M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem



Download 1,23 Mb.
Pdf ko'rish
bet5/25
Sana16.11.2019
Hajmi1,23 Mb.
#26147
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   25
Bog'liq
1-sem 2-mod. maruzalari IuM


 

 
29 
1-teorema.
 
0
 nuqta  toʻplamning limit nuqtasi boʻlishi uchun 
0
 nuqtaning 
ixtiyoriy atrofida  toʻplamning cheksiz koʻp nuqtalari boʻlishi zarur va yetarli. 
 
 Yuqorida 
keltirilgan 
ta’riflardan birini qoʻllab 
0
1
2
limsin
0, lim
3
2
1
x
x
x
x
x






 
tengliklarni isbotlash mumkin. 
 
 toʻplamda aniqlangan limitga ega funksiyalar oʻzlarining quyidagi 
xossalari bilan xarakterlanadi: 
1. 
( )
y
f x

 funksiya 
0
x
x
  da chekli limitga ega boʻlsa, u holda bu limit 
yagonadir;  
2. 
( )
y
f x

 funksiya 
0
x
x
  da chekli limitga ega boʻlsa, u holda 
0
 
nuqtaning shunday 
0
( )
U x

 atrofi mavjudki, 
0
( )
U x
V

  toʻplamda ( )
f x  funksiya 
chegaralangan boʻladi.  
3. 
Agar
0
lim ( )
0
n
x x
f x
A

 
boʻlsa, u holda 
0
nuqtaning shunday atrofi topiladiki
bu atrofda funksiyaning ishorasi 
A
sonning ishorasi bilanbirxilboʻladi.  
4. 
Agar biror
0


 sonvabarcha 
0
0
( )
x
U x


nuqtalar uchun 
0
0
lim ( )
, lim ( )
n
n
x x
x x
f x
A
g x
B




boʻlib, ( )
( )
f x
g x

boʻlsa, u holda
B
A

 boʻladi. 
 
 
y
f x

 funksiya biror bir 
( , )
V
a

  nurdaaniqlangan boʻlsin. 
3-ta’rif. 
Agar ixtiyoriy 
0


 son uchun shunday bir  ( ) 0
K

  sonni koʻrsatish 
mumkin boʻlib, barcha  x
K
  munosabatni qanoatlantiruvchi   lar uchun 
 
f x
b

 
 tengsizlik oʻrinli boʻlsa, u holda 
b
 soni 
 
f x
 funksiyaning  x
   
dagi limiti deyiladi. 
 
 
y
f x

 funksiyaning  x
   limiti ham yuqoridagi kabi ta’riflanadi. 
4-ta’rif. 
Agar ixtiyoriy 
0
A

 son uchun shunday 
 
0
A


son topilsaki 
0
0
x x

 

 boʻlganda 
 
f x
A

 tengsizlik bajarilsa, u holda 
 
f x
 funksiya
0
x
nuqtada cheksiz limitga ega deyiladi. 
 
 
Bu limitlar quyidagicha yoziladi 
0
0
lim ( )
, lim ( )
x x
x x
f x
f x


 
 
. Masalan, 
1) 
3
lim
3
1
1
3
x
x


 
  
 
; 2) 
3
lim
0
1
1
3
x
x


 
  
 
; 3) 
1
lim 1
x
x
e
x









; 4) 
2
3
lim
2
x
x

 


 

 
30 
5-ta’rif. 
Agar ixtiyoriy 
0


 son uchun shunday 
0

  sonni topish mumkin boʻlib 


0
0
0
0
x
x x
x
x x


  
 

 shartni qanoatlantiruvchi barcha   lar uchun 
 
f x
b

 
 tengsizlik bajarilsa, 


0
0
(
0),
(
0)
b
f x
b
f x




 son 
 
f x
 
funksiyaning 
0
 nuqtadagi chap (oʻng) limiti deyiladi. 
 
