M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

 
1-teorema.
 Agar 
( )
u
x


 funksiya 
0
x  nuqtada, 
( )
y
f u

 funksiya esa 
0
0
( )
u
x


 
nuqtada uzluksiz boʻlsa, u holda 
( ( ))
y
f
x


 murakkab funksiya ham 
0
x  nuqtada 
uzluksiz boʻladi 

 
35 
 Funksiyaning 
nuqtada 
uzluksizligi shu nuqta atrofida argumentning cheksiz 
kichik orttirmasiga funksiyaning cheksiz kichik orttirmasi mos kelishidir. Masalan,
x
y
cos

 funksiya har bir 
1
0
x
R
 nuqtada uzluksiz, haqiqatan ham 
 


 
0
0
0
0
0
0
0
0
lim
lim
lim cos
cos
lim
2sin
sin
0.
2
2
x
x
x
x
y
f x
x
x
x
x
x
x






































 
 
Nuqtada uzluksiz funksiyalar ustida arifmetik amallar bajarish mumkin. 
Nuqtada uzluksiz boʻlgan funksiya shu nuqtaning kichik 

 atrofida chegaralangan 
boʻlib oʻz ishorasini saqlaydi. 
 
Agar funksiya 
V
 toʻplamning har bir nuqtasida uzluksiz boʻlsa, u holda bu 
funksiya 
V
 toʻplamda uzluksiz deyiladi. 
 Agar 
( )
f x  funksiya 
[ , ]
a b
 oraliqda uzluksiz boʻlsa, u holda bu funksiya shu 
oraliqda chegaralangan boʻladi va oʻzining eng katta va eng kichik qiymatlariga 
erishadi. 
 
Uzluksiz funksiyalar uchun ba’zi teoremalarni ketirib oʻtamiz. 
 
2-teorema. 
Agar ( )
f x  funksiya
[ , ]
a b
kesmada uzluksiz va kesmaning chetki 
nuqtalaridagi qiymatlari turli ishorali


( ) ( ) 0
f a f b
 boʻlsa, u holda kamida bitta 
shunday ( , )
c
a b

 nuqta topiladiki, bunda  ( ) 0
f c
 tenglik bajariladi. 
 
3-teorema. 
Agar ( )
f x funksiya 
[ , ]
a b
oraliqda uzluksiz va  ( )
( )
f a
f b

 boʻlsa, u 
holda ixtiyoriy  ( )
( )
f a
C
f b
 
 uchun shunday 
[ , ]
a b


son topiladiki bunda 
( )
f
C

  boʻladi. 
 
  ( )
y
f x

 funksiya 
0
x nuqtada uzluksiz boʻlishi uchun 
0
0
0
(
0)
( )
(
0)
f x
f x
f x



 tenglik bajarilishi shart.  
Masalan, 
1
2 ,
0,
( )
0,
0
x
x
f x
x


 


 funksiya 0 nuqtada chapdan uzluksiz, chunki 
1
0 0
0 0
lim ( )
lim 2
0
(0).
x
x
x
f x
f
 
 

 
 
 Nuqtada 
uzluksiz 
boʻlgan funksiyalarning xossalarini keltirb oʻtamiz. 
Nuqtada uzluksiz boʻlgan funksiyalarning ba’zi xossalarini  koʻrib chiqamiz. Bu 
xossalar limitga ega boʻlgan funksiyalarning xossalariga oʻxshab ketadi. 
 
1
o
. Agar  ( )
f x  funksiya 
0
x  nuqtada uzluksiz boʻlsa, u holda u 
0
x  nuqtaning 
biror atrofida chegaralangan boʻladi. 

 
36 
 
2
o
. Agar  ( )
f x  funksiya 
0
x  nuqtada uzluksiz va 
0
( )
f x
p
  (mos ravishda 
0
( )
f x
q
 ) boʻlsa, u holda 
0
x  nuqtaning biror atrofidagi barcha nuqtalarda 
0
( )
f x
p
  (mos ravishda 
0
( )
f x
q
 ) boʻladi. 
 
