Bilim
Ta’li
Ta’li
m sohasi:
im sohasi:
im yoʻnalis
OLIY V
T
“O
IQTIS
Matem
1
2
1
2
shlari:
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
О‘ZBEK
VA О‘RTA
TOSHKE
OLIY VA
SODCHIL
(1-semes
matik ana
100000
–
200000
–
110000
–
230000
–
111000 –
5
S
230200 –
230600 –
230700 –
230800 –
230900 –
231200 –
231300 –
231500 –
232000 –
1
KISTON R
A MAXSU
ENT MOL
AMALIY
KAFED
LAR UCH
str. 2-mod
aliz asosla
Toshkent
– Gumanita
– Ijtimoiy s
– Pedagogik
– Iqtisod
– Kasb ta’l
5230900 –
Sug‘urta ish
– Menejmen
– Moliya
– Bank ishi
– Soliqlar v
– Buxgalter
– Sug‘urta i
– Pensiya is
– Baholash
– Davlat bu
RESPUBL
US TA’LI
LIYA INS
Y MATEM
DRASI
HUN MA
dul. Ma’r
ari va uni
t – 2018
ar
oha, iqtisod
ka
imi (52306
– Buxgalter
hi)
nt (xizmatla
va soliqqa to
riya hisobi v
ishi
shi
ishi
udjetining g‘
LIKASI
IM VAZI
STITUTI
MATIKA
ATEMAT
ruzalar
ing tatbiq
d va huquq
600 – Moliy
riya hisobi
ar sohasi)
ortish
va audit (tar
‘azna ijrosi
IRLIGI
A”
IKA
qlari)
ya, 5230700
i va audit
rmoqlar boʻ
0 – Bank is
t, 5231200
yicha)
shi,
0 –
2
Oʻzbekiston Respublikasi Oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligining 201__
yil “__”.___dagi “__”-sonli buyrug‘ining __-ilovasi bilan fan dasturi roʻyxati
tasdiqlangan.
Oliy va oʻrta maxsus, kasb-hunar ta’limi yoʻnalishlari boʻyicha Oʻquv-
uslubiy birlashmalar faoliyatini Muvofiqlashtiruvchi Kengashining 201__ yil
“___”__________ dagi “____”-son bayonnomasi bilan ma’qullangan fan dasturi
asosida OʻUM ishlab chiqilgan.
OʻUM Toshkent moliya institutida ishlab chiqildi.
Tuzuvchilar: A.R.Xashimov
– Toshkent moliya instituti, “Oliy va amaliy
matematika” kafedrasi, dotsent, f.-m.f.n.;
G.Xujaniyozova – Toshkent moliya instituti, “Oliy va amaliy
matematika” kafedrasi, katta oʻqituvchi.
Taqrizchilar: O.X.Abdullaev
– Oʻzbekiston Milliy universiteti, “Differensial
tenglamalar va matematik fizika” kafedrasi,
dotsent, f.-m.f.n.;
I.N.Mamurov
– Toshkent moliya instituti, “Oliy va amaliy
matematika” kafedrasi, dotsent, f.-m.f.n.
OʻUM Toshkent moliya instituti Kengashida koʻrib chiqilgan va tavsiya
qilingan (201__ yil __ _________ ___-sonli bayonnoma).
3
19-mavzu.
n
fazoda nuqtalarning oʻzaro joylashishi.
Sonli ketma-ketlik
Reja:
19.1. Sonli ketma-ketlik.
19.2.
n -oʻlchovli fazoda nuqtalar ketma-ketligi haqida tushuncha.
Tаyanch soʻz va ibоrаlаr: n-oʻlchоvli nuqtаlаr оrаsidаgi mаsоfа, n-
oʻlchоvli nuqtааtrоfi, nuqtаning chеgаrаlаngаn toʻplаmi, nuqtаlаr toʻplаmining
ichki nuqtаsi, nuqtаlаr toʻplаmining chеgаrаviy nuqtаsi, nuqtаlаr toʻplаmi
chеgаrаsi, nuqtаlаr toʻplаmining quyuqlаnish nuqtаsi, yopiq nuqtаlаr toʻplаmi,
ochiq nuqtаlаr toʻplаmi, iхchаm (kоmpаkt) nuqtаlаr toʻplаmi, qаvаriq nuqtаlаr
toʻplаmi, n-oʻlchоvli nuqtаlаrning chiziqli qаvаriq kоmbinаtsiyasi, qаvаriq
nuqtаlаr toʻplаmining chеtki nuqtаsi. n-oʻlchоvli nuqtаlаr kеtmа-kеtligi, sоnli
kеtmа-kеtlik, nuqtаlаr kеtmа-kеtligining qism оsti kеtmа-kеtligi, nuqtаlаr kеtmа-
kеtligining limiti, sоnli kеtmа-kеtlik limiti, yaqinlаshuvchi kеtmа-kеtlik, chеksiz
kichik sоnli kеtmа-kеtlik, chеksiz kаttа sоnli kеtmа-kеtlik, mоnоtоn sоnli kеtmа-
kеtlik, mоnоtоn vа chеgаrаlаngаn sоnli kеtmа-kеtlik.
