Математиканинг қизиқарли масалалари

3. Қолдиқли бўлиш. Қолдиқларнинг ҳоссалари
1. Йиғиндининг қолдиғи қолдиқларнинг йиғиндисига тенг.
2. Кўпайтманинг қолдиғи қолдиқларнинг кўпайтмасига тенг.
Янада аниқроқ айтсак сонларнинг йиғиндисини қандайдир сонга бўлгандаги қолдиқ сонларнинг ҳар бирини шу сонга бўлгандаги қолдиқлар йиғиндисига тенг. Сонлар кўпайтмасини қандайдир сонга бўлгандаги қолдиқ сонларнинг ҳар бирини шу сонларга бўлгандаги қолдиқлар қўпайтмасига тенг.
1. 5 га бўлганда қоладиган қолдиқлар учун қушиш ва кўпайтириш жадвалини тузинг.
2. а) Агар а сони 5 га бўлганда 3 қолдиқ қолса, 2а ни 5 га бўлгандаги қолдиқни топинг. б) Агар а сонини 7 га бўлганда 5 қолдиқ қолса, 13а ни 7 га бўлгандаги қолдиқни топинг.
3. 2000·2001·2002·2003 – 24 сонининг а) 1999 га б) 2004 га бўлинишини исботланг.
4. 2004·2005·2006+6 сонининг 2007 га бўлинишини исботланг.
5. Тўла квадратни (бутун соннинг квадрати) 3 га бўлганда қандай қолдиқ қолиши мумкин. 0 ёки 1.
6. Иккита тўрт орасига бир нечта учлар ва нолларни жойлаштириб, тўла квадрат ҳосил қилиш мумкинми? Йўқ. Ҳосил бўлган сонни 3 га бўлганда 2 қолдиқ қолади. Олдинги масалага қаранг.
7. Иккита бутун соннинг квадратлари йиғиндиси тўла квадрат. Бу сонлардан камида биттаси 3 га бўлинишини исботланг. Қолдиқлар бўйича текширинг.
8. Тўла квадратни 4 га, 5 га, 7 га бўлганда қандай қолдиқ қолиши мумкин?
9. а) иккита б) учта тоқ сонлар квадратларининг йиғиндиси бутун соннинг квадратига тенг бўла оладими? а) йўқ; б) ҳа.
10. Еттита сондан ихтиёрий 6 тасининг йиғиндиси 5 га бўлиниши маълум. Уларнинг ҳар бири 5 га бўлинишини исботланг.
11. Сарвар ўйинчоқ аскарларни ўйнаяпти. Дастлаб ўйинчоқларни жуфт-жуфт қилиб жойлаштиришга уринди, аммо битта ортиб қолди. Сўнгра Сарвар ўйинчоқларни 3 тадан жойлаштирмоқчи бўлди. Унда ҳам битта ўйинчоқ ортиб қолади. Агар у 4 тадан, 5 тадан, 6 тадан жойлаштирмоқчи бўлса ҳам битта ортиб қолади. Охири 7 тадан сафга жойлаштиришга эришди. Агар Сарвардаги ўйинчоқлар сони 1000 тадан кам бўлса, унда нечта ўйинчоқ бўлиши мумкин? 2 га, 3 га, 4 га, 5 га, 6 га бўлганда 1 қолдиқ қоладиган сонлар 3·4·5·к+1 кўринишда бўлади. Бундай кўринишдаги сонлардан 7 га карралиларини топиш учун 60к+1=7t тенгламанинг натурал ечимларини топиш керак. Жавоб: 721.
12. а) Қуён ўрмонда айланиб юриб, бўрига дуч келди. Бўри қуёнга – агар, 1 минут ичида иккининг бир хил рақам билан тугайдиган иккита даражасини айтса, уни емаслигини айтди. Қуёнга ёрдам беринг. б) Бўри қуёнга иккининг иккита бир хил рақам билан тугайдиган даражасини топса уни қўйиб юборишини, агар учта бир хил рақам билан тугайдиган даражасини топса, уни умуман қувламаслигини айтди. Қуён бунга эриша оладими?
Қуйидаги масалалардан баъзи бирлари қуйидаги тасдиқ ёрдамида исботланади:
Агар икки та сонни к га бўлганда бир хил қолдиқ қолса, уларнинг айирмаси к га бўлинади.
13. а) Ўн икки та бутун сон ичида бир хил рақам билан тугайдиган иккитаси топилишини исботланг. Рақамлар ўнта бўлгани учун дирихле принципига бир хил рақам билан тугайдиган иккита сон бор.
б) Ихтиёрий 8 та бутун сон ичида айирмаси 7 га бўлинадиган иккита сон топилишини исботланг. Сонни 7 га бўлганда қолдиқлар 0 дан 6 гача дирихле принципига кўра, 7 га бўлганда бир хил қолдиқ қоладиган 2 сон топилади.
14. Сарвар 5 та натурал сон ўйлади ва уларни квадратга оширди. Анвар бу квадратлар орасида айирмаси 9 га бўлинадиган иккита сон бор деди. У ҳақми? Ҳа, чунки соннинг квадратини 9 га бўлганда қолдиқда фақат 0, 1, 4, ёки 7 қолиши мумкин.
15. Ихтиёрий ўнта сон орасидан ё 1 таси 10 га бўлинадиган, ёки бир нечтасининг йиғиндиси 10 га бўлинадиган сонларни танлаш мумкинлигини исботланг.
16. Рақамлари а) фақат ноллар ва бирлар; б) фақат бирлардан иборат бўлиб, 321 га бўлинадиган сон борлигини исботланг.
17. 1 дан 10 гача бўлган сонлар орасидан бири иккинчисидан икки марта катта сонлар жуфтлиги қилиб, кўпи билан нечта натурал сон танласа бўлади?
18. Спорт клубида массалари 1 кг, 2 кг, ..., 100 кг бўлган 100 та тош бор. Тошларни, ҳеч бир жамоадаги тошларнинг умумий массаси бошқасида тошларнинг умумий массасини икки бараварига тенг бўлмайдиган қилиб, тарқатиш мумкин бўлиши учун камида нечта жамоа керак бўлади.
19. 40 дан ошмайдиган натурал сонлар орасидан, бири бошқасига бўлинмайдиган қилиб кўпи билан нечта сон танлаш мумкин.
20. а) 15 дан ошмайдиган 8 та турли натурал сонлар берилган. Уларнинг жуфт-жуфт айирмалари орасида 3 та бир хили топилишини исботланг.
б) 70 дан кичик 20 та турли натурал сонлар берилган. уларнинг жуфт-жуфт айирмалари орасида тўртта бир хили топилишини исботланг.
в) Шунга ўхшаш масала тузинг.
21. Ихтиёрий 9 та кетма-кет натурал сонлар орасида қолганларининг ҳар бири билан ўзаро туб бўлган камида битта сон топилишини исботланг.
22. Ҳар доим 37 та бутун сон орасидан йиғиндиси 7 га бўлинадиган 7 та сон танлаш мумкинлигини исботланг.