M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

Xosmas integrallarning iqtisodiyotdagi tatbiqlari
. Koʻpgina iqtisodiy 
masalalarning yechimlarini topish jarayonida xosmas integrallarni hisoblashga 
toʻg‘ri keladi. Masalan, talab elastikligi oʻzgarmas boʻlgan holat uchun 
istе’molchining ortiqchа foydаsini hisoblash masalasining talab egri chizig‘ini 
quyidagicha yozish mumkin: 
1
,
0,
0
q
q ap
a
p
a





 


    
 
. 
Bu yerda 

 talab elastikligining bahosi. Talab egri chzig‘i 
,
p q  koordinata 
oʻqlarida quyidagi koʻrinishga ega boʻladi: 
 
U holda 
0
p
p

 dan boshlab istе’molchining ortiqchа foydаsi quyidagi I tur 
xosmas integral bilan hisoblanadi: 
0
p
CS
ap dp





. 
U holda 
1
1
1
0
0
0
0
lim
lim
lim
1
1
p
p
p
p
p
p
p
p
a
a
CS
ap dp
ap dp
p
p
p





































. 

 
165 
Bu integral 
1

  holatda yaqinlashadi. 
 
4-misol.
 Talab funksiyasi 
2
50
q
p


 boʻlsa, 
10
p

 da istе’molchining 
ortiqchа foydаsi topilsin.  
 Yechim. 
2
2
1 2
1 2
10
10
50
50
lim 50
lim
10
5
1 2
p
p
p
CS
p dp
p dp
p

























. 
Agar integral chegaralari chekli 
,
a b
 sonlardan iborat boʻlib, integral osti 
funksiyasi  [ , ]
a b  kesmaning chekli sondagi nuqtalarida aniqlanmagan boʻlsa, 
bunday integral II tur xosmas integral deb ataladi. Masalan, 
( ),
[ , )
( , ]
y
f x x
a c
c b



 berilgan boʻlsin, u holda 
( )
b
a
f x dx

 integral II tur 
xosmas integral deb ataladi.  
Xosmas integrallarni yaqinlashishga tekshirish quyidagicha amalga oshiriladi: 
0
0
( )
lim
( )
lim
( ) ,
0
b
c
b
a
a
c
f x dx
f x dx
f x dx















.  
(4) 
 
Agar (4) formulada qatnashayotgan limitlar mavjud va chekli boʻlsa, xosmas 
integral yaqinlashuvchi deyiladi.  
Agar (4) formulada qatnashayotgan limitlardan bittasi mavjud boʻlmasa yoki 
cheksiz boʻlsa, xosmas integral uzoqlashuvchi deb ataladi.  
 
5-misol.
 




1
0
1 x
dx
 xosmas integralni hisoblaymiz. Integral ostidagi 


x
y


1
1
 funksiya 
1

x
 nuqtada aniqlanmagan va nuqtadan chapda 
chegaralanmagan. Demak, 

 
166 
















1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
lim
lim 2 1
1
1
2lim
1 1
1 0
2lim
1
2.
dx
dx
x
x
x





















 
 


 




 
Bu xosmas integral yaqinlashuvchi. 
 6-misol. 
1
2
1
dx
x


 xosmas integrallarni yaqinlashuvchilikka tekshirish 
quyidagicha amalga oshiriladi:  
1
0
1
0
1
2
2
2
2
2
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
lim
lim
1
1
1
1
lim
lim
lim
1 lim
1
,
dx
dx
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x



 



































 
  













 
Demak, berilgan integral uzoqlashuvchi ekan.  
 
Mashqni bajaring. 
Quyidagi integrallarni yaqinlashuvchilikka tekshiring: 
1) 


1
2
0
2
1
dx
x


;         2) 


2
3
0
4
3
6
dx
x


;          3) 
2
0
2
1
dx
x


;         4) 
2
4
3
0
(
2)
dx
x


. 
 Xosmas 
integrallarni integrallash uchun oʻzgaruvchini almashtirish va 
boʻlaklab integrallash usullaridan foydalaniladi. 
 Koʻp hollarda berilgan integral osti funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini 
elementar funksiyalarda ifoda etish mumkin boʻlavermaydi. Bunday hollarda aniq 
integralni hisoblash uchun taqribiy formulalardan foydalaniladi. Bu formulalarning 
ba’zilari bilan tanishib chiqamiz. 
 
Aniq integrallarni taqribiy hisoblash
 
usullari. 
Aniq integrallarni taqribiy 
hisoblashning toʻg‘ri toʻrtburchaklar usuli: 
 
b
a;
 kesmada uzluksiz 
0
)
(


x
f
y
 
funksiya berilgan boʻlsin. 
 
b
a;
 kesmani ixtiyoriy ravishda 
n  ta teng 
n
a
b
h


 
boʻlaklarga, ya’ni qismiy kesmalarga boʻlamiz: 
0
1
2
...
.
n
a x
x
x
x
b

 
 

 
1
[
; ]
i
i
x
x

 oraliqqa mos 
( )
y
f x

 egri chiziqlarni 
Ox  ga parallel toʻg‘ri chiziqlar 
bilan almashtiramiz. 

 
167 
 
U holda  
1
2
( )
...
b
n
a
f x dx S
S
S


 

. 
Bu yerda 
1
i
i
S
h y

 
. Demak, 


1
0
1
1
0
.....
b
n
n
i
i
a
ydx h y
y
y
h
y










 
 
 
(5) 
 7-misol.
 
