Matematika oqíTÍw metodikasí

4. Matematika sabaǵın ótkeriw 
Dúzilgen matematika sabaǵınıń reje yamasa konspekti 
oqıtıwshıǵa oqıwshılar menen orınlanatuǵın jumıs túriniń ulıwma 
jónelisi hám izbe-izligi, mısallar, algebralıq ańlatpa úlgilerin 
kórsetip turadı. 
Oqıtıwshı sabaq ótiwde dúzgen reje yamasa konspektinen erkin 
paydalanadı, ayırım waqıtları, dúzgen rejesinen shetke shıǵıw 
zárúryatı tuwıladı, mısalı, oqıwshılar oqıtıwshılardıń bayanın tómen 
túsingen bolsa, qosımsha túsindiriw ótkeriledi, oqıwshılar qıynalǵan 
bolsa zárúrli járdem kórsetedi, bilimlerin bekkemlew ushın 
orınlanǵan shınıǵıwlar jetkilikli bolsa, ayırımların qaldırıw múmkin, 
yaǵnıy bilimlerdi oqıwshılar qanday túsingenligin biliw maqsetinde 
soraw, tapsırmalardıń orınlanıwın tekserip kóriw múmkin. 
5. Matematika sabaǵın analiz etiw 
Baslawısh klaslarda matematikadan sabaqtı analiz etiw hám 
bahalaw birinshi gezekte, onıń tálim-tárbiyalıq áhmiyetin kórsetedi, 
sonıń ushın sabaqtı juwmaqlaǵanda hár tárepleme onı qay dárejede 
dúzilgenligin hám ótilgenligin, házirgi zaman psixologiyalıq-
pedagogikalıq talaplar dárejesinde qalay orınlanǵanlıǵın hám 
tiykarǵı didaktikalıq prinсiplerin qalay qollanǵanlıǵın kórsetiw 
kerek. Sabaq analizi onıń mazmunı strukturasın, waqıttı bólistiriwdi, 
jumıs orınlaw usılları, qollanılǵan kórgizbe hám basqa didaktikalıq 
qurallardı kórsetiw kerek. Sabaqtı hár tárepleme qaraǵanda 
oqıwshılar iskerligin qalay asırǵanın, onnan qaysı orında aktivlik 
hám ózlerinshe islewi buzılǵanın, albırawshılıq bolǵanlıǵın, shaxstıń 
basqa tárbiyalıq táreplerin ámelge asırǵanlıǵın itibarǵa alıw kerek. 
30

---

Sabaq analizi tómendegi baǵdarda beriliwi múmkin: 
1.Sabaqtıń tiykarǵı didaktikalıq maqsetin túsindiriw hám 
tiykarlaw. Bunday tema boyınsha sabaqlar sistemasında analiz 
qılınǵan sabaqtıń ornı hám roli, basqa sabaqlar menen baylanıslıǵı, 
sabaqtıń mazmunın bahalaw hám durıs túsindiriliwi, onıń 
strukturası, jumıstaǵı metod hám usılları kórsetiledi. 
2. Sabaqtıń mazmunınıń analizi. 
Sabaq mazmunın analiz etkende esaplaw shınıǵıwların qanday 
qollanǵanlıǵın, matematikalıq túsiniklerdi sheshiwge qaratılǵan 
arifmetikalıq máseleler hám basqa shınıǵıwlardı orınlawǵa 
beriletuǵın metodikalıq bahada tómendegilerdi itibarǵa alıw kerek: 
a) berilgen bilimlerdiń ilimiy juwapkershiligi hám jeterlishe 
qatańlıǵı, 
b) úyrenilgen materialdıń kúshliligi hám túsiniw dárejesi, 
oqıwshılardıń 
jumıs 
proсesinde 
jeterli 
wazıypa 
menen 
támiynlengenligi. 
v) sabaq materialınıń tálim-tárbiyalıq maqsetke tiyisliligi. 
g) oqıw materialı mazmunın sabaqtıń barlıq bólimlerin 
támiyinlew dárejesi. 
3. Oqıwshılar iskerligin birlestiriw hám baǵdarlawǵa baha. 
Sabaqta neshe oqıwshı yamasa barlıq oqıwshılar aktiv 
qatnasqanlıǵın hám ózbetinshe iskerlik penen bilimlerdi iyelegenligi, 
oǵan qanday jol menen erisiw zárurligin aytıw kerek: 
a) oqıw materialın, sonday-aq, jumıs metodın hám usılların 
tańlaw, oqıwshılardıń jası, olardaǵı bilim, tájiriybe hám kónlikpeler 
dárejesin esapqa alıw; 
b) oqıwshılardıń individual hám kollektiv jumısların jaylastırıw; 
v) oqıtıwda differensial qatnas jasaw; 
g) jańa matematikalıq túsinik, jańa esaplaw bólimleri, máseleler 
sheshiwdiń jańa bólimleri menen tanıstırıw, bilim hám tájiriybelerin 
islep shıǵarıwda aldınǵı materialdı bekkemlewge jóneltiriwdegi 
jumıslar itibarǵa alınadı; 
d) sabaqtıń hár bir bólimine waqıttıń ajıratılıwı; 
4. Sabaqta qollanılatuǵın kórgizbe hám basqa didaktikalıq 
qollanbalardıń xızmetin kórsetiw; 
5. Sabaq nátiyjesin bahalaw. Bahalawdıń zárúrli belgilerinen biri 
sol, sabaq óz maqsetine eriskenligi, hár bir oqıwshı tolıǵı menen 
31

