M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

 Mashqni 
bajaring. 
 
1) 
 funksiyaning ekstremumini toping.  
0
2000000
3000
2



Q
Q
1000
1

Q
2000
2

Q
1000

Q


833333333
1000
max

 F
F
  
 

3
2
1
2



x
x
x
f

 
70 
 
2) Sotilgan mahsulotdan olingan foyda 
 funksiya bilan 
mahsulotni ishlab chiqarishdagi toʻla xarajat esa 
 funksiya bilan 
ifodalansin. Ishlab chiqarishning va foydaning optimal miqdorini toping. 
 
 funksiya biror-bir 
 toʻplamda aniqlangan va 
 boʻlsin. 
Agar: 
 
• har bir 
 uchun 
 tengsizlik bajarilsa, u holda 
 
nuqtada 
 funksiya oʻzining eng katta 
 qiymatini qabul qiladi; 
 
• har bir 
 uchun 
 tengsizlik bajarilsa, u holda 
 
nuqtada 
 funksiya oʻzining eng kichik 
 qiymatini qabul qiladi. 
 
Agar 
 funksiya 
 kesmada uzluksiz boʻlsa, kompakt 
toʻplamda uzluksiz funksiya xossalaridan biriga koʻra u ushbu kesmada oʻzining 
eng katta va eng kichik qiymatlarini qabul qiladi. Funksiya oʻzining ekstremum 
qiymatlariga nafaqat kesma ichiga tegishli nuqtalarda, shu bilan birga uning chetki 
nuqtalarida ham erishishi mumkin.  
 
Funksiyaning kesmada eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun: 
 
a) funksiyaning kesmaga tegishli kritik nuqtalari aniqlanadi; 
 
b) funksiyaning topilgan kritik nuqtalaridagi va kesmaning chetki 
nuqtalaridagi qiymatlari hisoblanadi; 
 c) 
ushbu 
qiymatlar 
oʻzaro solishtirilib uning eng katta va eng kichigi 
tanlanadi.  
 7-misol. 
3
3
y x
x


 funksiyaning 


1,5;2,5

kesmadagi eng katta va eng 
kichik qiymatini toping.  
 Yechish.
 a) funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz. 
 



2
3
3 3
1
1 ,
y
f x
x
x
x




 


 bu yerdan 
1
1,
x
   
2
1
x
  nuqtalarda 
 
0
f x

  ekanligi kelib chiqadi va ular berilgan kesmaga tegishlidir. 
 
b) funksiyaning kritik va berilgan kesmaning chetki nuqtalardagi 
qiymatlarini hisoblaymiz 
   
 
3
1
1
3
1
2;
f
  
     
   
 
3
1
1
3 1
2;
f

 
   

 



3
1,5
1,5
3
1,5
1,125;
f

 
  

 
   
 
3
2,5
2,5
3 2,5
8,125.
f

 

 
 
c) demak, funksiyaning berilgan kesmadagi eng katta qiymati 
2,5
x

 
nuqtada 
 
2,5
8,125
f

 ga va eng kichik qiymati 
1
x
  nuqtada 
 
1
2
f
   ga teng.  
800
15
50
1
2



x
x
y
x
p
10
1
50


( )
y
f x

1
V R

0
x
V

0
x
V

0
( )
( )
f x
f x

0
x
V

( )
f x
max
0
( )
f
f x

0
x
V

0
( )
( )
f x
f x

0
x
V

( )
f x
max
0
( )
f
f x

( )
y
f x

[ , ]
V
a b


 
71 
 
Agar qaralayotgan kesmada funksiya uzilish nuqtalariga ega boʻlsa, 
yuqoridagilarga qoʻshimcha ravishda funksiyaning eng katta va eng kichik 
qiymatlari funksiyaning uzilish nuqtalarida ham tekshiriladi. 
 
Funksiya 
 intervalda aniqlangan boʻlsa, u holda funksiyani  nuqtada 
oʻngdan,   nuqtada esa chapdan limitlarini tekshirish talab qilinadi. 
 Mashqni 
bajaring. 
 
Berilgan oraliqda funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini toping: 
 1) 
 
 
 2)
 
 
Ma’lumki, biz qavariq toʻplamda berilgan qavariq yoki botiq funksiyalar bilan 
tanishmiz. Koʻp hollarda, qavariq iborasi qavariqligi bilan quyiga, botiq iborasi esa 
qavariqligi bilan yuqoriga qaragan, deb yuritiladi. Bu tushunchalar quyidagicha 
aniqlanadi.  
 