Bu limit quyidagichayoziladi 






0
0
0
0
0
0
0
lim
( )
0
lim
( )
x x
x x
b
f x
f x
b
f x
f x
 
 

 




Masalan, 1. 
2
2
2
lim 4
x
x


 funksiyada 
2
2
2
2
2 0
2 0
lim 4
0,
lim 4
.
x
x
x
x


 
 

 
 
2. 
2
2
(
2)
1,
2;
( )
(
2)
1,
2
x
agar x
y
f x
x
agar x
 




 




 funksiyada 
2 0
2 0
lim ( ) 1, lim ( )
1
x
x
f x
f x
 
 

  . 
 
 
y
f x

 funksiyaning 
0
 nuqtada limiti mavjud boʻlishi uchun bu 
funksiya shu nuqtada chap va oʻng limitlarga ega boʻlib,




0
0
0
0
f x
f x



 
tenglik bajarilishi zarur va yetarli. 
 
Quyidagi teoremalar limitlar haqidagi asosiy teoremalar deb atalib, funksiya 
limitlarining asosiy xossalarini ifodalaydi: 
 
0
lim
,
x
x
f x
A


 
0
lim
x
x
g x
B


 boʻlsin. U 
holda 
1)
 
 


 
 
0
0
0
lim
lim
lim
;
x
x
x
x
x
x
f x
g x
f x
g x
A B






 
 
2)
   
 
 
0
0
0
lim
lim
lim
;
x
x
x
x
x
x
f x
g x
f x
g x
A B






 
 
3)
 
 
 
 


0
0
0
lim
lim
0 .
lim
x
x
x
x
x
x
f x
f x
A
B
g x
g x
B






 
 
Yuqoridagi teoremalar funksiyalarning limitlarini hisoblashda qoʻllaniladi. 
Masalan, 
limsin
sin
lim
0;
cos
limcos
x
x
x
x
x
x
x








 
lim(sin cos ) limsin limcos
0;
x
x
x
x
x
x
x








 
lim(sin
cos ) limsin
limcos
1.
x
x
x
x
x
x
x









 
 
 Amaliyotda 
koʻp qoʻllaniladigan ajoyib limitlar nomini olgan limitlarni 
keltirib oʻtamiz: 
1-ajoyib limit: 
0
sin
lim
1
x
x
x

 ; 

 
31 
2-ajoyib limit: 


1
0
lim 1
x
x
x
e


 . 
 
Bu ajoyib limitlarning boshqa shakllari ham mavjud boʻlib ular 
quyidagilardir: 
 1) 
0
lim
1
x
tgx
x

 ;     2) 
0
arcsin
lim
1
x
x
x

 ;     3) 
0
lim
1
x
arctgx
x

 ; 
 4) 


1
0
lim log 1
log
x
a
a
x
x
e



;      5) 


1
0
limln 1
1
x
x
x


 ; 
 Funksiyalarni 
solishtirish. 
a) ekvivalent funksiyalar. 
0
 nuqtaning 
qandaydir atrofida  ( ), ( ), ( )
f x g x h x  funksiyalar aniqlangan boʻlib, 
0
( )
( ) ( ), lim ( ) 1
x x
f x
g x h x
h x


  boʻlsin. U holda  ( )
f x  va  ( )
g x  funksiyalar 
0
x
x
  
da ekvivalent funksiyalar deyiladi va 
0
x
x
  da  ( )
( )
f x
g x

 koʻrinishda yoziladi. 
Masalan, 0
x
  da sin x x

;  x
   da 
4
2
2
1
x
x
x


. Bu kabi funksiyalarni quyida 
keltirib, ularning isbotini mustaqil bajarishni tvsiya etamiz. 
2
3
1
,
,
,
arcsin
,
,
(1
)
1
,
1 cos
,
2
1
.
0
2
x
e
x
tgx x
shx x
x x
arctgx x
x
x
x
x
x
chx
x















 















  
b) limitni hisoblashda funksiyalarni ekvivalent funksiyalar bilan almashtirihsh. 
 
1-teorema.
 Agar 
0
x
x
  da 
1
1
( )
( ), ( )
( )
f x
f x g x
g x


 boʻlib, 
0
1
1
( )
lim
( )
x x
f x
g x

 mavjud 
boʻlsa, u holda quyidagi tenglik oʻrinli boʻladi: 
0
0
1
1
( )
( )
lim
lim
( )
( )
x x
x x
f x
f x
g x
g x




 

 
32 
 1-misol.
 


