Математиканинг қизиқарли масалалари

4. Жуфт ва тоқ сонлар
1. Отда кетаётган Кенжа ботирга даштда бўрилар галаси ҳужум қилди. Кенжа ботир иккита бўри ёнидан ўтаётганда, бу бўрилар унга ташландилар. Кенжа ботир бўриларга чап берди, бўрилар эса бир-бири билан тўқнашиб, ярадор бўлишди. Шу чап бериш усулини қўллаб, Кенжа ботир барча бўриларни ярадор қилди. Галада 23 та бўри бўлган бўлиши мумкинми? Йўқ.
2. Чигиртка ҳар сафар тўғри чизиқ бўйлаб ўнгга ёки чапга 1 метр масофага сакрайди. Бир нечта сакрашлардан кейин чигиртка ҳаракатини бошлаган нуқтага қайтиб келди. Чигиртканинг сакрашлари сон жуфт бўлганлигини исботланг. Дастлаб чигиртка сон ўқининг координата бошида турган деб қаранг.
3. Шиллиқурт текислик бўйлаб ўзгармас тезлик билан ҳаракат қилади ва ҳар 30 минутдан кейин 90⁰ бурчакка бурилади. Шиллиқурт п соатдан кейин бошланғич нуқтага қайтиб келган бўлса, а) п – бутун сон, б) п– жуфт сон эканлигини исботланг. Бошида (0;0) нуқтада бўлган шиллиқурт координата текислигида 30 минутда 1 бирлик масофага юради деб қаранг ва ҳар 30 минутдан кейин шиллиқурт жойлашган нуқта координаталари йиғиндисини жуфт-тоқлигига эътибор беринг.
4. ўлчамдаги катакли вараққа 5 та шашка қўйилган. а) Агар бу шашкалар варақнинг диоганалига нисбатан симметрик жойлашган бўлса, бу диагоналда ҳам шашка борлигини исботланг. б) Агар шашкалар иккала диагоналга нисбатан ҳам симметрик жойлашган бўлса, варақнинг марказидаги катакда шашка борлигини исботланг. битта шашка ўз-ўзига симметрик эканлигидан фойдаланинг.
5. 9 та шестерна (тишли доиралар) қуйидагича жойлаштирилган: биринчи шестерна иккинчиси билан, иккинчиси учинчиси билан, ... , саккизинчиси тўққизинчиси билан, тўққизинчиси эса биринчиси билан туташтирилган. Собир биринчи шестернани соат милининг ҳаракати йўналишида айлантирди. Қандай ҳодиса рўй беради? Нима учун?

Собир шестрнани айлантира олмайди. Чунки ёнма-ён жойлашган шестрналар ҳаракатларининг йўналишлари қарама-қарши бўлади.
6. Дунё бўйлаб саёҳатдан қайтиб келган Насриддин афанди “Даштистон” деб аталмиш мамлакат чегарасини 13 марта кесиб ўтганлигини гапириб берди. Сиз унга ишонасиз-ми? Йўқ.
7. Жуда катта майдонида учта тўп бор. Жасур улардан биттасини шундай тепади-ки, натижада у қолган иккитасининг орасидан ўтади. У шу қоида бўйича 2007 марта тўпларни тепди. Шундан кейин тўплар дастлабки ҳолатида жойлашиб қолиши мумкинми? Мумкин эмас. Жасур битта тўпни тепгандан кейин тўпларнинг жойлашиш тартиби ўзгаради.
8. 8 туп олма дарахти бир қаторда жойлашган. Ёнма-ён жойлашган дарахтлардаги мевалар сони 1 тага фарқ қилади. Барча туплардаги олма мевалари сони 2007 та бўлиши мумкин-ми? Мумкин эмас. Тоқ сондаги меваси бор дарахтлар сони 4 та.
9. Паллали тарозининг паллаларига битта 7 граммлик, бир нечта 6 граммлик ва бир нечта 8 граммлик тошларни жойлаштириб, тарозини мувозанат ҳолатга келтириш мумкин-ми? Йўқ. Битта паладаги тошлар оғирлиги тоқ, иккинчи палладаги тошлар оғирлиги эса жуфт сон билан ифодаланади.
10. 10 та бутун соннинг кўпайтмаси 1 га тенг. Бу сонлар йиғиндиси нолга тенг эмаслигини исботланг. Бундай кўпайтувчилар ё 1, ёки -1 бўлиб, -1 лар сони жуфт.
11. 25 та бутун соннинг кўпайтмаси 1 га тенг. Бу сонлар йиғиндисининг энг кичик қийматини топинг. -23
12. 99 та қоғоз бўлакларининг ҳар бирига навбат билан 1, 2, 3, ..., 99 сонлардан биттаси ёзилди. Қоғозлар аралаштирилди ва бу қоғозларнинг тоза (сон ёзилмаган) томонларига ҳам 1, 2, 3, ..., 99 сонлари кетма-кет ёзилди. Ҳар бир қоғоз бўлагидаги сонларнинг йиғиндилари ҳисобланди. Ҳосил бўлган 99 та соннинг кўпайтмаси жуфт эканлигини исботланг. Иккала томонига ҳам тоқ сон ёзилган қоғоз бўлаги топилади.
