29
1-teorema.
0
x nuqta V toʻplamning limit nuqtasi boʻlishi uchun
0
x nuqtaning
ixtiyoriy atrofida V toʻplamning cheksiz koʻp nuqtalari boʻlishi zarur va yetarli.
Yuqorida
keltirilgan
ta’riflardan birini qoʻllab
0
1
2
limsin
0, lim
3
2
1
x
x
x
x
x
tengliklarni isbotlash mumkin.
V toʻplamda aniqlangan limitga ega funksiyalar oʻzlarining quyidagi
xossalari bilan xarakterlanadi:
1.
( )
y
f x
funksiya
0
x
x
da chekli limitga ega boʻlsa, u holda bu limit
yagonadir;
2.
( )
y
f x
funksiya
0
x
x
da chekli limitga ega boʻlsa, u holda
0
x
nuqtaning shunday
0
( )
U x
atrofi mavjudki,
0
( )
U x
V
toʻplamda ( )
f x funksiya
chegaralangan boʻladi.
3.
Agar
0
lim ( )
0
n
x x
f x
A
boʻlsa, u holda
0
x nuqtaning shunday atrofi topiladiki,
bu atrofda funksiyaning ishorasi
A
sonning ishorasi bilanbirxilboʻladi.
4.
Agar biror
0
sonvabarcha
0
0
( )
x
U x
nuqtalar uchun
0
0
lim ( )
, lim ( )
n
n
x x
x x
f x
A
g x
B
boʻlib, ( )
( )
f x
g x
boʻlsa, u holda
B
A
boʻladi.
y
f x
funksiya biror bir
( , )
V
a
nurdaaniqlangan boʻlsin.
3-ta’rif.
Agar ixtiyoriy
0
son uchun shunday bir ( ) 0
K
sonni koʻrsatish
mumkin boʻlib, barcha x
K
munosabatni qanoatlantiruvchi x lar uchun
f x
b
tengsizlik oʻrinli boʻlsa, u holda
b
soni
f x
funksiyaning x
dagi limiti deyiladi.
y
f x
funksiyaning x
limiti ham yuqoridagi kabi ta’riflanadi.
4-ta’rif.
Agar ixtiyoriy
0
A
son uchun shunday
0
A
son topilsaki
0
0
x x
boʻlganda
f x
A
tengsizlik bajarilsa, u holda
f x
funksiya
0
x
nuqtada cheksiz limitga ega deyiladi.
Bu limitlar quyidagicha yoziladi
0
0
lim ( )
, lim ( )
x x
x x
f x
f x
. Masalan,
1)
3
lim
3
1
1
3
x
x
; 2)
3
lim
0
1
1
3
x
x
; 3)
1
lim 1
x
x
e
x
; 4)
2
3
lim
2
x
x
.
30
5-ta’rif.
Agar ixtiyoriy
0
son uchun shunday
0
sonni topish mumkin boʻlib
0
0
0
0
x
x x
x
x x
shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun
f x
b
tengsizlik bajarilsa,
0
0
(
0),
(
0)
b
f x
b
f x
son
f x
funksiyaning
0
x nuqtadagi chap (oʻng) limiti deyiladi.
Bu limit quyidagichayoziladi
0
0
0
0
0
0
0
lim
( )
0
lim
( )
x x
x x
b
f x
f x
b
f x
f x
.
Masalan, 1.
2
2
2
lim 4
x
x
funksiyada
2
2
2
2
2 0
2 0
lim 4
0,
lim 4
.
x
x
x
x
2.
2
2
(
2)
1,
2;
( )
(
2)
1,
2
x
agar x
y
f x
x
agar x
funksiyada
2 0
2 0
lim ( ) 1, lim ( )
1
x
x
f x
f x
.
y
f x
funksiyaning
0
x nuqtada limiti mavjud boʻlishi uchun bu
funksiya shu nuqtada chap va oʻng limitlarga ega boʻlib,
0
0
0
0
f x
f x
tenglik bajarilishi zarur va yetarli.
Quyidagi teoremalar limitlar haqidagi asosiy teoremalar deb atalib, funksiya
limitlarining asosiy xossalarini ifodalaydi:
0
lim
,
x
x
f x
A
0
lim
x
x
g x
B
boʻlsin. U
holda
1)
0
0
0
lim
lim
lim
;
x
x
x
x
x
x
f x
g x
f x
g x
A B
2)
0
0
0
lim
lim
lim
;
x
x
x
x
x
x
f x
g x
f x
g x
A B
3)
0
0
0
lim
lim
0 .
lim
x
x
x
x
x
x
f x
f x
A
B
g x
g x
B
Yuqoridagi teoremalar funksiyalarning limitlarini hisoblashda qoʻllaniladi.