0
arcsin
1
lim
cos
cos3
x
x
x e
x
x




 limitni hisoblashni 1- teorema yordamida 
amalga oshiramiz. Bu yerda 
0
x
x
  da arcsin x x
 , 
1
x
e
x
  , 
cos
cos3
2sin sin 2 ,
x
x
x
x


 sin x x
 , sin 2
2
x
x

 boʻlgani uchun 
0
x
x
  da 


2
arcsin
1
x
x e
x

 

2
cos
cos3
4
x
x
x


. U holda 


0
arcsin
1
1
lim
.
cos
cos3
4
x
x
x e
x
x





 
 
1
( ),
( ,..., )
n
n
y
f M
M x
x
V
R

 
  funksiya va 
0
  urinish nuqtasi berilgan 
boʻlsin. 
 
6-ta’rif. 
Agar 
A
 nuqtaning ixtiyoriy  ( )
U A  atrofi uchun 
0
 nuqtaning 
0
(
)
U M  
atrofi mavjud boʻlib, 
0
(
(
))
( )
f M
U M
U A


 munosabat oʻrinli boʻlsa, u holda 
A
 
nuqta ( )
f M  funksiyaning 
0
 nuqtadagi limiti deb ataladi. 
 
7-ta’rif. 
Agar ixtiyoriy 
0

  uchun shunday  ( ) 0
 
  topilib, 
0
(
,
)
M M


  
munosabat oʻrinli boʻlgan barcha  M V
  nuqtalar uchun 
 
f M
b

 
 tengsizlik 
bajarilsa, u holda b soni  ( )
f M  funksiyaning 
0
 nuqtadagi limiti deyiladi va u 
quyidagicha yoziladi: 
 


0
0
1
1
0
2
2
0
1
2
.............
lim
, lim
,
,...,
n
n
n
M
M
x
x
x
x
x
x
f M
b
f x x
x
b






 
 
 2-misol.
 1) 
2
3
0
3
3
4
12
6
lim
;
7
10
5
x
y
x
y
x
y





 
 2) 
2
2
0
0
lim
x
y
xy
x
y



funksiya limiti mavjud 
emas. Chunki 


1 1
,
,
k
k
x y
k k


 



 
ketma-ketlik  R
  da (0,0)  nuqtaga intiladi. 
 
2
2
,
xy
f x y
x
y


 
funksiya 
1 1
1
,
2
f
n n

 




 
ga teng, ya’ni 


0
0
1
lim
,
.
2
x
y
f x y



 


'
'
1 1
,
,
n
n
x y
n n








 
ketma-ketlik ham  R
  da (0,0) nuqtaga intiladi.  
2
1
1
,
1







 
n
n
f
 
ya’ni  
 
0
0
1
lim
,
2
x
y
f x y


  bu esa 1-ta’rifga zid. 
 Ma’limki,  ( ),
n
y
f M
M V
R

 
  funksiyaning 
0
nuqtadagi limitini 
qarayotganimizda bu nuqta toʻplamga tegishli boʻlishi ham tegishli boʻlmasligi 

 
33 
ham mumkin. Agar 
0
M
V
  boʻlib 
0
lim
( )
M
M
f M
b


 limit mavjud boʻlsa, u holda bu 
limit qyidagicha yoziladi: 
0
0
lim
( )
(
)
M
M
f M
b
f M

 
 
va ( )
y
f M

 funksiya 
0
 nuqtada uzluksiz deb ataladi. 
 Agar 
  toʻplam 
0
nuqtaning qandaydir 
0
(
)
U M   atrofini ham oʻzichiga 
olsin. U holda 
( )
y
f M

funksiyaning 
0
  nuqtadagi barcha 
0
(
)
U M   atrofi 
boʻyicha limitiga har tomonlama limit deyiladi. 
 
3-misol. 
2
2
4
2
( , )
, ( , )
\ (0;0)
x y
f x y
x y
R
O
x
y



 
funksiyaning (0;0)
O
 
nuqtadagi limiti mavjudligini turli yoʻnalishlar va 
2
y x
  parabola boʻyicha 
oʻrganamiz.  
 1) 
2
4 2
2
0
0
,
lim ( , ) lim
0;
t
t
a bt
x at y bt
f at bt
a t
b



 



 
 2) 
2 2
2
2
4
2 2
0
0
1
lim ( , ) lim
.
( )
2
t
t
x x
y x
f x x
x
x







 
Demak, bu funksiyaning har tomonlama limiti mavjud emas. 
 
