ти yamasa у –ти оz ishine almagan differensiyallıq teńlemeler. Reje

5-Tema. Joqarı tártipli differensiallıq teńlemeler. х –ти yamasa у –ти оz ishine almagan differensiyallıq teńlemeler.
Reje:

1. 
   Joqarı tártipli differensiyallıq teńlemeler. Tiykarǵı túsinikler hám anıqlamalar.
   
2. 
   Koshi máselesi. Sheshimniń bar-bolıwı haqqındaḡı teorema.
   
3. 
   Ulıwma sheshim.Ulıwma integral. Parametrlık kόrinistegi ulıwma sheshim. Aralıq integralları.
   
4. 
   Tayanısh sόzler: Joqarı tártipli differensiyallıq teńlemeler. Sheshim.Integrallıq iymek sızıq.
   

Koshi máselesi. Pikar teoreması. Ulıwma sheshim. Dara sheshim. Ulıwma integral. Aralıq integralları.

Biz joqarǵı tártipli tuwındılardı óz ishine alatuǵın -tártipli differenciallıq teńlemelerdi úyrenemiz.

(1)
túrindegi teńleme -tártipli ápiwayı differenciallıq teńleme dep ataladı. Bul jerde - ǵárezsiz ózgeriwshi, - belgisiz funkciya, - funkciyasınıń sáykes tártiptegi tuwındıları, al bolsa, ólshemli keńisliginiń bazıbir oblastında anıqlanǵan hám úzliksiz berilgen funkciya. Bul (1) teńlemede shamaları qatnaspawı da múmkin, biraq teńlemede tártipli tuwındı niń qatnasıwı shárt bolıp tabıladı.
Kóp jaǵdaylarda teńlemeni
(2)
teńleme kórinisine keltiredi. (2) teńleme úlken tuwındıǵa qarata sheshilgen tártipli differenciallıq teńleme dep ataladı. (2) teńlemede funkciyasın ólshemli keńisliginiń bazıbir oblastında anıqlanǵan úzliksiz funkciya dep uyǵaramız.
Anıqlama. (2) differenciallıq teńlemeniń intervalındaǵı sheshimi dep tómendegi shártlerdi qanaatlandıratuǵın funkciyasına aytıladı:
1) 2) 3) funkciyası (2) teńlemeni birdeylikke aylandıradı, yaǵnıy
Eger (2) teńlemeniń sheshimi bolsa, onda kópligi, yaǵnıy sheshimniń grafigi (2) teńlemeniń integrallıq iymek sızıǵı delinedi.
Sheshim túsinigi (1) teńleme ushın da usıǵan uqsas anıqlanadı.
(2) differenciallıq teńleme ushın Koshi máselesi yamasa baslanǵısh másele dep, (2) teńlemeniń bolǵanda berilgen
(3)
baslanǵısh shártlerin qanaatlandıratuǵın sheshimin tabıw máselesine aytıladı, bunda berilgen sanlar bolıp, olar baslanǵısh mánisler dep ataladı. Koshi máselesi sheshiminiń bar bolıwın hám onıń birden-birligin tómendegi teorema támiyinleydi.
Teorema (Pikar teoreması). Meyli (2) differenciallıq teńlemeniń oń jaǵı

oblastında anıqlanǵan bolıp, tómendegi eki shártti qanaatlandırsın
1) funkciyası oblastında úzliksiz hám demek, ol shegaralanǵan:

2) funkciyası ózgeriwshileri boyınsha Lipshic shártin qanaatlandıradı
(4)
bunda al hám oblastınıń qálegen tochkaları.
Sonda (2) differenciallıq teńleme (3) baslanǵısh shártlerdi qanaatlandıratuǵın

aralıǵında anıqlanǵan birden-bir sheshimge iye boladı, bunda

Eskertiw. Eger (2) teńlemeniń oń jaǵı boyınsha shegaralanǵan dara tuwındılarǵa iye bolsa:

onda (4) Lipshic shárti sózsiz orınlanadı hám bunda boladı.
Meyli - hár bir tochkasında (2) teńleme ushın Koshi máselesi birden-bir sheshimge iye bolatuǵın oblast bolsın.
Anıqlama. erikli turaqlı di óz ishine alǵan
(5)
funkciyası (2) teńlemeniń oblastındaǵı ulıwma sheshimi dep ataladı, egerde
1) funkciyası boyınsha ret úzliksiz differenciallanatuǵın bolsa;
2) qálegen tochka ushın

