M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

64 
2
1
( )
1! 2!
!
n
x
n
x
x
x
e
R x
n
  
 


 
koʻrinishda bо‘lib, uning qoldiq hadi esa Lagranj kо‘rinishida quyidagicha bо‘ladi: 
1
( )
, 0
1
(
1)!
x
n
n
e
R x
x
n




 

 
 b) 
( ) sin
f x
x

 funksiyaning ixtiyoriy chekli [–a;a] (a>0) kesmadagi Teylor 
formulasi 
3
5
2 –1
–1
2
sin
–
–
(–1)
( )
3!
5!
(2 – 1)!
n
n
n
x
x
x
x x
R
x
n





 
bо‘ladi. Bu yerda 
2
1
|
( ) |
(2
1)!
n
n
a
R x
n



.  
 c) 
( ) cos
f x
x

 funksiyada ixtiyoriy x uchun 
cos x
2
4
2
1 –
– ... (–1)
...
2!
4!
(2 )!
n
n
x
x
x
n




2
1
(–1)
(2 )!
n
n
n
x
n




 
ekanligini topamiz. 
 d) 
2
3
4
–1
ln(1
)
–
–
... (–1)
...
2
3
4
n
n
x
x
x
x
x
x
n



 
  
Bu qatorning yaqinlashish sohasi (–1;1] tо‘plamdan iborat. 
 k) 


2
( – 1)
( – 1)...( –
1)
1
1
...
1!
2!
!
n
n
x
x
x
x
n


 
 



 

 
 R
n
(x). 
 l) 
2
1
( )
5
6
f x
x
x



 funksiyaning x ning darajalari bо‘yicha qatorga yoyish 
uchun uni 
2
1
1
1
5
6
2
3
x
x
x
x






, koʻrinishda yozib olib, quyidagi 
oʻzgartirishlarni amalga oshiramiz: 
1
1
1
0
0
1
1
1
1
( 1)
( 1)
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x








 








, bunda
2
x
 . 
1
1
1
0
0
1
1
1
1
( 1)
( 1)
3 3
3
3
3
1
3
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x









 








, bunda
3
x
 . 
Demak, 
2
x

 da 
1
1
2
0
1
( 1)
( 1)
5
6
2
3
n
n
n
n
n
n
x
x
x

















 
о‘rinli bо‘ladi. 
 Agar 
funksiya 
( , )
f x y  koʻrinishda boʻlsa, u holda 
0
0
( , )
x y
 nuqtaning 
qndaydir atrofida quyidagi tenglik oʻrinli boʻladi: 

 
65 
 
 
1
0
0
0
0
0
0
0
1
(
,
)
( , )
!
1
(
,
)
!
k
m
k
m
f x
x y
y
x
y
f x y
k
x
y
x
y
f x
x y
y
m
x
y








 
  

 













 
 
 







  
 
 
27-mavzu. Bir oʻzgaruvchili funksiya ekstremumlari 
 
Reja:
 
27.1.
 
Funksiyaning monotonligi.  
27.2.
 
Funksiya ekstremumlari. 
27.3.
 
Funksiyaning toʻplamda eng katta va eng kichik qiymatlari. 
27.4.
 
Funksiyaning qavariqligi. 
 
 
Tayanch soʻz va iboralar:
 oʻsuvchi va kamayuvchi funksiyalar, maksimum 
va minimum nuqtalar, funksiyaning kritik nuqtalari, funksiyaning ekstremum 
nuqtalari, funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari, statsionar 
nuqtalar. 
 
 Koʻp jarayonlar funksiya yordamida ifodalanishi mumkinligini koʻrdik. Bu 
jarayonlarning dinamikasini bilish funksiyaning monotonligi bilan bog‘liq. 
 
 funksiya 
 kesmada aniqlangan va uzluksiz boʻlsin. U holda 
bizga ma’lumki: 
 agar 
 
boʻlsa, u holda 
 funksiya 
 kesmada kamaymaydigan funksiya; 
 agar 
 
boʻlsa, u holda 
 funksiya 
 kesmada oʻsmaydigan funksiya; 
 agar 
 
boʻlsa, u holda 
 funksiya 
 kesmada oʻsuvchi funksiya; 
 agar 
 
boʻlsa, u holda 
 funksiya 
 kesmada kamayuvchi funksiya deb ataladi.  
 