Agar 
 funksiya uchun biror 
 intervalda 
 
tengsizlik bajarilsa, unda qavariqlik yuqoriga qaragan; 
 
tengsizlik bajarilsa, qavariqlik pastga qaragan boʻladi. 
 
Agar 
 funksiya 
 kesmada uzluksiz, 
 intervalda 
differensiallanuvchi boʻlsa, kesmada qavariq yoki botiq funksiyani oʻzgacha 
ta’riflash va shu bilan birga, 
 intervalda ikki marta differensiallanuvchi 
boʻlsa,
 kesmada qavariqlik shartini aniqlash imkoni tug‘iladi. 
 
3-ta’rif.
 Agar 
 funksiya grafigi 
 interval chegarasida oʻz 
urinmalaridan yuqorida yotsa, u holda funksiya 
 kesmada qavariqligi bilan 
quyiga yoʻnalgan deyiladi. 
 
 
( , )
a b
a
b


4
2
2
5,
2;2 ;
y x
x
x



 
 
3
2
3
6
2,
1;1 ;
y x
x
x
x




 
( )
y
f x

( , )
a b
 
 
1
2
1
2
2
2
f x
f x
x
x
f



 




 
 
1
2
1
2
2
2
f x
f x
x
x
f



 




( )
y
f x

[ , ]
a b
( , )
a b
( , )
a b
[ , ]
a b
( )
y
f x

( , )
a b
[ , ]
a b

 
72 
 
4-ta’rif.
 Agar 
 funksiya grafigi 
 interval chegarasida oʻz 
urinmalaridan pastda yotsa, u holda funksiya 
 kesmada qavariqligi bilan 
yuqoriga yoʻnalgan deyiladi. 
 
 
Endi biz funksiya qavariqligini tekshirish uchun zarur boʻlgan teorema va 
qoidalarni keltiramiz. 
 
Teorema.
 
 funksiya 
 intervalda ikkinchi tartibli hosilaga ega boʻlib, 
 kesmaning chetki nuqtalarida uzluksiz boʻlsin. U holda 
 intervalda 
 tengsizlik bajarilsa, u holda funksiyaning 
 kesmadagi qavariqligi 
quyiga,  
boʻlganda esa uning bu kesmadigi qavariqligi yuqoriga 
yoʻnalgan boʻladi. 
 
5-ta’rif. 
Agar 
 funksiya grafigining   absissali nuqtasiga oʻtkazilgan 
urinma mavjud boʻlib, 
 va 
 intervallarda funksiya 
grafigining qavariqligi turli yoʻnalishda boʻlsa, u holda 
 nuqta 
funksiya grafigining burilish nuqtasi deyiladi. 
 
 
Teorema.
 Agar 
 funksiya   nuqtaning biror bir atrofida aniqlangan 
boʻlib, 
 nuqta funksiya grafigining burilish nuqtasi boʻlsa, u holda 
yoki 
 yoki 
mavjud emas. 
( )
y
f x

( , )
a b
[ , ]
a b
( )
y
f x

( , )
a b
[ , ]
a b
( , )
a b
( ) 0
f x


[ , ]
a b
( ) 0
f x


( )
y
f x

0
x
0
0
(
, )
x
x


0
0
( ,
)
x x




0
0
, ( )
M x f x
( )
y
f x

0
x


0
0
, ( )
M x f x
0
( ) 0
f x


0
( )
f x


 
73 
Teorema.
 
 funksiya grafigining 
 nuqtasiga oʻtkazilgan 
urinma, xususan vertikal urinma boʻlib,   nuqtaning biror bir   atrofida ikkinchi 
tartibli hosila mavjud boʻlsin va 
 yoki 
mavjud boʻlmasin. Agar 
 va 
 intervallarda 
 turli ishorali qiymatlarga ega 
boʻlsa, 
 nuqta 
 funksiya grafigining burilish nuqtasi boʻladi.
 
 8-misol. 
Ushbu 
 
2
1
1
f x
x


 funksiya grafigining qavariqlik oraliqlarini va 
burilish nuqtasini toping. 
 