Masalan,
limsin
sin
lim
0;
cos
limcos
x
x
x
x
x
x
x
lim(sin cos ) limsin limcos
0;
x
x
x
x
x
x
x
lim(sin
cos ) limsin
limcos
1.
x
x
x
x
x
x
x
Amaliyotda
koʻp qoʻllaniladigan ajoyib limitlar nomini olgan limitlarni
keltirib oʻtamiz:
1-ajoyib limit:
0
sin
lim
1
x
x
x
;
31
2-ajoyib limit:
1
0
lim 1
x
x
x
e
.
Bu ajoyib limitlarning boshqa shakllari ham mavjud boʻlib ular
quyidagilardir:
1)
0
lim
1
x
tgx
x
; 2)
0
arcsin
lim
1
x
x
x
; 3)
0
lim
1
x
arctgx
x
;
4)
1
0
lim log 1
log
x
a
a
x
x
e
; 5)
1
0
limln 1
1
x
x
x
;
Funksiyalarni
solishtirish.
a) ekvivalent funksiyalar.
0
x nuqtaning
qandaydir atrofida ( ), ( ), ( )
f x g x h x funksiyalar aniqlangan boʻlib,
0
( )
( ) ( ), lim ( ) 1
x x
f x
g x h x
h x
boʻlsin. U holda ( )
f x va ( )
g x funksiyalar
0
x
x
da ekvivalent funksiyalar deyiladi va
0
x
x
da ( )
( )
f x
g x
koʻrinishda yoziladi.
Masalan, 0
x
da sin x x
; x
da
4
2
2
1
x
x
x
. Bu kabi funksiyalarni quyida
keltirib, ularning isbotini mustaqil bajarishni tvsiya etamiz.
2
3
1
,
,
,
arcsin
,
,
(1
)
1
,
1 cos
,
2
1
.
0
2
x
e
x
tgx x
shx x
x x
arctgx x
x
x
x
x
x
chx
x
b) limitni hisoblashda funksiyalarni ekvivalent funksiyalar bilan almashtirihsh.
1-teorema.
Agar
0
x
x
da
1
1
( )
( ), ( )
( )
f x
f x g x
g x
boʻlib,
0
1
1
( )
lim
( )
x x
f x
g x
mavjud
boʻlsa, u holda quyidagi tenglik oʻrinli boʻladi:
0
0
1
1
( )
( )
lim
lim
( )
( )
x x
x x
f x
f x
g x
g x
.
32
1-misol.
0
arcsin
1
lim
cos
cos3
x
x
x e
x
x
limitni hisoblashni 1- teorema yordamida
amalga oshiramiz. Bu yerda
0
x
x
da arcsin x x
,
1
x
e
x
,
cos
cos3
2sin sin 2 ,
x
x
x
x
sin x x
, sin 2
2
x
x
boʻlgani uchun
0
x
x
da
2
arcsin
1
x
x e
x
,
2
cos
cos3
4
x
x
x
. U holda
0
arcsin
1
1
lim
.
cos
cos3
4
x
x
x e
x
x
1
( ),
( ,..., )
n
n
y
f M
M x
x
V
R
funksiya va
0
M urinish nuqtasi berilgan
boʻlsin.
6-ta’rif.
Agar
A
nuqtaning ixtiyoriy ( )
U A atrofi uchun
0
M nuqtaning
0
(
)
U M
atrofi mavjud boʻlib,
0
(
(
))
( )
f M
U M
U A
munosabat oʻrinli boʻlsa, u holda
A
nuqta ( )
f M funksiyaning
0
M nuqtadagi limiti deb ataladi.
7-ta’rif.
Agar ixtiyoriy
0
uchun shunday ( ) 0
topilib,
0
(
,
)
M M
munosabat oʻrinli boʻlgan barcha M V
nuqtalar uchun
f M
b
tengsizlik
bajarilsa, u holda b soni ( )
f M funksiyaning
0
M nuqtadagi limiti deyiladi va u
quyidagicha yoziladi:
0
0
1
1
0
2
2
0
1
2
.............
lim
, lim
,
,...,
n
n
n
M
M
x
x
x
x
x
x
f M
b
f x x
x
b
2-misol.
1)
2
3
0
3
3
4
12
6
lim
;
7
10
5
x
y
x
y
x
y
2)
2
2
0
0
lim
x
y
xy
x
y
funksiya limiti mavjud
emas. Chunki
1 1
,
,
k
k
x y
k k
ketma-ketlik R
da (0,0) nuqtaga intiladi.
2
2
,
xy
f x y
x
y
funksiya
1 1
1
,
2
f
n n
ga teng, ya’ni
0
0
1
lim
,
.
2
x
y
f x y
'
'
1 1
,
,
n
n
x y
n n
ketma-ketlik ham R
da (0,0) nuqtaga intiladi.
2
1
1
,
1
n
n
f
ya’ni
0
0
1
lim
,
2
x
y
f x y
bu esa 1-ta’rifga zid.