Endi esa segmentda uzluksiz boʻlgan funksiyalarning xossalarini keltiramiz. 
Uzluksiz funksiyalar mavzusini oʻrganishda  V  toʻplamni oraliq boʻlgan hol bilan 
tanishamiz. Biz quyida, asosan [a;b] segmentda uzluksiz boʻlgan funksiyalar bilan 
ish koʻramiz. Shuningdek, funksiya (a;b) intervalda uzluksiz, a nuqtada oʻngdan va 
b nuqtada chapdan uzluksiz deb qaraladi.  
 
4-teorema
 (Veyershtrassning birinchi teoremasi). Agar 
( )
y
f x

 funksiya [a;b] 
segmentda uzluksiz boʻlsa, u holda funksiya shu segmentda chegaralangan boʻladi. 
 
5-teorema.
 (Veyershtrassning ikkinchi teoremasi). Agar 
( )
y
f x

 funksiya [a;b] 
segmentda aniqlangan va uzluksiz boʻlsa, u holda funksiya shu segmentda oʻzining 
aniq quyi va aniq yuqori chegaralariga erishadi. 
 
6-ta’rif. 
Agar ( )
y
f x

 funksiya uchun
0
0
0
(
0)
( )
(
0)
f x
f x
f x



  shartning 
bittasi bajarilmasa yoki u 
0
x  nuqtada aniqlanmagan boʻlsa, u holda 
0
x  nuqta 
( )
y
f x

 funksiyaning uzilish nuqtasi deyiladi. 
 
7-ta’rif. 
Agar ( )
y
f x

funksiya 
0
x  nuqtada chapdan va oʻngdan limitlari mavjud 
boʻlib, ular oʻzaro teng boʻlmasa, ya’ni
0
0
(
0)
(
0)
f x
f x



 boʻlsa, u holda 
0
x  
nuqta ( )
y
f x

 funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasideyiladi. 
 
8-ta’rif. 
Agar ( )
y
f x

funksiyaning 
0
x  nuqtada limiti mavjud, lekinbu limit 
funksiyaning 
0
x  nuqtada erishadigan 
0
0
( )
y
f x

 qiymatidan farq qilsa yoki
( )
y
f x

 funksiya 
0
x  nuqtada aniqlanmagan boʻlsa, u holda 
0
x  nuqta bartaraf 
etiladigan uzilish nuqta deb ataladi. 
 
9-ta’rif. 
Agar ( )
y
f x

funksiyaning 
0
x nuqtada chap yoki oʻng limitlarining hech 
boʻlmaganda bittasi mavjud boʻlmasa yoki cheksiz boʻlsa, u holda 
0
x  nuqta 
( )
y
f x

 funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi. 
 
 
0
0
(
0)
(
0)
f x
f x



 ayirma 
( )
y
f x

 funksiyaning 
0
x  nuqtadagi sakrashi 
deyiladi. 

 
37 
 Masalan, 
1
1
( )
1 2
x
f x


 funksiya 
0
x
  nuqtada birinchi tur uzilishga ega, 
chunki 
0 0
0
0 0
lim ( ) 1 0 lim ( )
lim ( )
x
x
x
f x
f x
f x
 

 
  

. 
 Masalan, 
sin
( )
x
f x
x

 funksiyaning 
0
x

 nuqtada limiti mavjud (1-ajoyib 
limit). Lekin, bu funksiya 
0
x

 nuqtada aniqlanmagan, birinchi tur uzilish nuqta. 
Bu uzilishni funksiyaga uning shu nuqtadagi limit qiymatini qoʻyish orqali 
yoʻqotish mumkin, ya’ni  
1
sin
,
0;
( )
1,
0.
x
x
f x
x
x



 



 
Bu funksiya barcha son oʻqida uzluksizdir. 
 
6-teorema.
 Agar  ( )
f x  funksiya V  oraliqda monoton funksiya boʻlsa, u holda u 
shu oraliqning istalgan nuqtasida uzluksiz boʻladi yoki faqat birinchi tur uzilishga 
(sakrashga) ega boʻladi. 
 