13. Доскага 2007 та бутун сон ёзилган. а) Битта сонни ўчириб, қолган сонлар йиғиндисида жуфт сон ҳосил қилиш мумкинлигини исботланг. б) Бу исботланган 2008 та бутун сон учун ҳам тўғрими? а) Тоқ сонлар сони жуфт бўладиган қилиб битта сон ўчирилади. б) Йўқ. Масалан, сонларнинг ҳар бири тоқ бўлса.а)кала томонига ҳам тоқ сон ёзилган қоғоз бўлаги топилади.и эса жуфт сон билан ифодаланади.деб қаранг ва ҳар 30 ми
14. Ўқитувчи вараққа 20 сонини ёзди ва уни синфдаги ўқувчиларга берди. Ҳар бир ўқувчи варақдаги сонга 1 ни қўшади ёки айиради. Синфда 33 та ўқувчи бўлса, оҳирида варақда а) 10; б) 21 сони ҳосил бўлиши мумкинми? а) Йўқ, чунки оҳирида тоқ сон ҳосил бўлади; б) ҳа.
15. Зилола билан Ҳилола қуйидагича ўйин ўйнашаяпти: Зилола юқорига танга отади, Ҳилола эса танганинг қайси томони билан ерга тушушини олдиндан айтиши керак. Агар танга Ҳилола айтган томони тушса, Зилола унга бу нечанчи танга отиш бўлса, шунча конфет беради, агарда Ҳилола тангани қайси томони билан тушушини топа олмаган бўлса, у Зилолага шунча конфет беради. а) Танга 11 марта отилганидан кейин Зилоланинг конфетлари сони олдингидек бўлиши мумкин-ми? б)30 марта отилганидан кейин-чи? а) йўқ; б)ҳа.
16. Али ва Вали навбатма-навбат битта қоғоз варағини бўлакларга бўлдилар. Унда, Али ҳар бир бўлакни 3 та бўлакка, Вали эса бешта бўлакка бўлди. Натижада 100 та бўлак ҳосил бўлиши мумкин-ми? Йўқ. Биор бўлакни 3 та ёки 5 та бўлакка бўлсак, бўлаклар сони 2 та ёки 4 тага, яъни жуфт сонга ортади.
17. а) Доскага 1, 2, 3, …, 12 сонлари ёзилган. Исталган 2 та сони уларнинг йиғиндиси ёки айирмасига алмаштиришга рухсат этилади. Бу иш доскада битта сон қолгунча давом эттирилади. а) Оҳирида қолган сон 0 бўлиши мумкинми? б) Доскадаги сонлар 1 дан 13 гача бўлгандачи? а) мумкин; б) мумкин эмас. Ҳар бир қадамдан кейин доскадаги тоқ сонлар сони ё ўзгармайди, ё 2 га ўзгаради.
18. Зилола 96 варақли дафтар сотиб олди ва унинг хамма бетларини 1 дан 192 гача бўлган сонлар билан номерлаб чиқди. Хилола бу дафтарнинг қандайдир кетма-кет келган 50 бетини йиртиб олди ва бетларга ёзилган 50 та соннинг йиғиндисини ҳисоблади. Ҳилола йиғиндида 2008 ҳосил қила олмаслигини исботланг. Кетма-кет келган 50 та натурал соннинг йиғиндиси 2008 бўла олмайди.
19. Стол устида 1 сўмлик, 5 сўмлик ва 10 сўмлик тангалар турган эди. Дилмурод бу тангаларнинг биттасини олди ва қолган тангаларнинг қийматини 2009 га кўпайтирди. Олдин ҳосил бўлган сонларни қўшди, кейин кўпайтирди ва ниҳоят ҳосил бўлган кўпайтма ва йиғиндининг айирмасини ҳисоблади. Бу жуфт сон экан. Дилмурод қайси тангани олган? 25 сўмлик.
20. 101 та танга бор. Уларнинг 50 таси қалбаки. Қалбаки тангалар ҳақиқийсидан 1 граммга фарқ қилади. Ситора 1 та тангани олди ва унинг ҳақиқий эканлигини паллаларидаги юкларнинг айирмасини кўрсатувчи тарозида бир марта ўлчаш ёрдамида аниқламоқчи бўлди. У буни уддалай оладими? Қолган тангаларни тарози паллаларига 50 тадан жойлайди. Агар тарози жуфт сон кўрсатса, Ситорадаги танга ҳақиқий, акс ҳолда қалбаки бўлади.
21. Доира шаклидаги стол атрофида 6 та стул бор. Али, Вали ва Ғулом бу стулларга ўттиришганда уларнинг қаршисидаги стуллар бўш қолди. Ҳар бир минутдан кейин болаларда биттаси ўрнидан туриб қаршисидаги стулга бориб ўтиради. 15 минутдан кейин болалар олдинги жойларида ўтирган бўлиши мумкин-ми? Йўқ. Болаларнинг жойлашиш тартиби 15 (тоқ сон) марта ўзгаради.
22. а) Айланага 1, 2, 3, ..., 20 сонлари соат мили ҳаракати йўналишида, ўсиш тартибида жойлаштирилди. Олдин 2 дона ўчирилди. Кейин соат мили ҳаракати йўналишида ўчирилган сондан кейин жойлашган сондан кейинги сон ўчирилди. Бу иш айланада битта сон қолгунча давом эттирилди. Қайси сон қолган? б) Айланага 1, 2, 3, ..., 2008 сонлари юқоридагидек жойлаштирилганда, оҳирида қайси сон қолади?