---

ózbetinshe jumıs qılǵanlıǵı, olardıń hámmesi oqıtıwshı basshılıǵında 
ámelge asırılǵanlıǵın kórsetedi. Sabaqtı analizlegende sol nárseni 
túsiniw kerek, sol jaǵdayda sabaq tuwrı bahalanadı, oqıwshılardı 
oqıtıw hám tárbiyalawdıń pedagogikalıq proсesleri bir maqsetke 
qaratılǵan bolsa. 
Baslawısh matematika kursınıń eń kerekli ózgesheligi onıń 
ámeliy baǵdarlanǵanlıǵı. Eger joqarı klaslarda matematika 
dástúriniń bazı bir máseleleri teoriyalıq xarakterde bolsa, baslawısh 
mektepte hár bir taza túsinik, qásiyet, nızam ámeliy iskerlik 
nátiyjesinde hám ámeliy iskerlik ushın kiritiledi. 7-klasta, máselen, 
oqıwshılardıń tuwrı tórtmúyeshlik túsinigin ózlestiriwi, olar kelesi 
waqıtta tuwrı tórtmúyeshlik sıpatların biliwi, onıń qásiyetlerin 
logikalıq keltirip shıǵarıwdı hám ayırım qásiyetlerin dálillewdi 
biliwi, sıpatı, qásiyetleri hám qásiyetlerinen ámeliy máselelerdi 
sheshiw ushın paydalana biliwin bildiredi. Baslawısh klaslarda 
oqıwshılar tuwrı tórtmúyeshliktiń qarama-qarsı tárepleri teńligin 
ólshew jolı menen anıqlaydı hám tuwrı tórtmúyeshlikti jasaw, onıń 
perimetri hám maydanın ólshew hám esaplaw uqıbın iyeleydi. 
Oqıwshılarda baslawısh mektepte qáliplesetuǵın ámeliy 
uqıplılıqlardan kópshiligi pútin orta mektep matematika kursı ushın 
tiykarǵı áhmiyetke iye, biraq, túsinikler haqqında bunday dep aytıw 
múmkin emes. Mısalı, san haqqında 3 hám 4-klaslar oqıwshıları iye 
bolǵan túsinikler túpten parıq qıladı. Biraq, tómendegi klaslarda 
qáliplesetuǵın arifmetikalıq ámellerdi jazba hám awızeki orınlaw 
uqıpların da awızsha, orta klaslarda da, joqarı klaslarda da 
paydalanıladı. 
Solay etip,oqıwshılarda puxta ámeliy oqıw hám tájiriybelerdi 
qáliplestiriw baslawısh klass oqıtıwshısınıń tiykarǵı wazıypalarınan 
biri. Bunda ol ózara baylanıslı eki metodikalıq mashqalanı sheshiw 
kerek: 
1) belgili ámeliy jumıslardıń orınlanıw proсesi mazmunın 
detallastırıw hám konkretlestiriw; 2) oqıwshılardıń bul jumıslardı 
ózlestiriwi metodikasın hám ózlestiriw ústinen nátiyjeli baqlawdı 
islep shıǵıw. 
Aytayıq, bir proсesti elementar jumıslardıń shekli, qatań izbe-
izligi sıpatında súwretlew múmkin bolsın (elementar jumıs dep, 
orınlanıw proсesi belgili bolǵan jumıstı túsinemiz). Berilgen 
32

---

proсesti ámelge asırıw ushın qaysı elementar jumıslardı hám qaysı 
izbe-izlikte orınlaw kerekligin kórsetiwshi buyrıq algoritm dep 
ataladı. 
Eger bir jumıstı orınlaw algoritmi belgili bolsa, ol jaǵdayda onı 
ámelge asırıw uqıbın qáliplestiriw, ulıwmalastırıp aytqanda, oqıtıp 
atırǵan balaǵa onı jetkiziwden ibarat bolıwı múmkin. Solay etip, 
algoritmlerdi islep shıǵıw zárúrli metodikalıq áhmiyetke iye, 
algoritmlerdiń ózleri oqıtıw temaları boladı. 
Algoritmlerdi oqıtıw teması sıpatında dúziwde joqarıda 
kórsetilgen tiykarǵı talaplardan tısqarı jáne bir qatar didaktikalıq 
shártlerdi de esapqa alıw kerek. Bir qıylı jumıslar klasınıń ózi ushın 
hár túrli algoritmler dúziliwi múmkin bolıp, olar bir-birinen 
elementar jumıslar sanı hám olardıń kerekligi menen parıq qıladı. 
Sol sebepli úyrenilip atırǵan algoritm tárbiyalı tárizde beriliwi jáne 
eń kem sandaǵı jetkilikli sanda elementar jumıslardan ibarat bolıwı 
kerek. 
Baslawısh klaslar oqıw materialına qaraǵanda bir neshe 
varianttaǵı algoritmlerdi kórip shıǵamız. Sınıq sızıq uzınlıǵın 
anıqlaw algoritmin kóremiz. 
A
1
: 1. Sınıq sızıqtıń hár bir buwının ólshew. 
2. Alınǵan mánisler qosındısın tabıw. 
A
2
: 1. Sınıq sızıq buwınları uzınlıqları qosındısına teń kesindi 
jasaw.
2. Payda bolǵan kesindini ólshew. 
Eki xanalı sandı bir xanalı sanǵa bóliw algoritmlerin qaraymız. 
Usı klass ámellerin úyreniw waqtına kelip, oqıwshılar bóliw kestesin 
biledi, nol menen tamamlanatuǵın eki xanalı sandı bir xanalı sanǵa 
bóliwdi hám qosındını sanǵa bóliwdi biledi. Eger bóliwdi názerde 
tutatuǵın bolsaq, sonday ámeller hám tek solar ǵana oqıwshılar 
ushın elementar jumıs boladı.
A
3
: 1. Bóliniwshini eki qosılıwshınıń qosındısı kórinisinde 
sonday ańlatıw kerek, olardan biri maksimal sandaǵı anıq onlıqlar 
bolıp, bóliwshige bólinsin.
2. Qosındı bóliwshige bólinsin 
A
4
: 1. Bóliwshini eki qosılıwshı qosındısı kórinisinde ańlatıw, 
bunda olardan biri bóliwshige bólinsin hám nol menen 
tamamlansın.
33

