M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

118 
 
 
 
 
 
 
 
0 0 0 0 0 0 M 
M 0 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
M 
0 
0 
2 
4 
8 
12 
2 
0 
1 
2 
0 
 
2 
-1 
1 
2 
0 
0 
2 
-1 
0 
0 
-1 
0 
0 
0 
0 
-1 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
0 
1 
 
6M 2M 
 
3M 
M 
-M 
-M 0 0 0 0 
 
 
 
 
M 
0 
0 
0 
 
1 
6 
13 
2 
0 
1 
2 
0 
1 
0 
0 
1 
1/2 
-1 
1/2 
2 
-1/4
1/2 
-1/4
-1 
0 
0 
0 
0 
-1/4
1/2 
-1/4
1 
0 
0 
0 
0 
1/4 
-1/2 
1/4 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
0 
1 
 
 
2M  0  M 2M -M 0  0 -M 0  0 
 
 
 
 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
5 
11 
1 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
1/2 
1/2 
-3/2
-1/2
1 
-1/4
-1/2
-9/4
-1/2
0 
1/2 
1 
0 
-1/4
1/2 
-1/4
1/2 
0 
-1/2
-1 
0 
1/4 
-1/2 
1/4 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
0 
1 
 
0 0 0 0 0 0 0 
-M 
-M 
0 0 
 
Bu jadvaldan otimal yechimni topamiz: 
 
 
Bu yechim (IV) sistemaning (VI) shartlarni qanoatlantiruvchi bazis yechimi 
boʻladi. Demak, 
 Lagranj funksiyasining egar nuqtasi boʻladi. 
 berilgan masalaning optimal yechimi boʻlib, unda 
 boʻladi. 
 
Kun-Takkerning yetarlilik teoremalari. 
Yuqorida biz
 
Kun-Takker 
shartlari bilan tanishdik va tengsizliklar bilan berilgan masalalarni 
1
1
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2;
4
2
4;
2
8;
2
12;
x
v
z
x
v
z
x
x
w
x
x
w


 
 
  




 


   






1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0.
x
x
v
v
w
w
z
z












1
2
min.
Z
Mz
Mz



b
P
b
C
0
P
1
P
2
P
1

2

1
V
2
V
1
Z
2
Z
1
W
2
W
1
Z
2
Z
1
W
2
W
4
j

4M

1
Z
2
P
1
W
2
W
2
j

2M

1
P
2
P
1
W
2
W
j

0
0
0
0
1
2
1
2
0
0
0
0
1
2
1
2
1,
1,
0,
0,
0,
0,
5,
11.
x
x
v
v
w
w










0
0
(
,
) (1;1;0;0)
X
 
0
(1;1)
X

0
(
) 3
f X


 
119 
optimallashtirishda zaruruiy shartlarni koʻrib oʻtdik. Ba’zi bir holatlarda Kun-
Takker shartlari uchun yetarlilik shartlarini oʻzi ham yetarli hisoblanandi. 
 
Klassik optimallashtirish masalalarida maksimum va minimum uchun 
yetarlilik sharti asosoan ikkinchi tartibli hosilalar orqali aniqlanandi. Bu yerda esa, 
chiziqsiz programmalashtirishda, qavariq va botiq funksiyalar uchun yetarlilik 
shartlari ham toʻg‘ridan toʻg‘ri olinishi mumkin. Masalani maksimallashtirish 
uchun, Kun va Takker quyidagicha yetarlilik teoremasini taklif qilishgan. 
 Teorema.
 Quyida berilgan chiziqsiz programmalashtirish masalasini 
qaraymiz: 
( )
,
(
1, 2,..., )
i
i
g x
r
i
m


 
0

x
 
 
min .
f x



 
 Yuqoridagi 
masala uchun quyidagi shartlar bajarilsa: 
(a)
 
f(x) funksiya differensiallanuvchi va botiq boʻlsa; 
(b)
 
( )
i
g x
) funksiya differensiallanuvchi va qavariq boʻlsa; 
(c)
 
*
x
 nuqta Kun-Takkerning  maksimumlik shartlarini qanoatlantiradi, u holda 
*
x
 nuqtada 
 
x
f


 funksiya maksimum nuqtaga erishadi. 
 
Demak, yuqoridagi teoremaning (a), (b), (c) shartlari bajarilsa 
*
x
 nuqta 
masalaning optimal yechimi
 hisoblanadi. 
 