sisteması turaqlılarına qarata bir mánisli sheshimge iye
(6)
bolsa;
3) (6) qatnasları menen anıqlanǵan erikli turaqlılarınıń qálegen mánislerinde tochkası oblastına tiyisli bolǵanda funkciyası (2) teńlemeniń sheshimi bolsa.
Solay etip, -tártipli (2) differenciallıq teńlemeniń ulıwma sheshimi erikli turaqlını óz ishine aladı.
Geometriyalıq jaqtan, ulıwma sheshim tegisliginde lerden ibarat parametrden ǵárezli bolǵan integrallıq iymek sızıqlar toparın beredi.
(2) differenciallıq teńlemeniń ulıwma sheshiminen turaqlılarınıń belgili bir sanlıq mánislerinde alınatuǵın hár qanday sheshim usı teńlemeniń dara sheshimi delinedi.
Eger (5) ulıwma sheshim oblastında anıq emes túrde
(7)
qatnası menen berilse, onda bul (7) qatnası (2) teńlemeniń oblastındaǵı ulıwma integralı dep ataladı. Al, (7) qatnasınan turaqlılarınıń belgili bir sanlıq mánislerinde kelip shıǵatuǵın hár qanday qatnası berilgen teńlemeniń dara integralı dep ataladı.
Geypara jaǵdaylarda (2) teńleme ushın ulıwma sheshimdi yamasa ulıwma integraldı anıqlaw qıyın bolıp, bul teńlemeni integrallay otırıp, hám ti bazıbir parametriniń funkciyası retinde ańlatıw múmkin. Eger bul funkciyalar barlıǵı bolıp erikli turaqlını óz ishine alıp, (2) teńlemeni qanaatlandırsa hám erikli turaqlılardıń belgili bir sanlıq mánislerinde usı teńlemeniń bazıbir dara sheshimin berse, onda olardı (2) differenciallıq teńlemeniń parametrlik formadaǵı ulıwma sheshimi dep ataydı hám
(8)
túrinde jazadı.
Eger (8) teńliklerinen parametrin shıǵarıp taslaw múmkin bolsa, onda ádettegi formadaǵı ulıwma sheshimge yamasa ulıwma integralǵa iye bolamız.
Hár bir tochkasında Koshi máselesiniń sheshiminiń birden-birligi buzılatuǵın sheshim ayrıqsha sheshim dep ataladı. -tártipli (2) teńleme -erikli turaqlılardan ǵárezli bolǵan ayrıqsha sheshimlerdiń toparına iye bolıwı múmkin.
(2) differenciallıq teńlemeni integrallaw procesinde qatnasına iye bolamız, bunda belgisiz funkciya, al - erikli turaqlılar. Bunday qatnas (2) teńlemeniń - tártipli aralıq integralı dep ataladı.
Al, -tártipli tuwındıǵa iye hám bir erikli turaqlını óz ishine alatuǵın túrindegi aralıq integralı (2) teńlemeniń birinshi integralı dep ataladı.
Eger hár qıylı ǵárezsiz birinshi integral belgili bolsa, onda olardan tuwındılarınıń barlıǵın shıǵarıp taslap, berilgen teńlemeniń ulıwma integralın alamız.
tuwındıǵa qarata sheshilmegen (1) teńlemesi ushın da Koshi máselesi, (2) teńlemesi ushın Koshi máselesine uqsas qoyıladı yaǵnıy (1) teńlemeniń bolǵanda berilgen (3) baslanǵısh shártlerin qanaatlandıratuǵın sheshimin tabıw talap etiledi. Bunda, egerde berilgen baslanǵısh mánislerge hám teńlemesinen anıqlanatuǵın mánisleriniń hár birine tek bir sheshim ǵana sáykes kelse, onda Koshi máselesi birden-bir sheshimge iye delinedi. Keri jaǵdayda, Koshi máselesiniń sheshiminiń birden-birligi buzılǵan dep esaplanadı.
(1) teńleme ushın Koshi máselesi sheshiminiń bar bolıwın hám onıń birden-birligin tómendegi teorema tastıyıqlaydı.
Teorema. Meyli funkciyası oblastında úzliksiz bolıp, usı oblastta boyınsha úzliksiz dara tuwındılarǵa iye bolsın. Sonda shártlerin qanaatlandıratuǵın qálegen tochka ushın (1) teńlemeniń tochkasınıń bazıbir dógereginde anıqlanǵan hám ret úzliksiz differenciallanatuǵın, (3) shártlerin qanaatlandıratuǵın hám sonday-aq bolatuǵın birden-bir sheshimi bar boladı.
Bul teoremanı dálillewde kóp argumentli anıq emes funkciyanıń bar bolıwı haqqındaǵı teorema hám usı lekciyada keltirilgen Pikar teoreması paydalanadı.