8-ta’rif.
 
)
,
(
lim
)
sin
,
cos
(
lim
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
0
0
0
y
x
f
t
y
t
x
f
L
y
x
O
y
x
y
x
y
x
t












 ifodaga  ( , )
f x y  
funksiyaning 
0
0
( , )
x y  nuqtadagi 
)
sin
,
(cos



l
 yoʻnalish boʻyicha limiti 
deyiladi. Bu yerda 
L
 
0
0
( , )
x y  nutadan  chiquvchi nur. 
 
 4-misol.
 
2
2
2
)
,
(
y
x
xy
y
x
f


 funksiyaning (0,0) nutadagi 
)
sin
,
(cos



l
 
yoʻnalish boʻyicha limitini hisoblaymiz. 
2
2
2
2
2 cos
sin
( cos , sin )
2sin cos
sin 2 ,
0
cos
sin
t
t
f t
t
t
t
t
















U holda 
( , ) (0,0)
lim
( , ) sin 2
x y
f x y




 
Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar 
1)  Funksiyaning limiti. 
2)  Аjоyib limitlаr. 
3)  Bir tоmоnlаmа limitlаr. 
4)  Limitlаr hаqid ааsоsiy tеоrеmаlаr. 
5)  Chеksiz kichik vа chеksiz kаttа funksiyalаr. 

 
34 
23-mavzu. Funksiya uzluksizligi 
 
Reja:
 
23.1.  Bir oʻzgaruvchili funksiyaning uzluksizligi. 
23.2.  Koʻp oʻzgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi. 
 
 
Tаyanch soʻz va ibоrаlаr:
 nuqtаdа uzluksiz funksiya, toʻplаmdа 
uzluksizlik, bir tоmоnlаmа uzluksizlik, birinchi tur uzilish nuqtаsi, bаrtаrаf etilishi 
mumkin uzilish nuqtаsi, ikkinchi tur uzilish nuqtаsi. 
 
 
Uzluksizlik tushunchasi funksiyaning asosiy xarakteristikalaridan biri boʻlib, 
u amaliyotda muhim ahamiyatga ega. Faraz qilamiz
( )
y
f x

 funksiya 
1
V
R

toʻplamda aniqlangan boʻlib, 
0
x
V
  boʻlsin. 
 
1-ta’rif (Koshi).
 Agar ixtiyoriy 
0

  son uchun biror  ( ) 0
 
  son topilib,
0
x x


   oʻrinli boʻlganda 
 
 
0
f x
f x



 tengsizlik bajarilsa, u holda 
( )
y
f x

 funksiya
0
nuqtada uzluksiz deyiladi. 
 
2-ta’rif.
 Agar  ( )
f x  funksiya  toʻplamning har bir nuqtasida uzluksiz boʻlsa, u 
holda u  toʻplamda uzluksiz deyiladi. 
 
3-ta’rif (Geyne).
 Agar  toʻplamdan olingan va 
0
 nuqtaga intiluvchi har qanday 
 
n
 ketma-ketlik uchun,  ( )
f x  funksiya qiymatlaridan iborat 


( )
n
f x
 sonli 
ketma-ketlik 
0
( )
f x  ga yaqinlashsa, u holda bu funksiya 
0
 nuqtada uzluksiz 
deyiladi. 
 
4-ta’rif.
 Agar 
0
0
(
0)
( )
f x
f x


 tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda  ( )
f x  funksiya 
0
 
nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi. Bu tenglik oʻrinli boʻlmasa, ( )
f x funksiya 
0
 
nuqtada chapdan uzilishga ega boʻladi. 
 
5-ta’rif.
 Agar
0
0
(
0)
( )
f x
f x


 tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda  ( )
f x  funksiya 
0
 
nuqtada oʻngdan uzluksiz deyiladi. 
Download 1,23 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   25




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish