M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

Bilim
 
 
Ta’li
 
 
Ta’li
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m sohasi: 
im sohasi: 
im yoʻnalis
OLIY V
T
“O
IQTIS
Matem
1
2
1
2
shlari: 
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
О‘ZBEK
VA О‘RTA
TOSHKE
OLIY VA 
SODCHIL
(1-semes
matik ana
100000 
–
200000 
–
 
110000 
–
230000 
–
 
111000  –
5
S
230200  –
230600  –
230700  –
230800  –
230900  –
231200  –
231300  –
231500  –
232000  –
1
KISTON R
A MAXSU
ENT MOL
AMALIY
KAFED
LAR UCH
str. 2-mod
aliz asosla
Toshkent
– Gumanita
– Ijtimoiy s
– Pedagogik
– Iqtisod 
– Kasb ta’l
5230900  –
Sug‘urta ish
– Menejmen
– Moliya 
– Bank ishi
– Soliqlar v
– Buxgalter
– Sug‘urta i
– Pensiya is
– Baholash 
– Davlat bu
RESPUBL
US TA’LI
LIYA INS
 
Y MATEM
DRASI 
HUN MA
dul. Ma’r
ari va uni
t – 2018 
ar 
oha, iqtisod
ka 
imi (52306
– Buxgalter
hi) 
nt (xizmatla
va soliqqa to
riya hisobi v
ishi 
shi 
ishi 
udjetining g‘
LIKASI 
IM VAZI
STITUTI 
MATIKA
ATEMAT
ruzalar 
ing tatbiq
d va huquq 
600 – Moliy
riya hisobi
ar sohasi) 
ortish 
va audit (tar
‘azna ijrosi 
IRLIGI 
A” 
IKA 
qlari) 
ya, 5230700
i va audit
rmoqlar boʻ
0 – Bank is
t, 5231200
yicha) 
shi, 
0 – 

 
2 
 
Oʻzbekiston Respublikasi Oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligining 201__ 
yil “__”.___dagi “__”-sonli buyrug‘ining __-ilovasi bilan fan dasturi roʻyxati 
tasdiqlangan. 
 
 
Oliy va oʻrta maxsus, kasb-hunar ta’limi yoʻnalishlari boʻyicha Oʻquv-
uslubiy birlashmalar faoliyatini Muvofiqlashtiruvchi Kengashining 201__ yil 
“___”__________ dagi “____”-son bayonnomasi bilan ma’qullangan fan dasturi 
asosida OʻUM ishlab chiqilgan. 
 
 
 
OʻUM Toshkent moliya institutida ishlab chiqildi. 
 
 
Tuzuvchilar:  A.R.Xashimov 
– Toshkent moliya instituti, “Oliy va amaliy 
matematika” kafedrasi, dotsent, f.-m.f.n.; 
 
G.Xujaniyozova  – Toshkent moliya instituti, “Oliy va amaliy 
matematika” kafedrasi, katta oʻqituvchi. 
 
 
 
Taqrizchilar:  O.X.Abdullaev 
– Oʻzbekiston Milliy universiteti, “Differensial 
tenglamalar va matematik fizika” kafedrasi, 
dotsent, f.-m.f.n.; 
 
I.N.Mamurov 
– Toshkent moliya instituti, “Oliy va amaliy 
matematika” kafedrasi, dotsent, f.-m.f.n. 
 
 
 
OʻUM Toshkent moliya instituti Kengashida koʻrib chiqilgan va tavsiya 
qilingan (201__ yil __ _________ ___-sonli bayonnoma). 
 
 

 
3 
19-mavzu. 
n

 fazoda nuqtalarning oʻzaro joylashishi. 
Sonli ketma-ketlik 
 
Reja: 
19.1.  Sonli ketma-ketlik. 
19.2. 
n -oʻlchovli fazoda nuqtalar ketma-ketligi haqida tushuncha. 
 