---

2. Eger eki qosılıwshını tiyindige bóliw kestesi bolsa, ol 
jaǵdayda 3-jumıs orınlansın; eger bunday bolmasa, 1-jumıs
orınlansın.
3. Qosındı bóliwshige bólinsin. 
Algoritmi A
1
-A
3
den dúzilis prinсipi boyınsha túpten parıq 
qıladı. Onıń ózgesheliklerin 87:3 mısalındı kóremiz. 
Birinshi qádem nátiyjesinde bóliniwshi 60+27 kórinisinde 
ańlatılǵan bolsın. Ekinshi qádemde ekinshi qosılıwshını bóliw 
kestesi ekenligi belgili boldı. Sol sebepli 3-jumısqa ótiw kerek. 
(60+27):3=60:3+27:3=20+9=29 
Biraq, 
1-jumıs 
nátiyjesinde 
bóliniwshi 
30+57 
qosındı 
kórinisinde ańlatılıwı múmkin edi. Ekinshi qádem 1-jumısqa 
jollaydı, sebebi 57:3-kesteden tısqarı bóliw jaǵdayı. 1-jumıs 57 
bóliniwshi ústinde orınlanadı. Onıń nátiyjesi bir mánisli: 57=30+27. 
27:3-kesteli bóliw ekenligin kóremiz. 3-jumıs orınlanadı: 
(30+30+27):3=10+10+9=29. 
A
3
hám A
4
algoritmlerindegi elementar jumıslar metodika 
kózqarasınan teń mánisli, A
3
algoritm bolsa, kemirek sandaǵı 
elementar jumıslardı óz ishine alǵanlıǵı sebepli ol ápiwayıraq 
algoritm bolıp tabıladı. Keyinirek belgili metodikalıq abzallıqlarǵa 
hám algoritmde iye ekenligi kórsetiledi.
Algoritm tańlawınıń maqsetke muwapıqlıǵı hár qashan da tek 
oǵan kiriwshi elementler jumıslarınıń shaması hám mazmunı menen 
belgilene bermeydi. 
Bul 
algoritm 
járdeminde 
sheshiletuǵın 
máselelerdiń 
ózgeshelikleri de zárúrli áhmiyet kórsetiwi múmkin. 
Mısalı, A
1
algoritm A
2
algoritminen ápiwayıraq, sebebi olarda 
jumıslar sanı bir qıylı, A
2
degi 1-jumıs A
1
degi sáykes jumıstan 
jumısı kóbirek. Biraq, eger kóp sandaǵı túrli uzınlıqtaǵı sınıq 
sızıqtıń uzınlıǵı ólshenetuǵın bolsa (ámeliyatta bunday másele 
dáryadaǵı 
aralıqlardı ólshewde, kartada jollardı ólshewde 
ushırasadı), ol jaǵdayda A
2
algoritminen paydalanıw qolaylı. Bunıń 
ushın usı sınıq sızıq ústine arqansha, jumsaq sım qoyıladı, keyin 
bolsa tuwrılap ólshenedi. 
Hámme klaslar máseleleri ushın da algoritm dúzip bolmaydı. 
Mısalı, arifmetikalıq máseleler shártleri boyınsha ańlatpalar 
(teńlemeler) dúziw ushın, berilgen sanlı maǵlıwmatlar, ańlatpalar 
34

---

(teńlemeler) boyınsha tekstli máseleler dúziw ushın, tekstli máseleler 
shártlerin qısqa jazıw ushın algoritm islep shıǵıw múmkin emes. 
Ekinshi tárepten, kópshilik sxemalar, kósetpeler, buyrıqlar 
sırttan qaraǵanda algoritmge uqsasa da, biraq tiykarında algoritmler 
emes. Bul nárse, tiykarınan, oqıwshılarǵa máseleniń ústinde islewi 
boyınsha esletpege de baylanıslı. 
1.
Máseleni dıqqat penen oqıń hám máseledegi hár bir san neni 
bildiriwin oylap kóriń. Máselede aytılıp atırǵan jaǵdaydı qıyalıy 
oylap kóriń. 
2.
Eger másele quramalı bolsa, onıń shártin qısqasha jazıń, oǵan 
sáykes sxema sızıń yamasa súwret sızıń. 
3.
Máseleni ekinshi márte oqıń hám onı ishińizden sóylep beriń. 
4.
Máseleniń sorawına juwap beriw ushın neni biliw kerekligin 
oylap kóriń hám t.b. 
Haqıyqatında da, 1-4 jumıslardan hesh biri elementar jumıs 
emes. 
Baslawısh 
klaslarda 
algoritmlestiriw 
múmkin 
bolǵan 
proсeslerdiń eń zárúrli klasların sanap ótemiz: 
1)
«úlken», «kishi», «teń» qatnasların ornatıw;
2)
Awızeki hám jazba esaplawlar; 3) teńlemelerdi sheshiw;
4) geometriyalıq kórinislerdi jasaw; 5) sannıń úlesin, sannıń bólegin, 
sannıń úlesi boyınsha onıń ózin anıqlaw. 
Endi ekinshi metodikalıq mashqalanı qaraymız, ol oqıwshılarǵa 
algoritmlerdi úyretiwdiń ulıwma nızamların ashıwdan ibarat edi. 
Joqarıda aytılǵan, algoritmlestiriliwi múmkin bolǵan belgili 
ámeliy iskerlikti oqıtıw uslubına qarap tómendegi basqıshlarǵa 
bólinedi: oqıtıwshı algoritmdi islep shıǵadı; oqıtıwshı algoritmniń 
mazmunı menen oqıwshılardı tanıstıradı; oqıwshılar sol algoritmnen 
kóbirek paydalanıp, onı ózlestiredi. 
Orta mektep ushın matematika dástúrleriniń analizi sonı 
kórsetedi, baslawısh mekteptiń joqarıda kórsetilgen algoritmlik 
máseleleriniń klaslarına qaraǵanda wazıypası júdá hár túrli. Mısalı, 
awızeki hám jazba esaplaw algoritmlerin oqıwshılar avtomatizm 
dárejesinde ózlestiriwi kerek. Bul nárse «úlken», «kishi», «teń» 
qatnasların ornatıw algoritmlerine de baylanıslı. Teńlemelerdi 
sheshiw, geometriyalıq kórinislerdi jasaw, úlesler hám bólshekler 
ústinde ámeller orınlaw usılların úyreniw bolsa orta klaslarda joqarı 
35

