90
.
Quyidagi belgilash kiritamiz:
.
Bu yerda
.
funksiyaga
Lagranj
oʻrta qiymat teoremasini:
qoʻllaymiz:
.
(13)
Bu yerda:
. (14)
(13) tenglikni (14) dan foydalanib quyidagicha yozib olamiz:
. (15)
Bu tenglik ikki oʻzgaruvchili funksiya uchun Lagranj funksiyasi deb ataladi.
Lagranj
oʻrta qiymat teoremasining umumlashmasi Teylor oʻrta qiymat
teoremasi yoki kengaytirilgan oʻrta qiymat teoremasi koʻp holarda Teylor
formulasi deb atalib quyidagi koʻrinishga ega:
. (16)
(15) formulani
uchun keltirib chiqaramiz. Buning uchun
funksiyani
kesmada Teylor formulasini 2-tartibli
hadi bilan yozib olamiz:
(17)
(14) formulani differensiallab quyidagiga ega boʻlamiz:
.
(14) ga asosan
boʻlgani uchun (17) quyidagi
koʻrinishga ega boʻladi:
.
Bu formula ikkioʻzgaruvchili funksiya uchun Teylor oʻrta qiymat teoremasi
deb ataladi.
Bu
ikkita
oʻrta qiymat teoremasini uch va undan koʻp oʻzgaruvchili
funksiyalar uchun ham qoʻllash mumkin.
11-misol.
nuqtada
funksiya uchun Lagranj va
Teylor oʻrta qiymat teoremasini yozing.
Yechish
. Bu funksiya uchun Lagranj oʻrta qiymat teoremasi quyidagi
koʻrinishga ega boʻladi:
(
,
)
( , )
f a h b k
f a b
( )
(
,
)
t
f a ht b kt
(0)
( , ), (1)
(
,
)
f a b
f a h b k
( )
t
[0;1]
( )
( ) (
) ( ),
( ; )
f a
f b
b a f
a b
(1)
(0) (1 0) ( ),
(0;1)
( )
(
,
)
(
,
)
x
y
t
hf a ht b kt
kf a ht b kt
(
,
)
( , )
(
,
)
(
,
)
x
y
f a h b k
f a b
hf a h b k
kf a h b k
2
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( ) ...
( ),
( , )
1!
2!
!
n
n
b a
b a
b a
f b
f a
f a
f a
f
a b
n
( , )
f x y
( )
(
,
)
t
f a ht b kt
[0;1]
2
1 0
(1 0)
(1)
(0)
(0)
( ),
( , )
1!
2!
a b
2
2
( )
(
,
) 2
(
,
)
(
,
)
xx
xy
yy
t
h f a ht b kt
hkf a ht b kt
k f a ht b kt
(0)
( , )
( , )
x
y
hf a b
kf a b
2
2
(
,
)
( , ) [
( , )
( , )]
1
[
(
,
) 2
(
,
)
(
,
)],
(0;1)
2!
x
y
xx
xy
yy
f a h b k
f a b
hf a b
kf a b
h f a
t b
t
hkf a
t b
t
k f a
t b
t
(1;2)
M
2
2
( , )
f x y
x
y
91
.
Bu yerda
boʻlsa tenglik oʻrinli boʻladi.
U holda bu funksiya uchun Teylor oʻrta qiymat teoremasini yozamiz va bu
teorema quyidagi koʻrinishga ega boʻladi:
Koʻp oʻzgaruvchili funksiyalarning
ekstremum nuqtasini topishni ikki
oʻzgaruvchili
funksiya misolida koʻrib chqamiz.
nuqta
atrofida
uchun Teylor formulasini yozamiz:
.
(18)
Bu yerda
boʻlgani uchun (18) formulani quyidagicha yozish mumkin:
.
Quyidagi belgilashlar kiritamiz:
,
boʻlsin. U holda:
1) agar
boʻlsa,
statsionar nuqta funksiyaning lokal
ekstremum nuqtasi boʻlib:
a)
boʻlsa,
statsionar nuqta maksimum nuqta;
b)
boʻlsa,
statsionar nuqta minimum nuqta boʻladi.