Yechish.
 Funksiya haqiqiy sonlar oʻqida aniqlangan va ikki marta 
differensiallanuvchi. Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topamiz 
 


2
3
2
1
6
3 .
1
x
f
x
x










 
 
0
f x

  da funksiya yuqoriga qavariq 
2
1
0
3
x
   yoki 
1
.
3
x

 
0
f x

  da 
funksiya quyiga qavariq 
2
1
0,
3
x
   
1
1
;
;
.
3
3
x

 

  



 


 

 
 
Shunday qilib funksiya grafigi 
1
1
;
3
3







 da yuqoriga qavariq, 
1
;
3


 




 va 
1
;
3







 da quyiga qavariq boʻladi. Demak 
1
1
3
x
 
 va 
2
1
3
x

 nuqtalar funksiyaning burilish nuqtalari boʻladi.  
 Mashqni 
bajaring. 
Quyidagi funksiyalarning qavariqligi va grafigining burilish nuqtalarini aniqlang: 
 
1) 
             2) 
 3) 
 
 
Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar 
1.
 
Funksiya ekstremumlari. 
2.
 
Funksiyaning kesmada eng katta va eng kichik qiymatlarini topish. 
3.
 
Qanday holda kesmada berilgan funksiyaning minimumi uning shu 
kesmadagi eng kichik qiymati boʻladi deb ta’kidlash mumkin? 
4.
 
Qanday holda kesmada berilgan funksiyaning maksimumi uning shu 
kesmadagi eng katta qiymati boʻladi deb ta’kidlash mumkin? 
( )
y
f x



0
0
, ( )
M x f x
0
x

0
( ) 0
f x


0
( )
f x

0
0
(
, )
x
x


0
0
( ,
)
x x


( )
f x



0
0
, ( )
M x f x
( )
y
f x

2
ln(
1);
y
x


;
x
y
xe


5
3
.
y
x


 
74 
5.
 
Funksiyaning qavariqligi. 
6.
 
Funksiyaning kesmada botiq boʻlishining yetarli sharti nimadan iborat? 
7.
 
Funksiyaning kesmada qavariq boʻlishining yetarli sharti nimadan iborat? 
8.
 
Funksiya grafigining burilish nuqtasi. 
9.
 
Burilish nuqta uchun zaruriy shart. 
10.
 
Burilish nuqta uchun yetarli shart. 
 
 
28-mavzu. Bir oʻzgaruvchili funksiyani tekshirish 
 
Reja:
 
28.1.
 
Funksiya asimptotasi. 
28.2.
 
Funksiyani toʻla tekshirish. 
 
 
Ekstremumlar, qavariqlik, funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari, 
funksiyaning oʻsish va kamayish oraliqlari oʻrganilayotgan funksiyaning sxematik 
grafigini tasvirlashga yordam beradi. Bu sxematik grafikni yanada aniqlashtirish 
uchun funksiya asimptotasi tushunchasi bilan tanishib chiqamiz. 
 Funksiya 
asimptotasi. 
 funksiyaning grafigi qandaydir   toʻg‘ri 
chiziqqa cheksiz yaqilashib borib 
 boʻlsa, u holda bu   toʻg‘ri chiziq 
 
funksiyanng asimptotasi deb ataladi.
 
 Masalan, 
 
toʻg‘ri chiziqlar 
 funksiyaning 
asimptotalari hisoblanadi. 
 toʻg‘ri chiziqlar esa 
 
funksiyaning asimptotalari hisoblanadi. 
 
Asimptotalar 3 tipda boʻladi: vertikal, og‘ma va gorizontal asimptotalar. 
 Agar 
 
uchun 
  
munosabatlardan biri oʻrinli boʻlsa, u holda 
 toʻg‘ri chiziq 
 
funksiyaning vertikal asimptotasi deb ataladi. Yuqorida keltirilgan misollar 
vertikal asimptotaga misol boʻla oladi.  
 
Biz quyida funksiya va uning asimptotasi koordinatalar sistemasida oʻzaro 
qanday joylashishini koʻrib chiqamiz. 
( )
y
f x

l
( )
f x
l
  
l
( )
y
f x

,
2
x
k k Z
 
 

y
tgx

,
x
k k Z
 
 

y
ctgx

( )
y
f x

0
0
0
0
lim ( )
, lim ( )
x x
x x
f x
f x
 
 
 
 
0
x x

( )
y
f x


 
75 
 
1-misol.
 
 funksiyaning vertikal asimptotasi 
 toʻg‘ri chiziqdir. 
Haqiqatan ham, 
. Bu misolda asimptota va funksiya 
grafiklari koordinatalar  sistemasida quyidagicha joylashadi. 
 
 
2-misol.
 
 
 
2
1
1
x
x
f x
e


 funksiya grafigining vertikal asimptotasini toping.  
 Yechish.
 