7-teorema.
 Agar  ( )
f x  funksiya V  oraliqda monoton boʻlib, uning qiymatlari 
toʻplami biror 
Y
 oraliqdan iborat boʻlsa, u holda  ( )
f x  funksiya V  oraliqda 
uzluksiz boʻladi. 
 
8-teorema.
 Agar 
( )
y
f x

 funksiya V  oraliqda uzluksiz va oʻsuvchi 
(kamayuvchi) boʻlsa, u holda funksiyaning qiymatlar toʻplami { ( ) :
}
Y
f x x V


 
da unga teskari funksiya mavjud boʻlib, u uzluksiz va oʻsuvchi (kamayuvchi) 
boʻladi. 
 
10-ta’rif.
 Agar 
0

   son uchun shunday 
0

  son mavjud boʻlib,  x
x




  
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha  ,
x x
V
   larda  ( )
( )
f x
f x




  tengsizlik 
bajarilsa, u holda  ( )
f x  funksiya V  oraliqda tekis uzluksiz deyiladi. 
 
9-teorema.
  (Kantor teoremasi). Agar  ( )
f x  funksiya [a;b] segmentda uzluksiz 
boʻlsa, u holda  ( )
f x  funksiya shu segmentda tekis uzluksiz boʻladi. 
 
11-ta’rif.
 




sup
( )
inf
( )
x V
x V
f x
f x



 ayirma  ( )
f x  funksiyaning V  toʻplamdagi 
tebranishi deyiladi va 

 orqali belgilanadi. 
 

 
38 
 Endi 
koʻp oʻzgaruvchili funksiya uzluksizligi bilan tanishib chiqzmiz. 
12-ta’rif.
 Agar  M V
  nuqtaning atrofida aniqlangan  ( )
f X  funksiya uchun 
lim
( )
( )
X
M
f X
f M


 tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda  ( )
f X  funksia 
M
 nuqtada 
uzluksiz deyiladi. 
 
13-ta’rif.
 Agar ixtiyoriy 
0

  son uchun
A
 nuqtaning biror bir 
( )
U M

 atrofi 
mavlud boʻlib, ixtiyoriy 
( )
X U M


 nuqtalat uchun 
 
 
f X
f M


  tengsizlik 
bajarilsa, u holda 
( )
y
f x

 funksiya 
M
 uqtada uzluksiz deyiladi. 
 
2
2
2
4
2
2
,
0,
( , )
0,
0
x y
agar x
y
f x y
x
y
agar
x y








 

 
funksiyaning )
0
,
0
(
 nuqtada uzilishga ega boʻlsa ham uning ixtiyoriy yoʻnalish 
boʻyicha uzluksiz ekanligini koʻrsatish mumkin. 
 
a) ikkita nuqtalar ketma-ketligini qurib olamiz: 
,....
2
,
1
,
1
,
1







k
k
k
X
k
 va 
,....
2
,
1
,
1
,
1
2








k
k
k
X
k
.. Bu yerda 
)
0
,
0
(
)
,
(

k
k
y
x
 va 
)
0
,
0
(
)
,
(



k
k
y
x
, u holda 
0
)
,
(
lim



k
k
k
y
x
f
 va 
1
)
,
(
lim





k
k
k
y
x
f
. 
 Demak, 
2
4
2
2
)
,
(
y
x
y
x
y
x
f


 funksiyaning 
)
0
,
0
(
)
,
(

y
x
 dagi limiti mavjud 
emas. 
 b) 
0

t
 boʻlsin. U holda 






2
4
2
2
sin
cos
cos
sin
2
)
sin
,
cos
(


t
t
t
t
f
. 
 Agar  0
sin


 boʻlsa, u holda 
0
)
sin
,
cos
(



t
t
f
. 0
sin


 boʻlsa ham 
0
)
sin
,
cos
(
lim
0





t
t
f
t
. Demak, funksiya ixtiyoriy yoʻnalish boʻyicha uzluksiz.  
 
Oʻz-oʻzini tеkshirish uchun sаvоllаr 
1.  Funksiyaning nuqtаdа uzluksizligining qаndаy tа’riflаrini bilаsiz? 
2.  Funksiya uzluksizligining tа’riflаri funksiya limiti mоs tа’riflаridаn fаrqli 
jihаtlаri nimаlаrdаn ibоrаt? 
3.  Nuqtаdа uzluksiz bir oʻzgаruvchili funksiyalаrgа misоllаr kеltiring? 
4.  Nuqtаdа uzluksiz funksiyalаrning qаndаy хоssаlаrini bilаsiz? 
5.  Bаrtаrаf etilishi mumkin uzilish nuqtаsi dеb, qаndаy nuqtаgааytilаdi? 

 
39 
6.  Bir oʻzgаruvchili funksiya uchun ikkinchi tur uzilish nuqtаsi dеb, qаndаy 
nuqtаgа аytilаdi? Misоllаr kеltiring? 
 
 
24-mavzu. Bir oʻzgaruvchili funksiya hosilasi va differensiali 
 
Reja:
 
24.1.  Hosila haqida tushuncha. 
24.2.  Hosilaning iqtisodiy ma’nosi. 
24.3.  Funksiya differensialli. 
24.4.  Hosilalning geometrik ma‘nosi. 
24.5.  Hosila olish va differensiallash qoidalari. 
24.6.  Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar. 
 
 
Tayanch soʻz va iboralar: 
funksiyaning birinchi tаrtibli hоsilаsi,  bir 
tоmоnlаmа  hоsilаlаr,  diffеrеnsiаllаnuvchi funksiya,  funksiyaning birinchi tаrtibli 
diffеrеnsiаli,  toʻplаmdа diffеrеnsiаllаnuvchi funksiya,  toʻplаmdа uzluksiz 
diffеrеnsiаllаnuvchi funksiya,  ishlаb chiqаrish funksiyalаri, marjinal mаhsulоt, 
marjinal хаrаjаtlаr, elаstiklik kоeffisiyеnti. 
 
 
 funksiya 
 nuqtada va uning biror bir atrofida aniqlangan 
boʻlsin.   nuqtaga 
 orttirma berib funksiyaning 
 qiymatini 
topamiz. U holda 
 ifoda funksiya orttirmasi deb 
ataladi. 
 
1-ta’rif. 
Agar  
 
limit mavjud boʻlsa, u holda bu limit 
 funksiyaning   nuqtadagi hosilasi deb 
ataladi va quyidagicha belgilanadi: 
.                                           (1)
 
 
Funksiyaning   nuqtadagi hosilasini 
 koʻrinishlarda ham 
yozish mumkin. 
 1-misol. 
 funksiya barcha 
 nuqtalarda hosilaga ega. 
Haqiqatan ham 
( )
y
f x

0
x x

0
x
x

0
(
)
f x
x
 
0
0
(
)
( )
y
f
f x
x
f x
   
  
0
(
)
( )
lim
x
f x
x
f x
x
 
  

( )
f x
0
x
x
x
f
x
x
f
x
f
x








)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
0
x
0
0
( )
( ),
df x
f x
dx

2
( )
f x
x

x R


 
40 
 
 2-misol. 
 funksiya barcha 
 nuqtalarda hosilaga ega. 
Haqiqatan ham  
 
 3-misol. 
 
funksiya barcha 
 nuqtalarda hosilaga ega. 
Haqiqatan ham  
 
0
0
2sin
cos
sin(
) sin
2
2
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
f x
x
x
 
 







  








 
0
0
sin
2
lim
lim cos
cos .
2
2
x
x
x
x
x
x
x
 
 



















 
 
Mashqni bajaring. 
Quyidagi funksiyalarning hosilalarini hosila ta’rifiga 
asosan toping:  
1)  ( ) 5
2;
f x
x

    
2) 
( )
;
f x
x

  
 
3) 
1
( )
.
f x
x

 
Quyidagi ifodalar 
,      
 
mos ravishda 
 funksiyaning   nuqtadagi chap va oʻng hosilalari deb ataladi. 
 
Teorema. 
 funksiya uchun 
 nuqtada 
  
munosabat oʻrinli boʻlsa, u holda 
 funksiya 
 nuqtada uzluksiz 
hosilaga ega deyiladi. 
 
 4-misol. 
  finksiyaning 
 nuqtada bir tomonlama chekli 
hosilalari mavjud boʻlsa ham uning hosilasi mavjud emas. Chunki uning chap va 
oʻng hosilalari teng emas. Haqiqatan ham 
1
lim
lim
)
0
(
0
0

















x
x
x
y
f
x
x
, 
0
0
(0)
lim
lim
1
x
x
y
x
f
x
x

 
 








. 
 


   


2
2
2
0
0
0
2
lim
lim
lim 2
2 .
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
 
 
 
 

   




  


 
,
1
n
f x
x
n

 
x R

 
0
1
1
2
2
2
1
0
0
(
)
...
(
)
lim
lim
.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
C x
C x
x C x
x
x
x
x
x
f x
nx
x
x



 
 

 

 
 







 
sin
f x
x

x R

x
x
f
x
x
f
x
f
x










)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
x
x
f
x
x
f
x
f
x










)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
( )
f x
0
x
( )
y
f x

0
x x

0
0
0
( )
( )
( )
f x
f x
f
x







( )
y
f x

0
x x

x
x
f

)
(
0
0
x


 
41 
 
 Mashqni 
bajaring.
 
 
1) 
 funksiyaning 
 nuqtadagi bir tomonlama 
hosilalari mavjud emasligini isbotlang. 
 
2) 
 funksiyaning 
 nuqtadagi hosilasi mavjud emasligini 
isbotlang. 
 3) 
 
funksiyaning 
0
1
x
  nuqtadagi hosilasi mavjud emasligini 
isbotlang.  
 funksiya   nuqtada hosilaga ega boʻlsa, u holda funksiya shu nuqtada 
uzluksizdir. 
 
Shuni alohida ta’kidlashimiz kerakki, yuqoridagi teoremaning teskarisi har 
doim ham oʻrinli boʻlmaydi. Demak, uzluksiz funksiyaning hosilasi har doim ham 
mavjud emas. Bunga misol sifatida 4-misolni koʻrish mumkin. Chunki, 
 
funksiya barcha 
 nuqtalarda uzluksiz boʻlsa ham 
  nuqtada uning 
hosilasi mavjud emas. 
 
Hosilaning iqtisodiy ma’nosini misollarda koʻrib chiqamiz. 
 funksiya   
vаqt ichidа ishlаb chiqаrilgаn mаhsulot miqdorini ifodаlаsin.  
momеntdа mеhnаt 
unumdorligi topilsin. 
 
  dаn  
vаqt orаlig‘idа ishlаb chiqаrilgаn mаhsulot miqdori 
 
qiymаtdаn  
qiymаtgаchа  oʻzgаrаdi, ya’ni 
. U 
holdа mеhnаtning oʻrtаchа unumdorligi shu vаqt orаlig‘idа  
boʻlаdi.  
momеntdа mеhnаt unumdorligi dеgаndа,  
dа   dаn  
vаqt orаlig‘idа 
oʻrtаchа mеhnаt unumdorligining limit qiymаti tushunilаdi, ya’ni 
. 
 Shundаy qilib mеhnаt unumdorligi – bu mаhsulot hаjmining oʻsish 
tеzligidir. 
1
sin ,
0,
( )
0,
0,
x
x
f x
x
x



 



0
0
x

( )
3
f x
x
 
0
3
x
 
x
y
ln

( )
y
f x

0
x
y
x



,
x
  
0
x

( )
Q t
t
0
t
0
t
0
t
t
 
0
( )
Q t
0
(
)
Q t
t
 
0
0
(
)
( )
Q Q t
t
Q t
 
  
t
Q
u
rt
o



'
0
t
0
t
 
0
t
0
t
t
 
 
t
Q
Q
t
u
t
rt
o
t
o








0
'
0
lim
lim