 
Tаyanch soʻz va ibоrаlаr:  n-oʻlchоvli nuqtаlаr  оrаsidаgi mаsоfа,  n-
oʻlchоvli nuqtааtrоfi, nuqtаning chеgаrаlаngаn toʻplаmi, nuqtаlаr toʻplаmining 
ichki nuqtаsi, nuqtаlаr toʻplаmining chеgаrаviy nuqtаsi, nuqtаlаr toʻplаmi 
chеgаrаsi, nuqtаlаr toʻplаmining quyuqlаnish nuqtаsi, yopiq nuqtаlаr toʻplаmi, 
ochiq nuqtаlаr toʻplаmi, iхchаm (kоmpаkt) nuqtаlаr toʻplаmi, qаvаriq nuqtаlаr 
toʻplаmi,  n-oʻlchоvli nuqtаlаrning chiziqli qаvаriq kоmbinаtsiyasi, qаvаriq 
nuqtаlаr toʻplаmining chеtki nuqtаsi.  n-oʻlchоvli nuqtаlаr kеtmа-kеtligi, sоnli 
kеtmа-kеtlik, nuqtаlаr kеtmа-kеtligining qism оsti kеtmа-kеtligi, nuqtаlаr kеtmа-
kеtligining limiti, sоnli kеtmа-kеtlik limiti, yaqinlаshuvchi kеtmа-kеtlik, chеksiz 
kichik sоnli kеtmа-kеtlik, chеksiz kаttа sоnli kеtmа-kеtlik, mоnоtоn sоnli kеtmа-
kеtlik, mоnоtоn vа chеgаrаlаngаn sоnli kеtmа-kеtlik. 
 
 Qandaydir 
X
 toʻplam berilgan boʻlsin.  N  natural sonlar toʻplamini 
X
 
toʻplamga har qanday 
:
f N
X
  akslantirish 
X
 toʻplam elementlari ketma-
ketligi deb ataladi. 
:
f N
X
 ketma-ketlik odatda { }
n
x  yoki  ,  
n
x n N
 , 
koʻrinishda yoziladi. Bunda: 
 
1
x
 ketma-ketlikning birinchi hadi,  
 
2
x
 ketma-ketlikning ikkinchi hadi, 
 
n
x
 ketma-ketlikning n -hadi, deyiladi.  
Masalan: 
2
3
1
5
1,
,
,
N
2
3
n
n
n
n
x
n
y
z
n
n
n







 sonli ketma-ketliklarni 
ifodalaydi. 
 Agar 
shunday 
M
, ( )
m
 soni mavjud boʻlib, ixtiyoriy  n N
  uchun 
n
x
M

(
)
n
x
m

 tengsizlik oʻrinli boʻlsa, u holda 
n
x  sonli ketma-ketlik yuqoridan 
(quyidan) chegaralangan deyiladi. Agar { }
n
x  sonli ketma-ketlik yuqoridan ham, 
quyidan ham chegaralangan boʻlsa, bu ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.  
 Agar 
ixtiyoriy 
n
 uchun 
1
1
 
(
)
n
n
n
n
x
x
x
x




 tengsizlik bajarilsa, u holda 
{ }
n
x  ketma-ketlik oʻsuvchi (kamaymaydigan) sonli ketma-ketlik deyiladi. 
Kamayuvchi (oʻsmaydigan) ketma-ketliklar ham shunga oʻxshash ta’riflanadi. 
Bunday ketma-ketliklar monoton deyiladi. 

 
4 
 Agar 
{ }
n
x  ketma-ketlikning barcha elementlari faqat va faqat bitta C  soniga 
teng boʻlsa, u holda unioʻzgarmas deb atashadi. Masalan, 
5
n
x
 ,
{ } {5,5, ,5, }
n
x

 
 
 
Sonli ketma-ketliklar rekurrent usulda ham beriladi. Bunda ketma-ketlikning 
 birinchi hadi va  n -hadini oʻzidan oldingi hadlar orqali topish qoidasi beriladi: 
1
(
)
n
n
x
f x


. 
 Shunday 
qilib, 
2
1
3
2
( ),   ( )
x
f x
x
f x


 va hakozo. Masalan, 
 
1
1
2,   
3
,    
{2,5,8 }
n
n
n
x
x
x
x


 

 . 
 Koʻrish mumkinki,
1
n
n
x
n


ketma-ketlikning hadlari  n kattalashtirilganda 1 
soniga yaqinlashadi. Bunday holda 
1
n
n
x
n


ketma-ketlikning limiti 1 soniga 
intiladi deyiladi. 
 