Funksiyaning bu xossalari hosila yordamida quyidagicha ifodalanadi: 
 
Agar 
 funksiya uchun 
 munosabat 
oʻrinli boʻlsa, u holda 
 funksiya 
 kesmada kamaymaydigan 
(oʻsmaydigan) funksiya boʻladi. 
( )
f x
[ , ]
a b
1
2
1
2
1
2
,
[ , ],
( )
( )
x x
a b
x
x
f x
f x




( )
f x
[ , ]
a b
1
2
1
2
1
2
,
[ , ],
( )
( )
x x
a b
x
x
f x
f x




( )
f x
[ , ]
a b
1
2
1
2
1
2
,
[ , ],
( )
( )
x x
a b
x
x
f x
f x




( )
f x
[ , ]
a b
1
2
1
2
1
2
,
[ , ],
( )
( )
x x
a b
x
x
f x
f x




( )
f x
[ , ]
a b
( ),
[ , ]


y
f x x
a b
( ) 0 ( ( ) 0 )




f x
f x
( )
f x
[ , ]
a b

 
66 
 
Agar 
 funksiya uchun 
 munosabat 
oʻrinli boʻlsa, u holda 
 funksiya 
 kesmada oʻsuvchi (kamayuvchi) 
funksiya boʻladi. 
 1-misol. 
2
2
ln
y
x
x


 funksiyaning oʻsish va kamayish intervallarini 
toping.  
 Yechish.
 Berilgan funksiya 
0
x
  da aniqlangan. Uning hosilasini topamiz: 
2
1
4
1
4
.
x
y
x
x
x

 
 
 
0,
y
  
2
4
1 0,
x
   bundan 
1
1
,
2
x

 
2
1
.
2
x
   
 
2
1
2
x
   kritik nuqta funksiyaning aniqlanish sohasiga kirmaydi. 
1
1
2
x
  
kritik nuqta funksiyaning aniqlanish sohasini 
1
0;
2






 va 
1
;
2







 intervallarga 
bо‘ladi. Bu intervallarda 
y
hosilaning ishorasini aniqlaymiz.  
 a) 
1
0;
2






 da 
1
5
0,
3
3
y  

  
 
 
  
b) 
1
;
2







 da 
 
1
3 0.
y
   
Bu esa birinchi intervalda funksiya kamayuvchi, ikkinchi intervalda о‘suvchi 
ekanini bildiradi.  
 Mashqni 
bajaring.
 
 Funksiyaning 
oʻsish va kamayish oraliqlarini toping: 
 
1) 
;         2) 
  
 
Oʻsuvchi va kamayuvchi funksiyalar monoton funksiyalar, deb ataladi. 
Oʻshish va kamayish oraliqlari esa monotonlik oraliqlari deb ataladi. 
 
Ekstremum tushunchasini kiritishda zarur boʻlgan belgilashlarni kirirtamiz. 
 tengsizlik oʻrinli boʻlgan barcha   nuqtalar toʻplami  
nuqtaning  
atrofi deb ataladi. 
 
1-ta’rif.
 
 tengsizlik oʻrinli boʻlgan barcha   nuqtalar uchun
 tengsizlik oʻrinli boʻlsa, u holda   nuqta 
 
funksiyaning minimum (maksimum) nuqtasi, 
 esa bu funksiyaning minimum 
(maksimumi) qiymati deb ataladi. 
Agar yuqoridagi tengsizliklar qat’iy boʻlsa, u holda qat’iy minimum (maksimum) 
tushunchalarini ishlatamiz. 
 
( ),
[ , ]


y
f x x
a b
( ) 0 ( ( ) 0 )




f x
f x
( )
f x
[ , ]
a b
2
9
3
2
3




x
x
x
y
2
1
1
x
y


0
x x



x
0
x

0
x x



x
   
   


0
0
x
f
x
f
x
f
x
f


0
x
( )
f x
0
( )
f x

 
67 
2-ta’rif.
 Funksiyaning minimum va maksimum nuqtalari uning ekstremum 
nuqtalari deb ataladi. 
 
ekstremum nuqta boʻlsin. U holda  
. 
ekstremum nuqta boʻlsin. U holda bu nuqtada 
 hosila mavjud 
boʻlmaydi yoki 
 boʻladi. Bu shart 
ekstremum nuqta boʻlishi uchun 
zaruriy shart, deb ataladi.  
 