Boshqa tomondan qaraganda, (a) va (b) shartlar bilan va Kun-Takker 
shartlari masalani maksimallashtiradi. Agar nazarda tutilgan tengsizlik (a) va (b) 
shartlar hisobga olinsa, u holda Kun-Takker shartlari funksiyani maksimallashti-
rish uchun zaruriy va yetarli shart hisoblanadi. Yuqorida koʻrilgan teorema qavariq 
programmalshtirish deyiladi. Yetarlilik sharti faqat maksimallashtirish uchun kerak 
boʻladi. 
 
Qisman botiq programmalashtirish masalasi uchun Arrov- 
Enthovenning yetarlilik nazariyasi. 
Kun-Takkerning yetarlilik nazariyasiga 
yuzlanadigan boʻlsak, ayrim qavariq botiq holatlarga duch kelamiz. Bular esa bir 
qancha murakkab shartlarni keltirib chiqaradi. Arrov-Enthoven yetarlilik 
nazariyasi deb nomlangan boshqa nazariyada esa bu holatlar maqsad va chekli 
funksiyalarda qisman qavariqlik va qisman botiqlik shartlarining oʻzi 
qanoatlantiradi. Shartlar orqali ular osonlashtirilishi bilan bir qatorda, yetarlilik 
holatlarini oʻrganish imkoniyatlari kengayadi. 
 
Arrov-Enthoven ishining asl kelib chiqishi 
 
x
f 
 va 
 
x
g
  funksiyalari 
maksimallashtirish masalasi va nomanfiy (≥) shaklidagi cheklovlar bilan bir vaqtda 
qisman botiq boʻlishi kerak. Bu esa qisman botiq programmalashtirish masalalarini 
keltirib chiqaradi. Bu muhokama jarayonida nomusbat (≤) tengsizligidan 

 
120 
maksimallashtirish masalasining cheklovlari va (≥) tengsizligidan 
minimallashtirish masalasida foydalanamiz. 
 
Berilgan chiziqsiz programmalashtirish masalasini qaraymiz 
( )
,
(
1, 2,..., );
i
i
g x
r
i
m


     
0;
x

 
 
max .
f x




 
 Yuqoridagi 
masala 
quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 
(a)
 
f(x) maqsad funksiyasi differensiallanuvchi va nomanfiy sohada qisman 
botiq; 
(b)
 
 
x
g
 funksiya differensiallanuvchi va nomanfiy sohada qisman qavariqdir; 
(c)
 
*
x
 nuqta Kun-Takkerning maksimumlik shartlarini qanoatlantiradi; 
(d)
 
Quyidagilarning ixtiyoriy bittasi qanoatlantiriladi: 
 (d
1
) kamida bitta x
j
 oʻzgaruvchi uchun 
 
0

x
f
j
 boʻlsa; 
 (d
2
) musbat qiymatga erishadigan x
j
 oʻzgaruvchi uchun 
 
*
0;
j
f x

 
 (d
3
) 
 
*
j
f x
 
ning  barcha n-tartibli hosilalari noldan farqli va f(x) funksiya 
*
x
 
nuqtada ikki marta differensiallanuvchi [ya’ni f(x) ning 
*
x
  da barcha ikkinchi 
tartibli hosilalari mavjud]; 
 (d
4
) f(x) funksiya botiq. 
 Demak, 
*
x
 nuqta π = f(x) funksiyaning maksimum nuqtasi boʻladi. 
 Bu 
nazariyaning 
isboti juda uzun boʻlganligi sababli, uni shu yerda 
toʻxtatamiz. Biroq shunga e’tibor qaratish kerakki, Arrov va Enthover oʻzlarining 
qisman botiqlik qisman qavariqlik nazariyasida botiqlik qavariqlik holatlarini 
kamaytirishga erishgan vaqtda, ular yangi (d) shartni kiritishni muhim deb 
topishdi. Shunga qaramasdan, (d) shartda berilgan toʻrtta holatdan faqat bittasi 
toʻliq yetarlilik shartlarini shakllantirishi kerak. Shuning uchun natijada yuqoridagi 
nazariya maksimum uchun toʻrtta turli yetarlilik shartlari guruhidan tashkil topgan. 
Botiq 
 
x
f 
  funksiya bilan (d
4
) shart bajarilganda, Arrov-Enthoven yetarlilik 
nazariyasi Kun-Takker yetarlilik nazariyasi bilan bir xil boʻlib qoladi. Lekin bu 
toʻg‘ri emas. Shu bilan birgalikda, Arrov va Enthoven 
 