1-ta’rif.
 Agar ixtiyoriy 
0

  son uchun shunday  N  natural son topilib, barcha 
n N
 nomerlarda  
|
|
n
x
a

   
tengsizlik bajarilsa, u holda  a  soni 
n
x  ketma-ketlikning limiti deyiladi. 
Bu yerda keyinchalik ham 
0

  cheksiz kichik musbat son sifatida qabul qilingan. 
 
 Bu 
limit 
lim
n
n
x
a

  yoki  n    da 
n
x
a
  koʻrinishda yoziladi. 
Shuningdek, 
n
x ketma-ketlik  a  soniga yaqinlashadi ham deyiladi. Masalan, 
 
4
1
n
n
x
n


 




 sonli ketma-ketlikda 
4
lim
4
1
n
n
n



 ekanligini ta’rif asosida 
isbotlaymiz. 
 Haqiqatan 
ham, 
4
4
4
4
4
4
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n







  
 
     



 
ifodani hosil qilamiz. Natijada,  N  sonining butun son ekanligini e’tiborga olib, 
4
1
N











, deb olasak, natijada ixtiyoriy 
0

  uchun  n N
  shartni 
qanoatlantiruvchi ixtiyoriy  n  uchun 
4
4
1
n
n

 

 boʻladi. Bu esa, aynan 4 soni 
n
x  
ketma-ketlikning limiti ekanligini anglatadi, ya’ni 
4
lim
4
1
n
n
n



. 
1
x

 
5 
 
Agar sonli ketma-ketlik chekli limitga ega boʻlsa, u yaqinlashuvchi ketma-
ketlik deb ataladi. Masalan, 
 
4
1
n
n
x
n


 




 ketma-ketlik yaqinlashuvchi ketma-
ketlikdir. 
 
Teorema. 
Agar sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi boʻlsa, u holda uning limiti 
yagonadir. 
 
Teorema.
Yaqinlashuvchi sonli ketma-ketlik chegaralangan boʻladi. 
 
 Yaqinlashuvchi 
ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega: 
 1) 
{ }
n
x  ketma-ketlik oʻzgarmas, ya’ni { }
n
x
c
  boʻlsa, u holda lim{ }
;
n
n
x
c

  
 2) 
{ }
n
x  va { }
n
y  ketma-ketliklar yaqinlashuvchi boʻlib,  m
 oʻzgarmas son 
boʻlsa, u holda: {
},   {
},  
,{
},{
}
m
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
y
x y
mx
x
y
 


 
 
 ketma-ketliklar ham 
yaqinlashuvchi boʻladi va quyidagilar oʻrinli boʻladi: 
 a) 
lim{
} lim{ } lim{ };
k
k
k
k
k
k
k
x
y
x
y






 
 b) 
lim{
} lim{ }lim{ };
k k
k
k
k
k
k
x y
x
y




 
 c) 
 
lim
lim
{ }
lim
,    lim{ } 0;
{ }
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
x
y
y
y





  
 d) 
lim{
}
lim{ };
k
k
k
k
mx
m
x



 
 e) 


lim{ }
lim{ } ;
m
m
k
k
k
k
x
x



 
 3) 
Agar 
k
k
x
y

 boʻlsa, u holda  lim
lim ;
k
k
k
k
x
y



 
 
4) Agar lim
,    lim
k
k
k
k
x
a
y
a



  va 
k
k
k
x
z
y


 boʻlsa, u holda  lim
k
k
z
a

 . 
 
2-ta’rif.
 Agar istalgan
0

  son uchun 

 ga bog‘liq biror  ( )
N

 natural son topilib 
( )
n N


 boʻladigan barcha  n  natural sonlar uchun |
|
n


  tengsizlik bajarilsa, u 
holda { }
n

 sonli ketma-ketlik cheksiz kichik sonli ketma-ketlik deyiladi. 
 