---

dárejede 
dawam 
ettiriledi. 
Baslawısh klaslar oqıwshıları 
teńlemelerdi sheshiw menen arifmetikalıq ámellerdiń komponentleri 
hám nátiyjeleri arasındaǵı baylanıstı, geometriyalıq kórinislerdi 
jasaw menen geometriyalıq kórinislerdiń táriypi hám anıqlamasın, 
olardıń ayırım ózgesheliklerin, sannıń bólshegin hám úlesti tabıw
menen úles hám bólshek túsinikleri mánisin ózlestiredi. Solay etip, 
baslawısh klaslarda bul ámeliy uqıplılıqlardıń qáliplesiwi birden-bir 
maqset emes. Sol sebepli, oqıwshılarǵa tiyisli algoritmlerdi oqıtıwda 
oqıtıwshı jeterlishe ıqtıyatlı bolıwı kerek: olardan paydalanıwdı 
avtomatizm dárejesine jetkeriw múmkin emes.
Oqıwshılardı algoritmler menen tanıstırǵanda eki metodikalıq 
pikir bolıwı múmkin. 
1.
Ilgeri úyrenilgen elementar jumıslardı belgili izbe-izlikte, 
sistemada orınlaw túpten jańa máseleni sheshiw imkaniyatın beriwi 
oqıwshılarǵa anıq mısallarda kórsetiledi. Oqıwshılar oqıtıwshı 
basshılıǵında usı algoritmdi qayta ámelge asıradı. Bul tájiriybe 
sxema kórinisinde ulıwmalastırıladı hám ol individual (jeke) 
kartochkalarda, yamasa arnawlı kestede beriledi. Bul sxemadan 
paydalanıp atırǵanda, oqıwshılar, dáslepki waqıtları hár bir 
elementar jumıstıń atın, onıń mazmunın dawıs shıǵarıp aytadı. Keyin 
ayırım oqıwshılar elementar jumıslardıń orınlanıwın bir waqıtları 
dawıs penen aytadı, qalǵan oqıwshılar bolsa bunı jumıslarda 
orınlaydı. Algoritmnen paydalanıw máselesiniń rawajlanıp barıwı 
menen oqıwshılar tiyisli sxemaǵa qaramastan orınlaydı. Algoritmdi 
qáliplestiriwge bunday qaraw bul algoritmdi payda etiwshi 
elementar jumıslar hám olardıń orınlanıw tártibi oqıwshılarǵa endi 
tayar kórinisinde beriledi. 
2.
Algoritmniń qaliplesiwi áste-aqırın hám maqsetke qaratılǵan 
tárizde júz beredi, oqıwshılardıń aktiv qatnasqanında elementar isler 
anıqlanǵan tárizde tańlanadı, olardıń orınlanıw izbe-izligi anıqlanadı. 
Bunıń ushın dúzilis algoritmi islep shıǵarıp atırǵan obyekttiń ilgeri 
belgili bolǵan táriplerinen, qásiyetlerinen paydalanıladı, «uqsas» 
obyektler ushın keleshekte belgili bolǵan algoritmlerden tolıǵıraq 
yamasa geypara bóliminen paydalanıw imkaniyatları tekseriledi. 
Bılay qaraǵanda oqıwshılardıń algoritmdi dúziwdegi qatnasqan úlesi 
jeterlishe úlken bolıwı múmkin, dúziw proсesiniń ózi bolsa 
mazmunı boyınsha izleniwshi jumısına jaqın boladı. Bunday 
qaraslardı ámelge asırıwǵa bir neshe mısal keltiremiz. 
36