Agar 
ekstremum nuqta uchun 
 tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda
statsionar nuqta deb ataladi. Agar 
ekstremum nuqta uchun 
 hosila 
mavjud boʻlmasa, u holda 
 kritik nuqta deb ataladi. 
 2-misol. 
 nuqta 
 funksiya uchun statsionar, 
 funksiya 
uchun kritik nuqta deb ataladi. 
 
Umuman olganda statsionar nuqtalar ham kritik nuqtalar deb ataladi. 
 
Mashqni bajaring.  
 
 funksiyaning kritik nuqtalarini toping. 
Yuqorida biz 
nuqta 
 funksiyaning ekstremum nuqtasi boʻlishi uchun 
zaruriy shartni koʻrdik. Endi biz 
nuqta 
 funksiyaning ekstremum nuqtasi 
boʻlishi uchun yetarlilik shartini koʻrib chiqamiz. 
 
I.   nuqtaning ixtiyoriy 
 atrofida 
funksiyaning 
hosilasi mavjud va uzluksiz boʻlsin. U holda: 
 
a) agar 
 boʻlsa, u 
holda maksimum 
nuqta; 
 
b) agar 
 boʻlsa, u 
holda minimum 
nuqta; 
 
c) agar 
 yoki 
 boʻlsa, u holda 
statsionar nuqta. 
 
II.   nuqtada 
 funksiya ikki marta differensiallanuvchi boʻlsin. U 
holda: 
 
a) agar 
 boʻlsa, u holda 
maksimum nuqta; 
 
b) agar 
 boʻlsa, u holda 
minimum nuqta; 
 
c) agar 
 boʻlsa, u holda ekstremum masalasi ochiq qoladi. 
 III. 
 
boʻlsin. U holda: 
0
x

0
0
0
0
max
( ) 0,
min
( ) 0
x
f x
x
f x

 


 

0
x

0
( )
f x

0
( ) 0
f x


0
x

0
x

0
( ) 0
f x


0
x

0
x

0
( )
f x

0
x

0
0
x

2
y x

y
x

 


3
8
f x
x x


0
x

( )
f x
0
x

( )
f x
0
x
0
0
(
,
)
x
x






( )
f x
0
0
0
0
(
, )
( ) 0,
(
, )
( ) 0
x
x
x
f x
x
x
x
f x












0
x

0
0
0
0
(
, )
( ) 0,
(
, )
( ) 0
x
x
x
f x
x
x
x
f x












0
x

0
0
0
0
(
, )
( ) 0,
(
, )
( ) 0
x
x
x
f x
x
x
x
f x












0
0
0
0
(
, )
( ) 0,
(
, )
( ) 0
x
x
x
f x
x
x
x
f x












0
x

0
x
( )
f x
0
( ) 0
f x


0
x

0
( ) 0
f x


0
x

0
( ) 0
f x


( 1)
( )
0
0
0
( ) ...
( ) 0,
( ) 0
n
n
f x
f
x
f
x


 



 
68 
 a) 
juft 
boʻlsin. Agar 
 boʻlsa, u holda 
maksimum; agar 
 boʻlsa, u holda 
minimum nuqta boʻladi; 
 b) 
toq 
boʻlsa,u holda 
ekstremum nuqta boʻlmaydi. 
 3-misol. 
Funksiyaning ekstremumlari va monotonlik intervallarini toping. 
x
x
x
y
2
2
5
3
2
2
3



 
 Yechish.
 
2
2
5
2
у
x
x
 

  koʻrinib turibdiki, 
х
 ning barcha qiymatlarida 
hosila mavjud. Hosilani nolga tenglab, 
2
2
5
2 0
x
x

 
 tenglamani olamiz, bu 
yerdan
2
1
1

x
 va 
2
2

x
 kabi kritik nuqtalarni topamiz. Hosila ishoralari quyidagi 
chizmada koʻrsatilgan:  
 





 

2
1
;
 va 



;
2
 orliqlarda hosila 
 
0
f x

  va funksiya oʻsuvchi, 






2
;
2
1
 oraliqda 
hosila 
 
0
f x

  ya’ni funksiya kamayuvchi. 
2
1

x
 — maksimum nuqta va 
max
1
11
,
2
24
f
  
 
 
 
2

x
 — minimum nuqta va 
 
2
2
.
3
min
f
 
 Chunki 
hosila 
bu 
nuqtalardan oʻtishda oʻz ishorasini (
2
1

x
 da) «+» dan «-» ga va (
2

x
 da) «-» dan 
«+» ga oʻzgartiradi.  
 