Bu limit  lim{ } 0
n
n


  koʻrinishda yoziladi. 

 
6 
 
Shunday qilib, limiti nolga teng har qanday sonli ketma-ketlik cheksiz kichik 
sonli ketma-ketlik deyiladi. Masalan, 
2
1
4
,  
4
1
n
n
n

 


 



 

 sonli ketma-ketliklar 
cheksiz kichik sonli ketma-ketliklardir chunki 
2
1
4
lim
0,  lim
0.
4
1
n
n
n
n
n

















 
 1-mashq.
 Cheksiz kichik sonli ketma-ketlik ta’rifidan foydalanib, 
1
lim
n
n

 
ketma-ketlik cheksiz kichik sonli ketma-ketlik ekanligini isbotlang. 
 
Odatda, ketma-ketlik limitini aniqlashda cheksiz kichik sonli ketma-
ketlikdan foydalaniladi. Masalan, { }
n
x  sonli ketma-ketlik limiti  a  ga teng boʻlishi, 
uchun shunday cheksiz kichik { }
n

 ketma-ketlik mavjud boʻlib, 
n
n
x
a

 
 
boʻlishi zarur va yetarli. 
 
Cheksiz kichik sonli ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega: 
1) 
Agar  { }
n

 va{ }
n

 cheksiz kichik sonli ketma-ketliklar boʻlsa, u holda 
ularning yig‘indisi yoki ayirmasidan tuzilgan {
}
n
n



 ketma-ketliklar ham 
cheksiz kichik sonli ketma-ketliklardir; 
2) 
{ }
n

 cheksiz kichik sonli ketma-ketlik va { }
n
x  chegaralangan sonli ketma-
ketlik boʻlsa, ularning mos hadlari koʻpaytmasidan tuzilgan {
}
n n
x

 ketma-ketlik 
ham cheksiz kichik sonli ketma-ketlikdir; 
3) 
Chekli sondagi cheksiz kichik sonli ketma-ketliklarning koʻpaytmalari ham 
cheksiz kichik sonli ketma-ketlikdir. 
 
3-ta’rif.
 Agar ixtiyoriy 
0
A
  son uchun { }
n

 sonli ketma-ketlikning shunday bir 
( )
N A
  (
A
 ga bog‘liq) tartib raqamini tanlash mumkin boʻlib, barcha 
( )
n N A

 
tartib raqamli hadlari uchun |
|
n
A

  tengsizlik oʻrinli boʻlsa, u holda { }
n

 sonli 
ketma-ketlik cheksiz katta sonli ketma-ketlik deyiladi. 
 
 
Cheksiz katta sonli ketma-ketliklar limiti 

 ga teng. 
Masalan, 
2
3
2
2
,          
10
1
10
10
1
n
n
n
n
n
















 ketma-ketliklar cheksiz katta sonli 
ketma-ketliklarga misol boʻlaoladi, chunki ularning limiti, mos ravishda,    va    
ga teng. 
 
Cheksiz katta sonli ketma-ketliklar uchun quyidagi xossalar oʻrinli: 
1) 
Har qanday cheksiz katta sonli ketma-ketlik chegaralanmagandir;  

 
7 
2) 
1
k

 
 
 
 ketma-ketlik cheksiz kichik sonli ketma-ketlik boʻlgandagina, 
{ },(
0)
n
n



ketma-ketlik cheksiz katta sonli ketma-ketlik boʻladi. 
 
4-ta’rif.
 Agar ixtiyoriy 
0

  son uchun shunday  N nomer mavjud boʻlibhar 
qanday  n N
  va  n p N
 
(
1)
p
  nomerlar uchun |
|
n p
p
x
x



  tengsizlik 
bajarilsa, u holda { }
n
x  sonli ketma-ketlik fundamental ketma-ketlik deyiladi. 
 
 
Agar sonli ketma-ketlik chekli limitga ega boʻlsa, u holda bu ketma-ketlik 
fundamental boʻladi.  
 
Agar sonli ketma-ketlik fundamental boʻlsa, u holda u chegaralangan 
boʻladi. 
 