2) agar
boʻlsa, u holda
statsionar nuqta ekstremum nuqta
boʻlmaydi;
3) agar
boʻlsa, u holda nuqtaning ekstremum nuqtasi boʻlishi
ham, boʻlmasligi ham mumkin. Bu holda qoʻshimcha tekshirish talab etiladi.
12-misol.
10-misolda keltirilgan funksiyaning
statsionar nuqtasini
ekstremumga tekshiramiz:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(1
)
(2
)
1
2
2 (1
) 2 (2
)
1
2
2
2
4
2
(1
2
2
) (2
4
2
)
h
k
h
h
k
k
h
h
k
k
h
h
k
k
1
(0;1)
2
2
2
2
2
2
2
1
(1
)
(2
)
1
2
2 1 2 2
(2
2 )
2
h
k
h
k
h
k
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
4
(1
2
) (2
4
).
h h
k k
h h
k k
0
M
( , )
z
f x y
0
( , )
M a b
( , )
f x y
2
2
(
,
)
( , ) [
( , )
( , )]
1
[
( , ) 2
( , )
( , )]
2!
x
y
xx
xy
yy
f a h b k
f a b
hf a b
kf a b
h f x y
hkf
x y
k f
x y
0
x
y
f
f
2
2
1
(
,
)
( , )
[
( , ) 2
( , )
( , )]
2!
xx
xy
yy
f a h b k
f a b
h f x y
hkf
x y
k f
x y
2
2
0
0
2
1
1
2
(
)
(
)
,
,
f M
f M
A
B
x
x x
C
x
M
f
2
2
0
2
A B
B C
2
0
B
AC
0
M
0
A
0
M
0
A
0
M
0
2
AC
B
0
M
0
2
AC
B
)
4
;
1
(
0
M
.
2
;
1
)
(
;
2
2
2
0
2
2
1
0
2
2
1
0
2
x
M
f
C
x
x
M
f
B
x
M
f
A
,
0
3
2
2
)
1
(
2
2
AC
B
92
boʻlgani uchun
statsionar nuqta ekstremum va
boʻlganidan
minimum nuqta boʻladi.
Endi
koʻp oʻzgaruvchil funksiya uchun ekstremumni topish masalasini
koʻrib chiqamiz.
nuqta
funksiyaning statsionar nuqtasi boʻlsin.
stаtsiоnаr nuqtа lokal ekstrеmаl nuqtа boʻlishi uchun shu nuqtаdа
quyidаgi
mаtritsаning (Gesse matrisasi) ishorasi aniqlangan boʻlishi yetarli.
Agar
musbаt aniqlangan boʻlsa, u holda
nuqta minimum nuqta;
Agar
manfiy aniqlangan boʻlsa, u holda
nuqta maksimum
nuqta boʻladi.
Ishorasi aniqlangan matrisalar haqidagi ba’zi tushunchalarni keltirib oʻtamiz.
tartibli kvadrat
simmetrik matrisa berilgan boʻlsin.
matrisaning yuqori chap burchagidan boshlab hosil qilingan
quyidagi
tartibli minorlar, ya’ni
minorlar matrisaning bosh minorlari deyiladi.
matrisaning ketma-ket joylashgan bosh minorlari qat’iy musbat
sonlar ketma-ketligini tashkil qilganda va faqat shundagina, bu matrisa musbat
aniqlangan boʻladi.
Agar
matrisaning toq nomerda joylashgan bosh minorlariga mos
son manfiy juft nomerda joylashgan bosh minorlariga mos son musbat boʻlsa, u
holda
matrisa manfiy aniqlanganboʻladi.
)
4
;
1
(
0
M
0
2
A
0
X
( )
f X
0
X
2
0
2
0
2
0
2
1
1
2
1
2
0
2
0
2
0
0
2
2
1
2
2
2
0
2
0
2
0
2
1
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
f X
f X
f X
x
x x
x x
f X
f X
f X
H X
x x
x
x x
f X
f X
f X
x x
x x
x
0
H X
0
X
0
H X
0
X
n n
( )
ij
A
a
( )
ij
A
a
1, 2, ..., n
11
12
1
21
22
2
11
12
11
21
22
1
2
...
...
,
, ...,
...
...
...
...
...
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
( )
ij
A
a
( )
ij
A
a
( )
ij
A
a
93
13-misol.
Bеrilgаn funksiyagа ekstrеmаl qiymаt bеruvchi nuqtаlаr tоpilsin:
Yechish
. Funksiya ekstrеmumi mаvjudligining zаruriy shаrtiga asosan:
Bu
tеnglаmаlardаn tuzilgаn sistеmаning yеchimi
nuqtа
boʻlаdi. Demak,
statsionar nuqta.
Yetаrlilik shаrtining bаjаrilishini tеkshirish uchun
nuqtada Gеssе
mаtrisаsini tuzаmiz:
.
Bu mаtrisаning bоsh minоrlаri mоs rаvishdа -2, 4, -6. Dеmаk,
nuqtаdа
funksiya mаksimumgа erishаdi.
funksiya chegaralangan, yopiq toʻplamda aniqlangan va
uzluksiz boʻlsin. Funksiya toʻplamining har bir nuqtasida, uning ba’zi nuqtalaridan
tashqari, xususiy hosilalarga ega boʻlsin. Ushbu holda, toʻplamga tegishli
shunday
nuqta topiladiki, bu nuqtada
funksiya oʻzining eng katta (eng
kichik) qiymatiga erishadi. Funksiya toʻplamda oʻzining eng katta (eng kichik)
qiymatini nafaqat ichki
statsionar nuqtada balki xususiy hosilalaridan biri
mavjud boʻlmagan nuqtada, shu bilan birga toʻplamning chegarasida ham
erishishi mumkin.
Yuqoridagilarni e’tiborga olib,
funksiyaning berilgan toʻplamda
eng katta va eng kichik qiymatlarini topish jarayonini quyidagi ketma-ketlikda
amalga oshiriladi:
a)
toʻplamning
funksiya xususiy hosilalari mavjud boʻlmagan
nuqtalari aniqlanadi;
b) funksiyaning toʻplamga tegishli barcha statsionar nuqtalari
topiladi;
2
3
2
2
2
1
3
2
3
1
3
2
1
2
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
1
1
3
2
2
2
3
3
1 2
0,
2
0,
2
2
0.
f
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
0
1 2 4
, ,
2 3 3
X
0
1 2 4
, ,
2 3 3
X
0
X
0
2
0
0
0
2
1
0
1
2
H X
0
X
1
2
3
( ,
,
)
f x x x
( )
y
f X
V
V
0
X
( )
f X
V
0
X
V
( )
f X
V
V
( )
f X
( )
f X
V
94
c) barcha aniqlangan nuqtalarga va toʻplam chegarasida
funksiya
qiymatlari hisoblanadi va oʻzaro solishtiriladi. Ulardan eng kattasi (eng kichigi)
funksiyaning toʻplamda erishadigan eng katta (eng kichik) qiymati
hisoblanadi.
Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar
1.
Koʻp oʻzgaruvchili funksiya diffеrеnsiаli.
2.
Koʻp oʻzgaruvchili funksiyaning хususiy hоsilаsi.
3.
Koʻp oʻzgaruvchili funksiyani uzluksizligi.
4.
Koʻp oʻzgaruvchili funksiyaning toʻlа diffеrеnsiаli.
5.
Funksiyaning lokal ekstremumlari.
6.
Statsionar nuqta.
7.
Funksiyaning
0
M
nuqtadagi gradienti.
8.
Teylor formulasi.
9.
Koʻp oʻzgaruvchili funksiya ekstremumi.
10.
Koʻp oʻzgaruvchili funksiya ekstrеmumining zаruriy shаrti.
11.
Koʻp oʻzgaruvchili funksiya ekstrеmumining yеtаrli shаrti.
12.
Shartli ekstremum.