Ma’limki, ( ),
n
y
f M
M V
R
funksiyaning
0
M nuqtadagi limitini
qarayotganimizda bu nuqta V toʻplamga tegishli boʻlishi ham tegishli boʻlmasligi
33
ham mumkin. Agar
0
M
V
boʻlib
0
lim
( )
M
M
f M
b
limit mavjud boʻlsa, u holda bu
limit qyidagicha yoziladi:
0
0
lim
( )
(
)
M
M
f M
b
f M
va ( )
y
f M
funksiya
0
M nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Agar
V toʻplam
0
M nuqtaning qandaydir
0
(
)
U M atrofini ham oʻzichiga
olsin. U holda
( )
y
f M
funksiyaning
0
M nuqtadagi barcha
0
(
)
U M atrofi
boʻyicha limitiga har tomonlama limit deyiladi.
3-misol.
2
2
4
2
( , )
, ( , )
\ (0;0)
x y
f x y
x y
R
O
x
y
funksiyaning (0;0)
O
nuqtadagi limiti mavjudligini turli yoʻnalishlar va
2
y x
parabola boʻyicha
oʻrganamiz.
1)
2
4 2
2
0
0
,
lim ( , ) lim
0;
t
t
a bt
x at y bt
f at bt
a t
b
2)
2 2
2
2
4
2 2
0
0
1
lim ( , ) lim
.
( )
2
t
t
x x
y x
f x x
x
x
Demak, bu funksiyaning har tomonlama limiti mavjud emas.
8-ta’rif.
)
,
(
lim
)
sin
,
cos
(
lim
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
0
0
0
y
x
f
t
y
t
x
f
L
y
x
O
y
x
y
x
y
x
t
ifodaga ( , )
f x y
funksiyaning
0
0
( , )
x y nuqtadagi
)
sin
,
(cos
l
yoʻnalish boʻyicha limiti
deyiladi. Bu yerda
L
0
0
( , )
x y nutadan l chiquvchi nur.
4-misol.
2
2
2
)
,
(
y
x
xy
y
x
f
funksiyaning (0,0) nutadagi
)
sin
,
(cos
l
yoʻnalish boʻyicha limitini hisoblaymiz.
2
2
2
2
2 cos
sin
( cos , sin )
2sin cos
sin 2 ,
0
cos
sin
t
t
f t
t
t
t
t
.
U holda
( , ) (0,0)
lim
( , ) sin 2
x y
f x y
.
Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar
1) Funksiyaning limiti.
2) Аjоyib limitlаr.
3) Bir tоmоnlаmа limitlаr.
4) Limitlаr hаqid ааsоsiy tеоrеmаlаr.
5) Chеksiz kichik vа chеksiz kаttа funksiyalаr.
34
23-mavzu. Funksiya uzluksizligi
Reja:
23.1. Bir oʻzgaruvchili funksiyaning uzluksizligi.
23.2. Koʻp oʻzgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi.
Tаyanch soʻz va ibоrаlаr:
nuqtаdа uzluksiz funksiya, toʻplаmdа
uzluksizlik, bir tоmоnlаmа uzluksizlik, birinchi tur uzilish nuqtаsi, bаrtаrаf etilishi
mumkin uzilish nuqtаsi, ikkinchi tur uzilish nuqtаsi.
Uzluksizlik tushunchasi funksiyaning asosiy xarakteristikalaridan biri boʻlib,
u amaliyotda muhim ahamiyatga ega. Faraz qilamiz,
( )
y
f x
funksiya
1
V
R
toʻplamda aniqlangan boʻlib,
0
x
V
boʻlsin.
1-ta’rif (Koshi).
Agar ixtiyoriy
0
son uchun biror ( ) 0
son topilib,
0
x x
oʻrinli boʻlganda
0
f x
f x
tengsizlik bajarilsa, u holda
( )
y
f x
funksiya
0
x nuqtada uzluksiz deyiladi.
2-ta’rif.
Agar ( )
f x funksiya V toʻplamning har bir nuqtasida uzluksiz boʻlsa, u
holda u V toʻplamda uzluksiz deyiladi.
3-ta’rif (Geyne).
Agar V toʻplamdan olingan va
0
x nuqtaga intiluvchi har qanday
n
x ketma-ketlik uchun, ( )
f x funksiya qiymatlaridan iborat
( )
n
f x
sonli
ketma-ketlik
0
( )
f x ga yaqinlashsa, u holda bu funksiya
0
x nuqtada uzluksiz
deyiladi.
4-ta’rif.
Agar
0
0
(
0)
( )
f x
f x
tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda ( )
f x funksiya
0
x
nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi. Bu tenglik oʻrinli boʻlmasa, ( )
f x funksiya
0
x
nuqtada chapdan uzilishga ega boʻladi.
5-ta’rif.
Agar
0
0
(
0)
( )
f x
f x
tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda ( )
f x funksiya
0
x
nuqtada oʻngdan uzluksiz deyiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |