M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

42 
Marjinal mahsulot. 
 
Q С
 funksiya ishlаb chiqаrilgаn mаhsulot miqdorining 
С
 
hаrаjаtlаr kаttаligigа bog‘liqligini ifodаlаsin.
 
 nisbаt mаhsulotning 
 
hаjmdаgi hаrаjаtlаr kаttаligigа mos boʻlgаn oʻrtаchа kаttаligidir. 
 
hаrаjаtdа limit 
mаhsulot yoki mаrjinаl mаhsulot dеgаndа iqtisoddа quyidаgi limit tushunilаdi: 
 
C
Q
Q
C
MQ
C
rt
o
C








0
'
0
0
lim
lim
 
 5-misol.
   vaqtdagi ishlab chiqarish hajmi 
 formula 
yordamida bog‘langan boʻlsin. Mehnat unumdotligini: 
 
1) 5 vaqt birligiga mos;    
2) 10 vaqt birligiga mos aniqlang. 
 Yechish
. Bu masalaning yechimini topish uchun quyidagi ishlarni amalga 
oshiramiz: 
,   
;   
. 
 Mashqni 
bajaring
. 
 1) 
  vaqtdagi ishlab chiqarish hajmi 
 formula yordamida 
bog‘langan boʻlsin. 
 vaqtdagi mehnat unumdorligini aniqlang; 
 2) 
  vaqtdagi ishlab chiqarish hajmi 
 formula 
yordamida bog‘langan boʻlsin. 
 birligidagi mehnat unumdorligini aniqlang. 
Shunday qilib, mahsulotning limit qiymati, limit foyda, ishlab chiqarish limiti, 
samaradorlik limiti, talab limiti kabi kattaliklar hosila tushunchasi bilan uzviy 
bog‘liq. 
 Iqtisodiy 
nazariyada   
marjinal (limit) kattaliklarni 
 koʻrinishda 
belgilash qabul qilingan. Bu yerda 
 marjinal soʻzining birinchi harfini bildiradi 
va limit ma’nosini beradi. Yuqorida aniqlangan limit kattaliklar iqtisodiy 
qonuniyatlarni isbotlashda matematik apparatlardan foydalanish imkoniyatini 
beradi. Buni biz differensial hisobning iqtisodiy nazariyaga ba’zi tatbiqlari sifatida 
koʻrib chiqamiz. 
 
Agar firma 
 miqdorda mahsulot ishlab chiqarib uni   soʻmdan sotsa, u  
R
PQ

 
miqdordagi daromadga ega boʻladi. Firmadagi ishlab chiqarish hajmi 
 
miqdorga oʻzgarganda uning daromadi 
( )
dR Q
MR
dQ

 
 
 
 
 
(2) 
tezlik bilan oʻzgaradi. Bu holda 
 kattalik marjinal (limit) daromad deb ataladi. 
 6-misol. 
Firmaning daromadi  
2
100
2
R
Q
Q


 
C
Q


C

0
C
t
3
1
100
30
Q
t
t


2
1
100
10
u
t
 

2
1
(5) 100
5
97,5
10
u



2
1
(10) 100
10
90
10
u



t
2
3
100
12
Q
t
t


10
t

t
 
3
40
0,03
y x
x
x


15
x

( )
y x

( )
My x
M
Q
P
Q

MR

 
43 
funksiya koʻrinishida ifodalangan. Firmaning marjinal daromadini 
 uchun 
aniqlang. 
 Yechish.
 Yuqoridagi birinchi tenglikka asosan topamiz.  
( )
100 4
dR Q
MR
Q
dQ



100
4 15
40.
M R

 

 
Ishlab chiqarish hajmining oʻzgarishiga bog‘liq ravishda xarajat funksiyasining 
oʻzgarish tezligi marjinal (limit) xarajat deb ataladi va u quyidagi formula 
yordamida topiladi: 
( )
dC Q
MC
dQ

 
Oʻrtacha xarajat funksiyasi 
 
.
C Q
AC
Q

 
 7-misol
. Oʻrtacha xarajat funksiyasi 
 koʻrinishda 
berilgan. Marjinal xarajat funksiyasini toping. 
 Yechish. 
 
2
24
15 3
24 15
3 .
С Q
AC Q
Q Q
Q
Q
Q



 









 
( )
15 6 .
dC Q
MC
Q
dQ



 
 Funksiya 
elastikligi.
 Talab funksiyasini tahlil qilish jarayonida Al’fred 
Marshall tomonidan funksiya elastiklikligi tushunchasi kiritilgan. 
 
funksiya argumentiga 
 orttirma berilgan boʻlsin. U holda 
 
tenglik bilan aniqlanadigan kattlik 
 funksiyaning elastikligi deb ataladi. 
 Elastiklik   
oʻzgaruvchilarning nisbiy oʻzgarishi orasidagi 
proporsionallik koeffisiyentidir. Masalan,   ning qiymati bir foizga oʻzgarsa, u 
holda   ning qiymati taxminan 
 foizga oʻzgaradi. 
 Elastikligi 
oʻzgarmas boʻlgan ishlab chiqarish funksiyalarining nazariy va 
amaliy ahamiyati alohida oʻringa ega. Bu kabi funksiyalarga CES (Constant 
Elasticity Substitution)
 funksiyasi misol boʻla oladi: 
. 
Bu yerda elastiklik 
. 
15
Q

24
15 3 ,
AC
Q
Q



( )
y
f x

x

0
( ) lim
:
x
x
y
x
E y
y
x
 


 





( )
y
f x

,
y x
x
y
( )
x
E y




p
p
p
K
C
CL
C
y
/
1
0
1





1
1
1 p



 
44 
 
Mahsulotlarga talabning elastikligini toʻg‘ri aniqlash davlatga yangi soliqlar 
va aksizlarni kiritishda katta yordam beradi. Masalan, 
yuvilir mahsulotlarga 
qoʻyilgan aksiz, 
bu mahsulotlarga boʻlgan talab boʻlsin. Faraz qilamiz davlat 
bu mahsulotga qoʻyilgan aksizni 10% ga oshirishni moʻljallayotgan boʻlsin. Agar 
talab elastikligi 
 boʻlsa, u holda mahsulotga boʻlgan talab 
 kamayishini kutishimiz kerak boʻladi. Bu mahsulotni sotishdan 
davlat oladigan daromad 10% ga emas, balki 8% ga ortadi. 
 Elastiklikni 
oʻrganish natijasida aholi daromadining ortishi bozordagi 
vaziyaitning oʻzgarishini baholash mumkin. Masalan, ma’lumki goʻsht, yog‘ va 
tuxumlar uchun talab elastikligi aholi daromadiga nisbatan musbat, un uchun esa 
bu elastiklik manfiy. Demak, aholi daromadi oʻsishi bilan goʻsht, yog‘ va 
tuxumlarga boʻlgan talab ortadi, unga boʻlgan talab esa kamayadi. Aholi daromadi 
kamayishi bilan goʻsht, yog‘ va tuxumlarga boʻlgan talab kamayadi, unga boʻlgan 
talab esa ortadi. 
 8-misol.
Talab va taklif funksiyalari quyidagicha boʻlsin: 
. 
 
а) talab va taklif uchun muvozanat bahoni toping; 
 
b) muvozanat baho uchun talab va taklif funksiyalarining elastikligini 
toping. 
 Yechish. 
а) ; 
 
b) 
talab va 
taklif funksiyalarining elastiklarini quyidagicha 
topamiz: 
10
;
y
x

  


 

 

10
10
y
y x
x
y x
x
x
x
x
 
  


  

   
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y










10
:
10
:
, 
 
0
lim
10
10
x
x
x
x
E y
x
x
 




 






. 
3
6;
z
x

  

  


3
3
6
3
6
3
z z x
x
z x
x
x
x
x
 
  

   
  
 
3
3
:
:
3
6
3
6
z
x
x
x
x
z
x
x
x
x
 






, 
 
2
x
x
E z
x


. 
 
4
2
10 4
3
x
E y
 
 

,   
 
4
2
4 2
x
E z



. 
x

y

( )
0,2
x
E y
 
0,2 10% 2%


10
,
3
6
y
x
z
x




( )
( )
10
3
6
4
y x
z x
x
x
x


 
  
( )
x
E y

( )
x
E z


 
45 
Demak, muvozanat bahosining 1% ortishi talabning (2/3) % ga kamayishiga 
taklifning esa 2% ga ortishiga olib keladi. 
 Mashqni 
bajaring.
 Talab funksiyasining elastikligini toping: 
1) ; 
2) ; 
3) . 
 
Agar 
 funksiya   nuqtaning qandaydir  
atrofida 
aniqlangan 
boʻlib, uning 
 orttirmasini 
  
koʻrinishda tasvirlash mumkin boʻlsa, u holda 
 funksiya   nuqta 
differensiallanuvchi, 
 esa uning differensiali, deb ataladi. Bu yerda   
 ga 
bog‘liq emas, 
. 
 