x
g
 chekli funksiyani 
qisman qavariq boʻlishini talab qiladi, uning yetarlilik shartlari shunda ham 
kamroq boʻladi. Demak, nazariya (a) dan (d) gacha boʻlgan barcha yetarlilik 
shartlarini qamrab oladi. Lekin buni boshqacharoq tarzda izohlash ham mumkin, 
ya’ni (a), (b) va (d) shartlar bajarilsa, u holda Kun-Takker shartlari maksimum 
uchun yetarli shartlar boʻladi. Bundan tashqari, agar cheklanganlik xususiyati 
qanoatlantirilsa, unda Kun-Takker shartlari maksimum uchun zaruriy va yetarli 
boʻladi. Kun-Takker nazariyasiga oʻxshab, Arrov-Enthoven nazariyasi 
minimallashtirish shakliga osonlik bilan oʻtkazilishi mumkin. Optimallashtirish 
yoʻnalishini saqlab qolish uchun zarur boʻladigan aniq oʻzgarishlar bilan 
birgalikda, (a) va (b) holatlarida qisman botiq va qisman qavariq soʻzlarini 

 
121 
almashtirishimiz kerak, Kun-Takker maksimum holatlarini minimum holatlariga 
almashtirish, (d
1
) va (d
2
) dagi tengsizliklarni saqlab qoliishimiz, va (d
4
) da botiq 
soʻzini qavariqqa oʻzgartirishimiz kerak boʻladi. 
 
 
33-mavzu. Aniqmas integral 
 
Reja:
 
33.1.
 
Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral. 
33.2.
 
Asosiy integrallar jadvali. 
33.3.
 
Aniqmas integral xossalari. 
33.4.
 
Trigonometrik funksiyalarni integrallash. 
33.5.
 
Aniqmas integralning iqtisodiyotga ba’zi tatbiqlari. 
 
 Tayanch 
soʻz va iboralar: 
boshlang‘ich funksiya, aniqmas integral, 
aniqmas integralda oʻzgaruvchini almashtirish, boʻlaklab integrallash, integral osti 
funksiyasi, integrallash oʻzgaruvchisi. 
 
 Bizga 
ma’lumki, 
( )
n
F x
x
  funksiyadan birinchi tartibli hosila olinsa, 
1
( )
( )
n
f x
F x
nx




 koʻrinishdagi funksiya hosil boʻladi. Biz yuqorida qaragan bu 
funksiyalar oʻzaro quyidagicha nomlanadi: 
( )
F x
 funksiya 
( )
f x
 funksiyaning 
boshlang‘ich funksiyasi. 
( )
F x
 funksiyaga ixtiyoriy 
C const


oʻzgarmas sonning 
qoʻshilishi uning 
( )
f x

hosilasiga ta’sir qilmasligini e’tiborga olsak, 
( )
f x
 
funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini 
( )
F x
C

 koʻrinishda yozish mumkin. 
Demak, 
1
( )
( )
,
( ) sin
( )
cos
,...
n
n
f x
nx
F x
x
C f x
x
F x
x C







 

 
Shunday qilib quyidagi ta’rif va teoremani keltirish mumkin. 
 
)
( x
F
 va 
)
( x
f
 funksiyalar
 
b
a;
 kesmada aniqlangan va uzluksiz boʻlib, 
)
(
' x
F
 mavjud boʻlsin.  
 
1-ta’rif. 
Agar barcha 


b
a
x
;

 uchun 
)
(
)
(
'
x
f
x
F

  oʻrinli boʻlsa, u holda 
)
( x
F
 
funksiya 
)
( x
f
 funksiyaning 
 
b
a;
 oraliqdagi boshlang‘ich funksiyasi deyiladi.
 
 
Teorema. 
Agar 
 
x
F
1
 va 
 
x
F
2
 funksiyalar 
)
( x
f
 funksiyaning 
 
b
a;
 oraliqdagi 
boshlang‘ich funksiyalari boʻlsa, u holda bu funksiyalar uchun 
 
 
)
(
1
2
const
C
C
x
F
x
F



 munosabat oʻrinli boʻladi. 
 
 

 
122 
 Isbot.
 


b
a
x
;

 oraliqda 
2
1
( )
( )
( )
x
F x F x
 

 funksiyani qaraymiz. Ta’rifga 
koʻra 
2
1
( )
( )
( )
( )
( ) 0
x
F x F x
f x
f x


 




. Demak, 
( )
x
C


 va 
 
 
2
1
F x
F x
C

 . 
Shunday qilib, boshlang‘ich funksiyaning umumiy koʻrinishi 
C
x
F

)
(
 shaklda 
yoziladi. 
 