Qandaydir
X
toʻplam berilgan boʻlsin. N natural sonlar toʻplamini
X
toʻplamga har qanday
:
f N
X
akslantirish
X
toʻplam elementlari ketma-
ketligi deb ataladi.
:
f N
X
ketma-ketlik odatda { }
n
x yoki ,
n
x n N
,
koʻrinishda yoziladi. Bunda:
1
x
ketma-ketlikning birinchi hadi,
2
x
ketma-ketlikning ikkinchi hadi,
n
x
ketma-ketlikning n -hadi, deyiladi.
Masalan:
2
3
1
5
1,
,
,
N
2
3
n
n
n
n
x
n
y
z
n
n
n
sonli ketma-ketliklarni
ifodalaydi.
Agar
shunday
M
, ( )
m
soni mavjud boʻlib, ixtiyoriy n N
uchun
n
x
M
(
)
n
x
m
tengsizlik oʻrinli boʻlsa, u holda
n
x sonli ketma-ketlik yuqoridan
(quyidan) chegaralangan deyiladi. Agar { }
n
x sonli ketma-ketlik yuqoridan ham,
quyidan ham chegaralangan boʻlsa, bu ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.
Agar
ixtiyoriy
n
uchun
1
1
(
)
n
n
n
n
x
x
x
x
tengsizlik bajarilsa, u holda
{ }
n
x ketma-ketlik oʻsuvchi (kamaymaydigan) sonli ketma-ketlik deyiladi.
Kamayuvchi (oʻsmaydigan) ketma-ketliklar ham shunga oʻxshash ta’riflanadi.
Bunday ketma-ketliklar monoton deyiladi.
4
Agar
{ }
n
x ketma-ketlikning barcha elementlari faqat va faqat bitta C soniga
teng boʻlsa, u holda unioʻzgarmas deb atashadi. Masalan,
5
n
x
,
{ } {5,5, ,5, }
n
x
Sonli ketma-ketliklar rekurrent usulda ham beriladi. Bunda ketma-ketlikning
birinchi hadi va n -hadini oʻzidan oldingi hadlar orqali topish qoidasi beriladi:
1
(
)
n
n
x
f x
.
Shunday
qilib,
2
1
3
2
( ), ( )
x
f x
x
f x
va hakozo. Masalan,
1
1
2,
3
,
{2,5,8 }
n
n
n
x
x
x
x
.
Koʻrish mumkinki,
1
n
n
x
n
ketma-ketlikning hadlari n kattalashtirilganda 1
soniga yaqinlashadi. Bunday holda
1
n
n
x
n
ketma-ketlikning limiti 1 soniga
intiladi deyiladi.
1-ta’rif.
Agar ixtiyoriy
0
son uchun shunday N natural son topilib, barcha
n N
nomerlarda
|
|
n
x
a
tengsizlik bajarilsa, u holda a soni
n
x ketma-ketlikning limiti deyiladi.
Bu yerda keyinchalik ham
0
cheksiz kichik musbat son sifatida qabul qilingan.
Bu
limit
lim
n
n
x
a
yoki n da
n
x
a
koʻrinishda yoziladi.
Shuningdek,
n
x ketma-ketlik a soniga yaqinlashadi ham deyiladi. Masalan,
4
1
n
n
x
n
sonli ketma-ketlikda
4
lim
4
1
n
n
n
ekanligini ta’rif asosida
isbotlaymiz.
Haqiqatan
ham,
4
4
4
4
4
4
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
ifodani hosil qilamiz. Natijada, N sonining butun son ekanligini e’tiborga olib,
4
1
N
, deb olasak, natijada ixtiyoriy
0
uchun n N
shartni
qanoatlantiruvchi ixtiyoriy n uchun
4
4
1
n
n
boʻladi. Bu esa, aynan 4 soni
n
x
ketma-ketlikning limiti ekanligini anglatadi, ya’ni
4
lim
4
1
n
n
n
.
1
x
5
Agar sonli ketma-ketlik chekli limitga ega boʻlsa, u yaqinlashuvchi ketma-
ketlik deb ataladi. Masalan,
4
1
n
n
x
n
ketma-ketlik yaqinlashuvchi ketma-
ketlikdir.
Teorema.