0
x
  va 
1
x
 - uzilish nuqtalari,  
 
2
1
1
0
lim
,
x
x
x
e


            
 
2
1
1
1 0
lim
,
x
x
x
e

 
                 
 
2
1
1
1 0
lim
0.
x
x
x
e

 
  
0,
x
  
1
x
  ikkinchi tur uzilish nuqtalari, 
0,
x
  
1
x
   tо‘g‘ri chiziqlar vertikal 
asimptotalar.  
 Agar 
 
uchun 
  
munosabat oʻrinli boʻlsa, u holda 
 toʻg‘ri chiziq 
 funksiyaning 
og‘ma asimptotasi deb ataladi. Agar bu yerda 
 boʻlsa, u holda 
 toʻg‘ri 
chiziq 
 funksiyaning gorizontal asimptotasi deb ataladi.   va   sonlar 
quyidagicha topiladi: 
. 
 
Yuqoridagi misollarda 
 funksiya uchun 
 toʻg‘ri chiziq vertikal 
asimptota boʻlsa,  
toʻg‘ri chiziq esa gorizontal asimptota boʻladi.  
funksiya uchun 
 toʻg‘ri chiziq vertikal asimptota boʻlsa,  
toʻg‘ri chiziq 
esa gorizontal asimptota boʻladi. 
1
y
x

0
x

0 0
0 0
1
1
lim
, lim
x
x
x
x
 
 
 
 
( )
y
f x



lim
( )
(
)
0
x
f x
kx
l
 



kx
l

( )
y
f x

0
k

y l

( )
y
f x

k
l


0
0
( )
lim
, lim
( ) (
)
0
x
x
f x
k
f x
k x l
x






1
y
x

0
x

0
y

1
3
y
x


3
x
 
0
y


 
76 
 
 
3-misol.
 
 giperbolaning oʻg‘ma asimptotasi mavjud boʻlib u 
quyidgi koʻrinishga ega.  
 
 4-misol.
 
 
3
2
2
3
2
x
x
f x
x



 funksiya grafigining og‘ma asimptotasini toping. 
 Yechish.
 
 


3
2
2
3
1
lim
lim
1,
2
x
x
f x
x
x
k
x
x x








  
 


2
2
3
2
1
lim
lim
3.
2
x
x
x
x
b
f x
kx
x









 
3
y x
  
og‘ma asimptota. 
 Mashqni 
bajaring.
 
 
1) Quyidagi rasmlarda tasvirlangan funksiyalarning vertikal, gorizontal 
asimptotalarini koʻrsating:  
 
                
  
 
2
2
2
2
1
x
y
a
b



 
77 
 
 
2) Quyidagi funksiyalarning asimptotalarini toping va tasvirlang:  
a) 
;      b) 
;     c) 
;     d) 
. 
 Funksiyani 
toʻla tekshirish. 
Funksiyaning sxematik grafigini chizishning 
umumiy sxemasi quyidagidan iborat:
 
1) funksiyaning aniqlanish sohasi topiladi, soʻngra uning uzilish nuqtalari; 
2) funksiyaning juft-toqligi, davriyligi. Funksiyaning asimptotalari topiladi; 
3) funksiya nollari topiladi; 
4) funksiyaning monotonlik intervallari va ekstremumlari topiladi; 
5) funksiya grafigining qavariqlik yoʻnalishlari va burilish nuqtalari aniqlanadi; 
6) funksiya grafigining eskizi chiziladi. 
 5-misol.
 
 funksiyaning grafigini yasaymiz.  
 Yechish
. Funksiya 
 oraliqda aniqlangan. Funksiya 
 
oraliqda musbat va 
 oraliqda esa manfiy qiymatlarni qabul qiladi 
 uzilish nuqtasi.  
 
Funksiyaning uzilish nuqtalardagi va cheksizlikdagi xususiyatlarini 
aniqlaymiz: 
 
 
 
Funksiya asimptotalarini aniqlaymiz 
 toʻg‘ri chiziq vertikal asimptota 
ekanligi yuqorida ma’lum boʻldi. Endi uning og‘ma asimptotasini aniqlaymiz: 




3
2
2
2
1
lim
lim
1
1
x
x
x
x
x
k
x
x







 
 
1
2
3



x
x
y


2
3
1


x
x
y
3
2
3
x
x
y


x
e
x
x
y
3
5
2
4





3
2
1
x
y
x



 

; 1
1;
    
0
x

0
x

 
0
0,
y

1
x
 
 
1 0
lim
,
x
f x
  
 
 
1 0
lim
,
x
f x
 
 
 


3
2
lim
,
1
x
x
f x
x


 

 


3
2
lim
,
1
x
x
f x
x


 

1
x
 


3
3
3
2
2
2
2
lim
lim
2
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
l
x
x
x
x










 