Izoh:
 
2
1

x
 va 
2

x
 kritik nuqtalarda ekstremum mavjudligini ikkinchi 
tartibli hosila yordamida aniqlasa: 
 
4
5
f x
x


 , 
1
3 0
2
f  

  
 
 
 va 
 
2
3 0
f 
   boʻlganligi uchun 
2
1

x
 – maksimum nuqta va 
2

x
 – minimum 
nuqta.  
 4-misol. 
 
sotilgаn mаhsulot miqdorigа bog‘liq boʻlgаn dаromаd funksiyasi 
 formulа bilаn, mаhsulotni ishlаb chiqаrishgа  kеtgаn 
hаrаjаtlаr funksiyasi esа  
formulа bilаn ifodаlаnаdi. Ishlаb 
chiqаrishning optimаl dаrаjаsini vа undа erishilаdigаn foydаni аniqlаng.  
 
Yechish.
 Foydа  
formulа bilаn  аniqlаnаdi. Bu yеrdаn 
. Foydа hosilаsini  
nolgа 
n

( )
0
( ) 0
n
f
x

0
x

( )
0
( ) 0
n
f
x

0
x

n

0
x

Q
 
Q
Q
Q
R
2000000
3
3


 
2
1500Q
Q
C

     
Q
C
Q
R
Q
F


 
Q
Q
Q
Q
F
2000000
1500
3
2
3



 
2000000
3000
2
'



Q
Q
Q
F

 
69 
tеnglаshtirib,  
tеnglаmаni hosil qilаmiz. Bu tеnglаmаning 
ildizlаri  
vа  
. Tеkshirish shuni koʻrsаtаdiki  
dа 
mаksimаl foydаgа erishilаdi.  
 pul birligi. 
 5-misol. 
Sotilgan mahsulotdan olingan daromad 
 
2
16
R Q
Q Q


 funksiya 
bilan mahsulotni ishlаb chiqаrishgа kеtgаn hаrаjаtlаr esa 
 
2
1
C Q
Q

  funksiya 
bilan ifodalansin. Ishlab chiqarishning va foydaning optimal miqdorini toping. 
 Yechish
. Foyda funksiyasi: 
 
 
 
2
16
2
1
F Q
R Q
C Q
Q
Q




 . Bu 
funksiyaning ekstremumini topamiz: 
16 4
0
F
Q
  
 . Demak, 
4
Q

 nuqta kritik 
nutadir. 
4
Q

 maksimal foyda keltiruvchi ishlab chiqarish miqdori, 
max
31
F

 esa 
maksimal foyda.  
 Foydа mаksimаl boʻlishi uchun, mаrjinаl dаromаd vа mаrjinаl hаrаjаtlаrning 
tеng boʻlishi zаrur.  
 6-misol. 
Sotilgan mahsulotdan olingan dаromаd 
 
2
16
R Q
Q Q


 funksiya 
bilan ishlаb chiqаrishgа  kеtgаn hаrаjаtlаr esa 
 
2
1
C Q
Q

  funksiya bilan 
ifodalansin. Korxona maksimal foyda olishi uchun har mahsulot birligiga 
qoʻyilgan optimal soliq miqdorini toping. 
 Yechish
. 
t
 har bir mahsulotga qoʻyilgan soliq miqdori boʻlsin. U holda 
foyda funksiyasi: 
 
 
 
2
16
2
1
F Q
R Q
C Q
tQ
Q
Q
tQ





 
. Bu 
funksiyaning ekstremumini topamiz: 
16
16 4
0
4
t
F
Q t
Q

  
   
. Demak, 
4
4
t
Q
   nuqta kritik nutadir. U holda: 
2
4
4
4
4
t
t
T
tQ t
t











. 
Bu funksiyaning maksimal qiymatini topamiz: 
4
0
8
2
2
t
T
t
Q
        . 
Demak, har bir mahsulotga qoʻyilgan soliq 
8
t
  boʻlsa, u holda ishlab chiqarilgan 
mahsulot miqdorining optimal qiymati 
2
Q

 boʻladi. Korxonaning maksimal 
foydasi esa 
 
max
2
7
F
F


 boʻladi. 
 
Shunday qilib, soliq miqdorining kamayishi foydaning ortishiga olib kelar 
ekan.