---

Tuwrı tórtmúyeshlikti jasaw algoritmin islep shıǵıw kerek 
bolsın. 
1. Íqtıyarlı tuwrı sızıqta AD kesindi - tuwrı tórtmúyeshliktiń 
tárepi qoyıladı. Tuwrı tórtmúyeshliktiń qaǵıydası yadqa túsiriledi: 
bul hámme múyeshleri tuwrı múyesh bolǵan tórtmúyeshlik. Demek, 
tuwrı tórtmúyeshliktiń ulıwma noqatqa iye bolǵan eki tárepi tuwrı 
múyesh payda etedi. 
2.Ushı A noqatta hám AD tárepi bolǵan tuwrı múyesh jasaladı. 
3.Bul múyeshtiń ekinshi tárepinde AV kesindi qoyıladı. Tuwrı 
tórtmúyeshliktiń eki tárepi jasaldı. Bası V noqatta bolǵan úshinshi 
tárep AV tárep penen tuwrı múyesh payda etiledi. 
4.Ushı V noqatta hám AV tárepi bolǵan tuwrı múyesh jasaladı.
Endi mashqala júzege keledi; úshinshi tuwrı múyeshtiń ushı qay 
jerde? Onı qanday tańlaw múmkin? Eki variant bolıwı múmkin: ya 
ushı D noqatta hám tárepi AD bolǵan tuwrı múyesh jasaw, yamasa 
V múyeshtiń AD kesindisine qarama-qarsı jatqan tárepinde AD ǵa 
teń VS kesindi qoyıw. Eger ekinshi variant tańlanatuǵın bolsa, tuwrı 
tórtmúyeshlik ele jasalmaǵan boladı, sol sebepli birinshi variant 
tańlanadı. 
5.Ushı D noqatta hám tárepi AD bolǵan tuwrı múyesh jasaladı, 
sonıń menen birge onıń ekinshi tárepi V múyeshtiń tárepin kesip 
ótiwi kerek. 
Jasawdıń durıslıǵı tekseriledi: jasalǵan tórtmúyeshliktiń tórtinshi 
múyeshi tuwrı múyesh pe? Ol tuwrı múyesh, sonıń ushın jasalǵan 
kórinis tuwrı tórtmúyeshlik, 1-5 jumıslar izbe-izligi bolsa tuwrı 
tórtmúyeshlikti jasaw usılı bolıp tabıladı. 
Tuwrı tórtmúyeshliklerdi jasaw algoritmi kútilmegeninde 
qaralǵanı joq. Ámeliyattıń kórsetiwinshe, oqıwshılardıń derlik 
barlıǵı baslawısh mektepte tek shaqmaq dápterde nátiyjeli bolǵan 
ulıwma basqa algoritmlerden paydalanadı. 
Baslawısh mekteptiń kópshilik «pitkeriwshileri» ózlerine jaqsı 
tanıs kórinis - tuwrı tórtmúyeshlikti sızılmaǵan qaǵazda jasaw 
usınılǵanda ilajsız bolıp qaladı. 
Ekinshi mısal sıpatında oqıwshılarǵa eki xanalı sandı bir xanalı 
sanǵa bóliw algoritmin (A
3
) úyretiw metodikasın kórip shıǵamız. 
Bul temanı úyreniw aldınan oqıwshılar eki xanalı sandı bir xanalı 
sanǵa kóbeytiw algoritmin ózlestiredi. 
37