Funksiya differensiali quyidagicha yoziladi: 
. 
 9-misol. 
 funksiya differensiallanuvchi. Haqiqatan ham 
. 
 
Teorema. 
 funksiya   nuqtada differensiallanuvchi boʻlishi uchun u bu 
nuqtada hosilaga ega boʻlishi zarur va yetarli. 
Agar funksiya 
 intervalning har bir nuqtasida differensiallanuvchi boʻlsa, u 
holda bu funksiya 
 intervalda differensiallanuvchi boʻladi. 
 
 formulada 
 qoʻshiluvchi cheksiz kichik miqdor 
boʻlgan uchun bu formulani quyidagicha yozish mumkin: 
 
Bu formuladan taqribiy hisoblarda foydalanish mumkin. 
 10-misol. 
 funksiyaning 
 nuqtadagi qiymatini toping. 
 Yechish.
 Bu yerda 
, deb faraz qilamiz. U holda
,
,
, , . 
 
 nuqtada 
 funksiyaga oʻtkazilgan urinma, deb 
 
kesuvchining 
 nuqtasi 
 nuqtaga funksiya grafigi boʻylab ixtiyoriy ravishda 
yaqinlashishini qabul qilamiz. Bunda 
. 
5
100,
50
p
x
p



3
4
120,
2;
20
p
x
p
p




2
4
40,
2;
4
p
p
x
p
p
 



( )
y
f x

0
x

y

(
)
y A x
x
x

      
( )
y
f x

0
x
A x

A
x

0
lim (
)
0
x


 
 
,
( )
dy
Adx A
f x



2
y x



   
   
x
o
x
x
x
x
x
x
x
x
y















2
2
2
2
2
( )
y
f x

0
x
( , )
a b
( , )
a b
(
)
y A x
x
x

      
(
)
x
x

  
0
0
0
0
( )
(
)
( )
( ) .
y f x A x
f x
x
f x
f x
x


 
 
  


4
y
x

90

x
4
0
( )
,
81,
9
f x
x x
x


 
3
81
)
(
4
0


x
f
4
3
4
1
)
(
x
x
f



3
0
3
4
1
)
(


 x
f
12
1
3
90
4


083
,
3
90
4



0
0
, ( )
M x f x
( )
y
f x

MN
N
M
0
dx


 
46 
 
 
 qiymat 
 nuqtada 
 funksiyaga oʻtkazilgan 
urinmaning 
 burchak koeffisiyentini bildiradi. 
 
 nuqtada 
 funksiyaga oʻtkazilgan urinma tenglamasi 
quyidagi koʻrinishga ega boʻladi: 
. 
 11-misol. 
 nuqtada 
 funksiyaga oʻtkazilgan urinma 
tenglamasini tuzing. 
 Yechish. 
. 
Demak, urinma tenglamasi: 
. 
 
 12-misol. 
 nuqtada 
 funksiyaga oʻtkazilgan urinma 
tenglamasi  
boʻlgani uchun u vertikal toʻg‘ri chiziq boʻladi. 
 
 
 funksiyalar differensiallanuvchi boʻlib,  
boʻlsin. U 
holda quyidagi qoidalar oʻrinli: 
1) ; 
2) ; 
3)  
    
 
0
( )
f x


0
0
, ( )
M x f x
( )
y
f x

tg



0
0
, ( )
M x f x
( )
y
f x

 
 

0
0
0
y f x
f x x x




0
(4;2)
M
( )
f x
x

 
 
 
4
1
4
2
1
,
2
1
,
2
4
0
0







x
f
x
x
f
x
f


4
4
1
2



x
y
(0;0)
O
3
y
x

(0)
f 
 
( ),
( )
f x
g x
k
const

[ ( )
( )]
( )
( ), [ ( )
( )]
( )
( )
f x
g x
f x
g x d f x
g x
df x
dg x









[ ( )]
( ), ( ( ))
( )
kf x
kf x d kf x
kdf x




[ ( ) ( )]
( ) ( )
( ) ( ),
f x g x
f x g x
f x g x











( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ;
d f x g x
d f x g x
f x d g x



 
47 
4)  
 
    
 
 
Funksiyaning hosilasi va differensialini hisoblashda zarur boʻladigan 
elementar funksiyalarning hosilalari jadvalini keltiramiz: 
1)  
2)  
3)  
4)  
 