2-ta’rif. 
Boshlang‘ich funksiyaning 
C
x
F

)
(
 umumiy koʻrinishi berilgan 
)
( x
f
y

 funksiyaning aniqmas integrali deyiladi.
 
 
 
( )
f x
 funksiyaning aniqmas integrali quyidagi koʻrinishda boʻladi: 
( )
( )
f x dx
F x
C



 
 
 
 
 
(1)
 
Bu yerda 


 integral belgisi, 
)
( x
f
– integral osti funksiyasi, 
dx
x
f
)
(
– integral osti 
ifodasi deb ataladi. 
 
( )
( )
dF x
f x
dx

 boʻlgani uchun (1) formulani quyidagicha yozish mumkin: 
( )
( )
( )
dF x
f x dx
dx
dF x
dx











   
 
(2) 
 
Aniqmas integral quydagi xossalarga ega: 
1)
 
Biror funksiya differensialining aniqmas integrali shu funksiya bilan 
oʻzgarmas son yig‘indisiga teng:  
( )
( )
.
dF x
F x
C



 
2)
 
 Aniqmas integralning differensiali (hosilasi) integral ostidagi ifodaga 
(funksiyaga) teng: 
( )
( )
d f x dx
f x dx


  


( )
( )
f x dx
f x


 





 
3)
 
Oʻzgarmas koʻpaytuvchi  A  ni integral belgisidan tashqarisiga chiqarish 
mumkin: 
( )
( )
,
Af x d x
A f x dx



  
 
 
 (3) 
bu yerda 
0.
A

 
4)
 
Chekli sondagi funksiyalarning algebraik yig‘indisidan olingan aniqmas 
integral shu funksiyalarning har biridan olingan aniqmas integrallarning algebraik 
yig‘indisiga teng: 


1
2
1
2
( )
( )
...
( )
( )
( )
...
( )
n
n
f x
f x
f x dx
f x dx
f x dx
f x dx











. (4) 

 
123 
5)
 
Agar 
( )
( )
f x dx
F x
C



 boʻlsa, u holda 
1
(
)
(
)
,
f ax b dx
F ax b
C
a


 

 
bu yerda 
0.
a

 
 Integrallarni 
hisoblashda keng foydalaniladigan elementar funksiyalar uchun 
tuzilgan quyidagi asosiy integrallar jadvalini keltiramiz: 
1
1.
,
1;
1
n
n
x
x dx
C
n
n



 


 
2
;
dx
x
C
x



2
1
.
dx
C
x
x
  

 
2.
ln
.
dx
x C
x



 
3.
;
.
ln
x
x
x
x
a
a dx
C
e dx e
C
a






 
4. cos
sin
.
x dx
x
C



 
5. sin
cos
.
x dx
x
C
 


 
2
6.
.
cos
dx
tgx C
x



 
2
7.
.
sin
dx
ctgx C
x
 


 
2
2
8.
arcsin
;
dx
x
C
a
a
x




 


0 .
a

2
arcsin
.
1
dx
x C
x




 
2
2
1
9.
arc
;
dx
x
tg
C
x
a
a
a




 


0 .
a

2
arc
.
1
dx
tgx C
x




 
2
2
1
10.
ln
,
2
dx
x a
C
x
a
a
x a








0 .
a

 
2
2
11.
ln
.
dx
x
x
C
x








  
12.
.
sh x dx chx
C



 
13.
.
chx dx sh x
C



 
14.
ln cos
.
tgx dx
x
C
 


 
15.
ln sin
.
ctgx dx
x
C



 
16.
ln
.
sin
2
dx
x
tg
C
x



 
17.
ln
.
cos
2 4
dx
x
tg
C
x











 
 1-misol.
 Aniqmas integral asosiy xossalari va jadvaldan foydalanib 
integrallarni toping: 

 
124 
1) 
5
4
;
x d x

      2)


4
3
3
1
;
x
x
dx



      3) 


2
2
1
;
x
dx
x


      4) 
2
2
.
sin
cos
dx
x
x

 
 Yechish. 
1)
5
5
6
6
4
2
4
4
6
3
x dx
x dx
x
C
x
C


 



.
 
2)


4
3
4
3
5
4
3
1
3
1
3
5
4
x
x
dx
x dx
x dx
dx
x
x
x C







 




. 
3)


2
2
2
2
2
1
2
1
x
x
x
dx
dx
x
x
x
x













 
2
3
2
4
1
2
ln
.
dx
dx
dx
x
C
x
x
x
x
x





 



 
4)
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
cos
sin cos
sin cos
cos
sin
dx
x
x
dx
dx
dx
tgx ctgx C
x
x
x
x
x
x











.