Veyershtrass teoremasi. 
Agar sonli ketma-ketlik monoton oʻsuvchi (kamayuvchi) 
boʻlib u yuqoridan (quyidan) chegaralangan boʻlsa, u holda bu sonli ketma-ketlik 
yaqinlashuvchi boʻladi. 
 
Masalan,
1
{ }
1
n
n
x
n


















 sonli ketma-ketlik monoton oʻsuvchi va 
chegaralanganligi uchun yaqinlashuvchidir. Ketma-ketlik limiti irratsional 
soniga teng: 
1
lim 1
   (
2,718 ).
n
n
e
e
n





















 
 
e
 soni uzluksiz toʻlovli murakkab foiz, kapital qoʻyilmalarining 
samaradorligini baholash va hakozo masalalarida qoʻllaniladi. 
 
Fаrаz qilаmiz, omonаtchi bankda  n  yil muddаtgа  
soʻm miqdoridа 
jаmg‘аrmа omonаtini ochdi. Bаnk foizlаrining stаvkаsi esа bugungi kundа omonаt 
pulining   foizini tаshkil qilаdi. U holdа  n  yildаn soʻng omonаtchining hisobidаgi 
pullаr miqdori 
 (murаkkаb foizlаr formulаsi) ni tashkil qiladi. 
 Bu 
formulаdаn koʻrinib turibdiki, omonаtning dаstlаbki pulining murаkkаb 
foizlаr boʻyichа  oʻsishi – bu birinchi hаdi , 
mаxrаji esа boʻlgаn 
gеomеtrik progrеssiya
 qonunlаri boʻyichа rivojlаnuvchi jаrаyon.  
 1-misol.
0
S   dаstlаbki dеpozit  bаnkkа 
%
100

i
 yillik foiz stаvkаsi bilаn 
qoʻyilgаn boʻlsin, bir yildаn soʻng dеpozit miqdori 
0
2S  ni tаshkil etаdi. Fаrаz 
e

0
S
i
n
n
i
S
S





 

100
1
0
0
S





 
100
1
i

 
8 
qilаmizki yarim yildаn soʻng hisob 
0
2
0
1
2
3
2
1
1
S
S
S






 

 nаtijа bilаn yopilаdi vа 
bu summа yanа shu bаnkkа  dеpozit sifаtidа qoʻyilаdi. Yil yakunidа  dеpozit
0
2
0
2
25
,
2
2
1
1
S
S
S






 

 ni tаshkil etаdi. Bаnkkа qoʻyilgаn dеpozitni uni olgаndаn 
soʻng kеyin yanа qoʻyish shаrti bilаn qoʻyish vаqtini kаmаytirib borаmiz. Bu 
opеrаtsiyalаr hаr kvаrtаldа 
tаkrorlаngаndа yil soʻnggidа 
dеpozit 
0
3
0
3
37
,
2
3
1
1
S
S
S






 

ni tаshkil etаdi.  Аgаr olishning qoʻyish opеrаtsiyasini yil 
dаvomidа xoxlаgаnchа  tаkrorlаsаk hаr oy mаnipulyatsiyalаr bir yildа 
0
12
0
12
61
,
2
12
1
1
S
S
S






 

 summаni tаshkil etаdi; hаr kungi bаnkkа  tаshriflаr 
0
365
0
365
714
,
2
365
1
1
S
S
S






 

; hаr soаtdаgidа 
0
8720
0
8720
718
,
2
8720
1
1
S
S
S






 

 
vа hokаzoni tаshkil etаdi.  
 


0
S
S
n
 dаstlаbki omonаtning oʻsish qiymаtlаrining kеtmа-kеtligi murаkkаb 
foizlаr formulаsigа 
n
i
S
S





 

100
1
0
gа koʻrа 


n
dа limiti e  son boʻlgаn 
kеtmа-kеtlik bilаn bir xil koʻrish qiyin emаs. Shundаy qilib foizlarning uzluksiz 
hisoblanishidan kеlgаn dаromаd bir yildа 




%
172
%
100
1
%
100
lim
0
0







e
S
S
S
n
n
 ga teng.