5)  
6)  
7)  
8)  
9)  
10)  
11)  
12)  
13)  
14)  
15)  
16)  
 13-misol. 
 funksiyaning hosilasini hisoblang. 
2
( )
( ) ( )
( ) ( )
,
( )
( )
f x
f x g x
f x g x
g x
g x















2
( )
( )
( )
( )
( )
;
( )
( )
d f x g x
f x d g x
f x
d
g x
g x








 
0,
.
C
C
const
 

 
1
1
,
,
0,
x
x
R x









 
1
1
,
,
n
n
x
nx
n N x R





 
1
ln ,
0,
1,
,
x
x
a
a
a
x R







 
1
,
.
x
x
e
e
x R





1
log
,
0,
1,
0.
ln
a
x
a
a
x
x a







1
ln
,
0.
x
x
x
 



1
sin
cos ,
.
x
x
x
R
 



1
cos
sin ,
.
x
x
x
R
  

 
2
1
,
,
.
cos
2
tg x
x
n n Z
x
 
 
 



2
1
,
,
.
sin
ctg x
x
n n Z
x

  




2
1
arcsin
,
1.
1
x
x
x
 




2
1
arccos
,
1.
1
x
x
x
  




1
2
1
,
.
1
arctg x
x R
x
 




1
2
1
,
.
1
arcctg x
x R
x
  




1
,
.
sh x
chx
x
R
 



1
,
.
ch x
shx x
R
 

 
1
2
1
,
.
th x
x R
ch x
 



2
1
,
0.
cth x
x
sh x
  

x
x
e
y
x
ln
4
3



 
48 
 Yechish.
 Bu yerda hosilalar jadvali va hosila olish qoidasidan foydalanamiz: 








3
2
3
3
2
2
4
12
ln
4
ln
4
ln
ln
ln
x
x
x
x
e
x
e
x
x
e
x
x
e
x
x
x
y
x
x








 

 
 14-misol. 
 funksiya hosilasi quyidagicha hisoblanadi: 
. 
Murakkab funksiyani differensiallash qoidasi bilan tanishib chiqamiz. 
 boʻlib, 
 funksiya   nuqtada 
 funksiya esa 
 nuqtada differensiallanuvchi boʻlsin. U holda 
 
murakkab funksiya ham   nuqtada differensiallanuvchi boʻladi va u quyidagicha 
hisoblanadi: 
,  
U holda 
. Bu yerda 
. Bu birinchi 
differensialning invariantligi deyiladi, ya’ni murakkab funksiyada ham differensial 
oʻz formasini saqlab qoladi. 
 15-misol. 
 funksiyaning hosilasi quyidagicha hisoblanadi: 




5
5
cos 2
5
cos 2
4
3
ln 3 cos 2
3
ln 3 5 cos 2
cos 2
x
x
y
x
x
x


 



 

 
5
5
cos 2
4
4
cos 2
5 ln 3 3
cos 2
sin 2
2
10 ln 3 sin 2 cos 2
3
.
x
x
x
x
x
x
x




 


 
 16-misol. 
4
6
y tg x

 funksiyaning hosilasi quyidagicha hisoblanadi: 
3
3
2
5
6
24sin 6
4
6
.
cos 6
cos 6
x
y
tg x
x
x
 

 
 
Agar 
 funksiyaga teskari funksiya uzluksiz va 
differensiallanuvchi boʻlsa, u holda   hosila ham mavjud boʻladi: 
. 
 
Masalan, 
 funksiyaga teskari funksiya 
. 
Uning hosilasi: 
. 
 
Faraz qilamiz 
 funksiya parametrik 
 
koʻrinishda berilgan boʻlsin. Agar 
 funksiyalar 
x
y a arctgx

 


2
ln
1
x
x
x
x
a
y
a
arctg x a arctg x
a
a arctg x
x


 






( ),
( )
u g x
y
f u


( )
u g x

0
x
( )
y
f u

0
0
( )
u
g x

( )
( ( ))
y F x
f g x


0
x
dx
du
du
dy
dx
dy


     
0
0
0
.
x
f u g x




 
 
0
0
dy
x dx f u du




0
( )
du g x dx


5
cos 2
3
x
y

( ) (
)
y
f x
a x b

 
y
x
х
у
у
х



1


0,
1,
0
х
у а а
а
y




log
a
x
y



 
1
1
1
1
log
ln
ln
y
a
x
x
x
x
x
y
y
a
a
y
a
a

 






( )
y
f x

( ),
( ),
x
t
t
y
t






 
 

( ),
( )
x
t
y
t