30-mavzu. Shartsiz va shartli ekstremum masalasi. Lagranj metodi
Reja:
30.1.
Shartli ekstremum masalasi.
30.2.
Lagranj koʻpaytuvchilari qoidasi.
30.3.
Lagranj koʻpaytuvchilarining iqtisodiy talqini.
Tayanch soʻz va iboralar:
minimum, maksimum, shartli ekstremum
masalasi, Lagranj koʻpaytuvchilari qoidasi.
Ma’lumki,
ishlab
chiqaruvchining
maqsadi maksimal foyda olishdir.
Iste’molchiga kelsak u oʻzining shaxsiy daromadini koʻpaytirishga harakat qiladi.
Shu sababli iste’molchi turli faktorlarni e’tiborga olgan holda sotib oladigan
mahsulotini tanlaydi. Iste’molchini qanoatlantiradigan sonni bilan belgilaymiz
va uni iste’molchining foydasi, deb ataymiz. Iste’molchining imkoniyatlar
chegaralanganligi sababli u sonni minimallashtirishga harakat qiladi.
Faraz qilaylik, ikki turdagi
mahsulotalr
boʻlib, iste’molchi birinchi
mahsulotdan miqdorda, ikkinchi mahsulotdan esa
miqdorda olsin. U holda
V
( )
f X
( )
f X
V
f
f
1
2
,
G G
1
x
2
x
95
iste’molchining foydasi
funksiya koʻrinishida ifodalanadi. Iste’molchi
olishi kerak boʻlgan mahsulotlar turi ortishi bilan funksiyada oʻzgaruvchilar
soni ham ortadi.
Biz shartli ekstremum masalasini yechish metodlari bilan tanishib chiqamiz.
Bunda:
• Resurslar va turli faktorlar bilan chegaralangan ishlab chiqaruvchi
faoliytani.
• Shaxsiy byudjetini ratsional taqsimlaydigan iste’molchi faoliyatini
optimallashtirish masalalari koʻriladi.
Shartli ekstremum masalasi quyidagicha qoʻyiladi:
(1)
(2)
Shartli ekstremum masalasi masalaning mumkin boʻlgan yechimlar toʻplami:
boʻsh toʻplam boʻlmagandagina ma’noga ega.
Koʻp hollarda (1)-(2) masalaning yechimi mavjudligini isbotlash uchun
uzluksiz funksiyaning minimumi haqidagi Veyershtrass teoremasidan foydalanish
yetarli hisoblanadi.
(1)-(2) masala global shartli ekstremum masalasi boʻlib, bu masala oʻz
ichiga shartsiz ekstremum masalasini ham oladi. Soddalik uchun shartli minimum
masalasini qaraymiz:
(3)
(4)
mаsаlаning yеchimini topish tаlаb qilinsin.
(3)-(4) masalani yechishning eng sodda klassik usuli noma’lumlarni
yoʻqotish usulidir. Bunda:
tenglamalar sistemasidan
ta noma’lumlarni, masalan,
noma’lumlar topilib
ta
funksiyani hosil qilamiz. Bu esa shartsiz minimum masalasidir:
(5)
1
2
( , )
f x x
f
min(max)
f X
0,
1,2,...,
i
g X
i
m
0
...,
,
0
,
0
:
2
1
X
g
X
g
X
g
X
K
m
min
f X
0,
1,2,...,
i
g X
i
m
m
i
X
g
i
,...,
2
,
1
,
0
m
1
1
1
2
2
1
1
,...,
,
,...,
,
...........................,
,...,
m
n
m
n
m
m
m
n
x
h x
x
x
h x
x
x
h x
x
n m
1
,....,
m
n
x
x
n
m
n
m
m
n
m
n
m
x
x
x
x
h
x
x
h
f
x
x
,...,
,
,...,
,...,.
,...,
,...,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,...,
,...,
,...,.
,...,
,
,...,
min
m
n
m
n
m
m
n
m
n
x
x
f h x
x
h x
x
x
x
Do'stlaringiz bilan baham: |