Agar sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi boʻlsa, u holda uning limiti
yagonadir.
Teorema.
Yaqinlashuvchi sonli ketma-ketlik chegaralangan boʻladi.
Yaqinlashuvchi
ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega:
1)
{ }
n
x ketma-ketlik oʻzgarmas, ya’ni { }
n
x
c
boʻlsa, u holda lim{ }
;
n
n
x
c
2)
{ }
n
x va { }
n
y ketma-ketliklar yaqinlashuvchi boʻlib, m
oʻzgarmas son
boʻlsa, u holda: {
}, {
},
,{
},{
}
m
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
y
x y
mx
x
y
ketma-ketliklar ham
yaqinlashuvchi boʻladi va quyidagilar oʻrinli boʻladi:
a)
lim{
} lim{ } lim{ };
k
k
k
k
k
k
k
x
y
x
y
b)
lim{
} lim{ }lim{ };
k k
k
k
k
k
k
x y
x
y
c)
lim
lim
{ }
lim
, lim{ } 0;
{ }
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
x
y
y
y
d)
lim{
}
lim{ };
k
k
k
k
mx
m
x
e)
lim{ }
lim{ } ;
m
m
k
k
k
k
x
x
3)
Agar
k
k
x
y
boʻlsa, u holda lim
lim ;
k
k
k
k
x
y
4) Agar lim
, lim
k
k
k
k
x
a
y
a
va
k
k
k
x
z
y
boʻlsa, u holda lim
k
k
z
a
.
2-ta’rif.
Agar istalgan
0
son uchun
ga bog‘liq biror ( )
N
natural son topilib
( )
n N
boʻladigan barcha n natural sonlar uchun |
|
n
tengsizlik bajarilsa, u
holda { }
n
sonli ketma-ketlik cheksiz kichik sonli ketma-ketlik deyiladi.
Bu limit lim{ } 0
n
n
koʻrinishda yoziladi.
6
Shunday qilib, limiti nolga teng har qanday sonli ketma-ketlik cheksiz kichik
sonli ketma-ketlik deyiladi. Masalan,
2
1
4
,
4
1
n
n
n
sonli ketma-ketliklar
cheksiz kichik sonli ketma-ketliklardir chunki
2
1
4
lim
0, lim
0.
4
1
n
n
n
n
n
1-mashq.
Cheksiz kichik sonli ketma-ketlik ta’rifidan foydalanib,
1
lim
n
n
ketma-ketlik cheksiz kichik sonli ketma-ketlik ekanligini isbotlang.
Odatda, ketma-ketlik limitini aniqlashda cheksiz kichik sonli ketma-
ketlikdan foydalaniladi. Masalan, { }
n
x sonli ketma-ketlik limiti a ga teng boʻlishi,
uchun shunday cheksiz kichik { }
n
ketma-ketlik mavjud boʻlib,
n
n
x
a
boʻlishi zarur va yetarli.
Cheksiz kichik sonli ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega:
1)
Agar { }
n
va{ }
n
cheksiz kichik sonli ketma-ketliklar boʻlsa, u holda
ularning yig‘indisi yoki ayirmasidan tuzilgan {
}
n
n
ketma-ketliklar ham
cheksiz kichik sonli ketma-ketliklardir;
2)
{ }
n
cheksiz kichik sonli ketma-ketlik va { }
n
x chegaralangan sonli ketma-
ketlik boʻlsa, ularning mos hadlari koʻpaytmasidan tuzilgan {
}
n n
x
ketma-ketlik
ham cheksiz kichik sonli ketma-ketlikdir;
3)
Chekli sondagi cheksiz kichik sonli ketma-ketliklarning koʻpaytmalari ham
cheksiz kichik sonli ketma-ketlikdir.
3-ta’rif.
Agar ixtiyoriy
0
A
son uchun { }
n
sonli ketma-ketlikning shunday bir
( )
N A
(
A
ga bog‘liq) tartib raqamini tanlash mumkin boʻlib, barcha
( )
n N A
tartib raqamli hadlari uchun |
|
n
A
tengsizlik oʻrinli boʻlsa, u holda { }
n
sonli
ketma-ketlik cheksiz katta sonli ketma-ketlik deyiladi.
Cheksiz katta sonli ketma-ketliklar limiti
ga teng.
Masalan,
2
3
2
2
,
10
1
10
10
1
n
n
n
n
n
ketma-ketliklar cheksiz katta sonli
ketma-ketliklarga misol boʻlaoladi, chunki ularning limiti, mos ravishda, va
ga teng.
