoyilmada x=1/4 deb


n
n!

_e1/4

 1 

1 _

⁴ 4²

1 _

 2!

1 _

4³  3!

1

4⁴  4!

...

_|x|n1

Ushbu hisoblashda |x|<n+1 lar uchun qilinadigan xatolik ^|R_n ^| _{n!(n  1|x|)}

tengsizlikdan topiladi.

Agar n=4 deb, beshta hadni olsak ko’rilayotgan hisoblashdagi xatolik 0,00001 dan oshmaydi:

_x41

^{Rn } 4!(4  1  x)

 ¹  0,00001

4⁵  4!(5  1 / 4)

4. 
   misol. cos1^o 0,0001 aniqlikda hisoblansin.
   

Yechilishi. Кosinusning taqribiy qiymatlarini hisoblashda

_x2 _x4 _{n x}2n

cos x  1   ...(1)

2! 4! (2n)!
formuladan foydalaniladi.

Bunda qilinadigan xatolik

_x2n2

^{|R2n |} (2n  2)!
tengsizlikdan topiladi.

Demak, ^{cos10  cos } bo’lgani uchun kosinusning yoyilmasida

180

_{x } 

180

deb birinchi ikkita hadni olsak,

cos1⁰

_ 2


1  180₂  2!  0,9998

 24

45



2
hosil bo’ladi. Bunda qilingan xatolik nihoyatda kichikdir:

_ 4 ₄4


4!

180

 4!
|R₂ | _{1804 }  ₄

¹  0,0000001_.