---

1.
Eki xanalı kóbeytiwshi xana qosılıwshıları qosındısına 
jayıladi. 
2.
Ekinshi kóbeytiwshi usı qosındıǵa kóbeytiledi. 
Eki xanalı sandı bir xanalı sanǵa bóliwde oqıwshılar sáykes 
algoritm barqulla uqsas boladı dep esaplawı tábiyiy. 
Bunday oylaw ushın belgili tiykarlar bar: qosındını sanǵa 
kóbeytiw hám bóliw algoritmleri bir-birinen «kóbeytiw» atamasın 
«bóliw» ataması menen almastırıw arqalı payda boladı, biraq, 
bunday oylaw natuwrı hám oqıwshılar buǵan ǵárezsiz isenim payda 
etiwge tayar: 
48:3=(40+8):3=40:3+8:3 
Bul tájiriybege tiykarlanıp, bunday joldı oylaw múmkin: 
bóliniwshini hár biri bóliwshige bólinetuǵın qosılıwshılarǵa jayıw 
kerek. Biraq bul variant tuwrı kelmeydi, sebebi onıń hádden artıq 
qıyınlıǵına mısallarda isenim payda etiw múmkin. Haqıyqattan da, 
bóliniwshi 63, bóliwshi bolsa 3 hám bóliniwshi 21+42 qosındı 
kórinisinde ańlatılsın. Ol jaǵdayda 
(21+42):3=21:3+42:3=7+(18+24):3=7+18:3+24:3=7+6+8=21 
Bul varianttı jetilistiriw múmkin: bunıń ushın bóliniwshini 
qosılıwshılardan bir 0 menen tamamlanatuǵın hám bóliwshige 
bólinetuǵın qosındı kórinisinde ańlatıw kerek. (bul dáslep qaralǵan 
A
4
algoritmniń birinshi jumısı). Biraq, bóliniwshiniń barlıq waqıtta 
bir mánisli hám qolaylı bola bermeytuǵınına ańsat isenim payda etiw 
múmkin:
63:3=(30+33):3=30:3+33:3=10+(30+3):3=10+30:3+3:3=10+10
+1=21 
Bóliniwshini ańlatıwdıń usı usılı qaysı jaǵdaylarda jaqsı, qaysı 
jaǵdaylarda bolsa jaman nátiyjeler beriwin oqıwshılar kóriwi ushın 
mısallar sisteması qaraladı: 
81:3=(30+51):3=30:3+51:3=10+(30+21):3=10+30:3+21:3=10+
+10+7=27 yamasa (60+21):3=60:3+21:3=20+7=27. 
96 : 3 = (30 + 66) : 3 = 30 : 3 + 66 : 3 = 10 + (30 + 36) : 3 = 10 
+ 30 : 3 + 36 : 3 = 10 + 10 + (30 + 6) : 3 = 10 + 10 + 30 : 3 + 6 : 3 = 
10 +10 + 10 + 2 = 32 yamasa
(60 + 36) : 3 = 60 : 3 + 36 : 3 = 20 + (30 + 6) : 3 = 20 + 30 : 3 + 
+ 6 : 3 = 20 + 10 + 2 =32 
yamasa (90 + 6) : 3 = 90 : 3 + 6 : 3 = 30 + 2 = 32 
38

---

Ózleriniń jeke tájiriybeleri tiykarında oqıwshılar bunday 
juwmaq shıǵarıwı múmkin: bóliniwshini ańlatıwdıń eń jaqsı variantı 
onıń qosılıwshılarınan biri nol menen tamamlanatuǵın hám 
bóliwshige bólinetuǵın sanlardan eń úlkeni bolǵan qosındı túrinde 
ańlatıw bolıp esaplanadı. Algoritmniń ekinshi qádemi anıq. Solay 
etip, oqıwshılar algoritmnen algoritmge ótip, eń quramalı A
3
algoritmdi payda etedi.
Oqıwshılardıń bazı bir ámeliy uqıpların algoritmler kórinisinde 
ózlestiriwi oqıwdıń barısın nátiyjeli baqlawdı shólkemlestiriwge, 
oqıwshı algoritmlestirilgen jumıstı orınlawda jol qoyıp atırǵan 
sistemalıq qátelikleri bunday juwmaq shıǵarıwǵa imkan beredi: 
oqıwshı algoritmge kirgen bir elementar jumıstı (yamasa jumıslardı) 
nadurıs orınlap atır, yamasa elementar jumıslardıń orınlanıw tártibin 
buzıp atır. Bunıń ústine, nadurıs juwap belgili jaǵdaylarda qaysı 
jumıstı oqıwshı nadurıs orınlap atırǵanlıǵı haqqında guwalıq beredi.