Cheksiz katta sonli ketma-ketliklar uchun quyidagi xossalar oʻrinli:
1)
Har qanday cheksiz katta sonli ketma-ketlik chegaralanmagandir;
7
2)
1
k
ketma-ketlik cheksiz kichik sonli ketma-ketlik boʻlgandagina,
{ },(
0)
n
n
ketma-ketlik cheksiz katta sonli ketma-ketlik boʻladi.
4-ta’rif.
Agar ixtiyoriy
0
son uchun shunday N nomer mavjud boʻlibhar
qanday n N
va n p N
(
1)
p
nomerlar uchun |
|
n p
p
x
x
tengsizlik
bajarilsa, u holda { }
n
x sonli ketma-ketlik fundamental ketma-ketlik deyiladi.
Agar sonli ketma-ketlik chekli limitga ega boʻlsa, u holda bu ketma-ketlik
fundamental boʻladi.
Agar sonli ketma-ketlik fundamental boʻlsa, u holda u chegaralangan
boʻladi.
Veyershtrass teoremasi.
Agar sonli ketma-ketlik monoton oʻsuvchi (kamayuvchi)
boʻlib u yuqoridan (quyidan) chegaralangan boʻlsa, u holda bu sonli ketma-ketlik
yaqinlashuvchi boʻladi.
Masalan,
1
{ }
1
n
n
x
n
sonli ketma-ketlik monoton oʻsuvchi va
chegaralanganligi uchun yaqinlashuvchidir. Ketma-ketlik limiti irratsional
soniga teng:
1
lim 1
(
2,718 ).
n
n
e
e
n
e
soni uzluksiz toʻlovli murakkab foiz, kapital qoʻyilmalarining
samaradorligini baholash va hakozo masalalarida qoʻllaniladi.
Fаrаz qilаmiz, omonаtchi bankda n yil muddаtgа
soʻm miqdoridа
jаmg‘аrmа omonаtini ochdi. Bаnk foizlаrining stаvkаsi esа bugungi kundа omonаt
pulining foizini tаshkil qilаdi. U holdа n yildаn soʻng omonаtchining hisobidаgi
pullаr miqdori
(murаkkаb foizlаr formulаsi) ni tashkil qiladi.
Bu
formulаdаn koʻrinib turibdiki, omonаtning dаstlаbki pulining murаkkаb
foizlаr boʻyichа oʻsishi – bu birinchi hаdi ,
mаxrаji esа boʻlgаn
gеomеtrik progrеssiya
qonunlаri boʻyichа rivojlаnuvchi jаrаyon.
1-misol.
0
S dаstlаbki dеpozit bаnkkа
%
100
i
yillik foiz stаvkаsi bilаn
qoʻyilgаn boʻlsin, bir yildаn soʻng dеpozit miqdori
0
2S ni tаshkil etаdi. Fаrаz
e
0
S
i
n
n
i
S
S
100
1
0
0
S
100
1
i
8
qilаmizki yarim yildаn soʻng hisob
0
2
0
1
2
3
2
1
1
S
S
S
nаtijа bilаn yopilаdi vа
bu summа yanа shu bаnkkа dеpozit sifаtidа qoʻyilаdi. Yil yakunidа dеpozit
0
2
0
2
25
,
2
2
1
1
S
S
S
ni tаshkil etаdi. Bаnkkа qoʻyilgаn dеpozitni uni olgаndаn
soʻng kеyin yanа qoʻyish shаrti bilаn qoʻyish vаqtini kаmаytirib borаmiz. Bu
opеrаtsiyalаr hаr kvаrtаldа
tаkrorlаngаndа yil soʻnggidа
dеpozit
0
3
0
3
37
,
2
3
1
1
S
S
S
ni tаshkil etаdi. Аgаr olishning qoʻyish opеrаtsiyasini yil
dаvomidа xoxlаgаnchа tаkrorlаsаk hаr oy mаnipulyatsiyalаr bir yildа
0
12
0
12
61
,
2
12
1
1
S
S
S
summаni tаshkil etаdi; hаr kungi bаnkkа tаshriflаr
0
365
0
365
714
,
2
365
1
1
S
S
S
; hаr soаtdаgidа
0
8720
0
8720
718
,
2
8720
1
1
S
S
S
vа hokаzoni tаshkil etаdi.
0
S
S
n
dаstlаbki omonаtning oʻsish qiymаtlаrining kеtmа-kеtligi murаkkаb
foizlаr formulаsigа
n
i
S
S
100
1
0
gа koʻrа
n
dа limiti e son boʻlgаn
kеtmа-kеtlik bilаn bir xil koʻrish qiyin emаs. Shundаy qilib foizlarning uzluksiz
hisoblanishidan kеlgаn dаromаd bir yildа
%
172
%
100
1
%
100
lim
0
0
e
S
S
S
n
n
ga teng.
Do'stlaringiz bilan baham: |