1
3
0
1
dx
x


 integralning taqribiy qiymatini toping. Bu yerda 
5
n
 . 
(5) formuladan foydalanib taqribiy hisoblashni amalga oshiramiz. [0;1]  kesmani 
quyidagicha 5 ta boʻlakka ajratamiz va 
1
i
y

 qiymatlarni 
3
1
( )
1
f x
x


 integral osti 
funksiya yordamida hisoblaymiz: 
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
0 ,
1;
0,2,
0,992;
0,4,
0,94;
0,6,
0,822;
0,8,
0,661;
1.
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x











 
Soʻngra (5) formuladan foydalansak: 


1
0
1
2
3
4
3
0
1
1
5
dx
y
y
y
y
y
x

 




, 
1
3
0
1
4,415 0,883
1
5
dx
x
 



. 
 
Aniq integrallarni taqribiy hisoblashning trapetsiya usuli: 
 
b
a;
 kesmada 
uzluksiz 
0
)
(


x
f
y
 funksiya  berilgan boʻlsin. 
 
b
a;
 kesmani ixtiyoriy ravishda 
n  ta teng 
n
a
b
h


 boʻlaklarga, ya’ni qismiy kesmalarga boʻlamiz: 
0
1
2
...
.
n
a x
x
x
x
b

 
 

 
1
[
; ]
i
i
x
x

 oraliqqa mos 
( )
y
f x

 egri chiziqlarni 
yuqoridagi rasmdagi kabi toʻg‘ri chiziqlar bilan almashtirib trapetsiyalar hosil 
qilamiz. U holda  

 
168 
1
2
( )
...
b
n
a
f x dx S
S
S


 

. 
Bu yerda 
1
2
i
i
i
y
y
S
h


 
. Demak,  
0
1
2
1
....
2
b
n
n
a
y
y
ydx h
y
y
y














 
  (6) 
 
8-misol.
 Yuqoridagi 7-misolni (6) formuladan foydalanib taqribiy 
hisoblaymiz 


5
n
 : 
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
0 ,
1;
0,2,
0,992;
0,4,
0,94;
0,6,
0,822;
0,8,
0,661;
1,
0,5.
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y












 
1
0
5
1
2
3
4
3
0
1
1
5
2
dx
y
y
y
y
y
y
x




 








, 
1
3
0
1
4,165 0,833
1
5
dx
x
 



. 
 
Aniq integrallarni taqribiy hisoblashning parabola usuli
 (Simpson 
formulasi). Bu holatda 
n – juft olinadi. Taqribiy hisoblanishi kerak boʻlgan integral 
quyidagicha hisoblanadi: 


0
1
2
3
2
1
4
2
4
... 2
4
3
b
n
n
n
a
h
ydx
y
y
y
y
y
y
y






 



  
(7)
 
 
9-misol.
 Yuqoridagi 7-misolni Simpson formulasidan foydalanib yechamiz. 
Bizga ma’lumki, Simpson formulasida 

n juft boʻlishi kerak. Shuning uchun 
4

n
 deb olamiz.  
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
0 ,
1;
0,25,
0,985;
0,5,
0,889;
0,25,
0,703;
1,
0,5,
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y










 


1
0
1
2
3
4
3
0
0,25
4
2
4
1
3
dx
y
y
y
y
y
x







1
10,03 0,836.
12



 
 
Mashqni bajaring. 
Quyidagi integrallarning taqribiy qiymatini 3 ta usuldan 
foydalanib toping. Bu yerda:  
1) 
2
3
0
3 2
dx
x


;             2) 
4
1
ln
dx
x

;           3) 
4
5
2
,
4 3
dx
x


8.
n
  
 
Oʻz- oʻzini tekshirish uchun savollar 
1)
 
Xosmas integrallarning qanday turlari mavjud? Ular qanday qilib aniq 
integralning umumlashmasi boʻlib hisoblanadi? 
2)
 
Integrallash sohasi chegaralanmagan xosmas integral qanday ta’riflanadi?  

 
169 
3)
 
Integrallash sohasi chegaralanmagan xosmas integralning geometrik ma’nosi 
nimadan iborat? 
4)
 
Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali qanday ta’riflanadi?  
5)
 
Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integralining geometrik ma’nosi 
nimadan iborat? 
6)
 
Xosmas integrallar qanday hisoblanadi? 
7)
 
Xosmas integrallarni yaqinlashishga qanday tekshirish mumkin? 
8)
 
Absolyut yaqinlashuvchi integral deb nimaga aytiladi? 
9)
 
Xosmas integrallarning xossalarini ayting. Bu xossalar ichidan aniq integral 
xossalariga oʻxshashlarini alohida sanab chiqing. 
 
Foydalanishga tavsiya etiladigan adabiyotlar roʻyxati 
1.
 
Mike Rosser. Basic mathematics for economists. London and New York, 
1993, 2003. 
2.
 
M.Harrison and P.Waldron Mathematics for economics and finance. London 
and New York, 2011. 
3.
 
M.Hoy, J.Livernois et.al. Mathematics for Economics. The MIT Press, 
London & Cambridge, 2011. 
4.
 
Robert M. Leekley, Applied Statistics for Businiess and Economics, USA, 
2010. 
5.
 
Alpha C. Chiang, Kevin Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical 
Economics, N.-Y. 2005. 
6.
 
Xashimov A.R., Xujaniyazova G.S. Iqtisodchilar uchun matematika. Oʻquv 
qoʻllanma. “Iqtisod-moliya”. 2017. 386 b. 
7.
 
 Бабаджанов  Ш.Ш.  Математика  для  экономистов.  Учебное  пособие. 
“Iqtisod-moliya”. 2017. 746 с. 
 
 

 
170 
 
 

 
171 
 
 

 
172