M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

49 
differensiallanuvchi va 
 boʻlsa, u holda 
 mavjud boʻlib quyidagicha 
aniqlanadi: 
. 
 Masalan, 
3
cos ,
x a
t

3
sin ,
y b
t

 funksiya uchun 
 hosila quyidagicha 
hisoblanadi: 
. 
 
Oshkormas 
 funksiyada 
 hosilani topish uchun
 tenglamadan 
 hosila topib olinadi. 
 
Masalan, 
 funksiyadan 
 hosilani topish quyidagicha 
amalga oshiriladi: 
 
 funksiyaning yuqori tartibli hosilasi quyidagicha amalga oshiriladi:  
, , 
…. 
Bu yerda ham yuqoridagi qoidalar oʻrinli. Yuqori tartibli differensiallar 
quyidagicha aniqlanadi: 
 – ikkinchi tartibli differensial; 
 – uchinchi tartibli differensial; 
…………………………………………… 
 – n-tartibli differensial. 
 
Oʻz-oʻzini tеkshirish uchun sаvоllаr 
1.  Funksiya hosilasini ta’riflang. 
2.  Hosilaning iqtisodiy ma’nosi tushuntiring. 
3.  Yig‘indi va ayirmaning hosilasi qanday topiladi? 
4.  Koʻpaytmaning hosilasi qanday topiladi? 
5.  Boʻlinmaning hosilasi qanday topiladi? 
6.  Teskari funksiyaning hosilasi qanday topiladi?  
7.  Talab egiluvchanligini hisoblash formulasini keltiring. 
8.  Talabning aholi daromadiga nisbatan egiluvchanligini ta’riflang va topish 
formulasini yozing. 
9.  Marjinal daromad qanday ma’noga ega? 
( ) 0
t



x
y
 
 
t
x
t
t
y
y
x
t




 



x
y
2
2
3 sin cos
,
,
3 cos sin
2
t
x
t
y
b
t
t
b
k
y
tgt t
k Z
x
a
t
t
a


 
 
 



( , ) 0
F x y

x
y


( , )
0
( , )
( , )
0
x
y
x
x
F x y
F x y
F x y y


 


x
y
0
arctgy y x
  
x
y
 
 
 
2
2
1 0
1
.
1
f x
f x
y
f x
y
y






   
 

( )
y
f x

2
2
( )
d y
dy dy
y
y
dx
dx dx



 







3
2
3
2
( )
d y
dy d y
y
y
dx
dx dx



 







 
dy
d
y
d

2
 
y
d
d
y
d
2
3

 
y
d
d
y
d
n
n
1



 
50 
10.  Marjinal xarajat ishlab chiqarish hajmiga bog‘liq ravishda qanday 
funksiyaning oʻzgarish tezligini ifodalaydi? 
11.  Marjinal foyda qanday ma’noga ega? 
 
 
25-mavzu. Differensiallanuvchi funksiyalar va ular uchun  
asosiy teoremalar 
 
Reja:
 
25.1. Ferma teoremasi. 
25.2. Roll teoremasi. 
25.3. Lagranj teoremasi. 
25.4. Koshi teoremasi. 
25.5. Darbu teoremasi. 
 
 
Tаyanch soʻz va ibоrаlаr:
 diffеrеnsiаllаnuvchi funksiya uchun oʻrtа 
qiymаt, Ferma teoremasi, Roll teoremasi, Lagranj teoremasi, Koshi teoremasi, 
Darbu teoremasi. 
 
 
Biz quyida amaliy masalarni yechishda zarur boʻladigan differensiallanuvchi 
funksiyalar haqidagi ba’zi teoremalarni keltiramiz. 
 
Differensiallanuvchi funksiyalar oʻziga xos ahamiyatga ega, chunki koʻpgina 
tatbiqiy masalalarni yechish hosilasi mavjud funksiyalarni oʻrganishga keltiriladi. 
Bunday funksiyalar ba’zi bir umumiy xossalarga ega. Bu xossalar ichida oʻrta 
qiymat haqidagi teoremalar nomi bilan birlashgan teoremalar alohida ahamiyatga 
ega. Ushbu teoremalar [a;b] kesmada oʻrganilayotgan funksiya uchun u yoki bu 
xossaga ega boʻlgan [a;b] kesmaga tegishli c nuqtaning mavjudligini ta’kidlaydi. 
 
1-teorema (Ferma teoremasi).
 Agar f(x) funksiya (a,b) oraliqda aniqlangan va 
biror ichki c nuqtada eng katta (eng kichik) qiymatga erishsa va shu nuqtada chekli 
f’(c) hosila mavjud boʻlsa, u holda f’(c)=0 boʻladi. 
 
 Isboti
. f(c) funksiyaning eng katta qiymati boʻlsin, ya’ni 
x(a;b) da f(x) ≤ 
f(c) tengsizlik oʻrinli boʻlsin. Shartga koʻra bu c nuqtada chekli f’(c) hosila 
mavjud. Ravshanki, 
 
 
 
 
 
 
c
x
c
f
x
f
lim
c
x
c
f
x
f
lim
c
x
c
f
x
f
lim
)
c
(
'
f
c
x
c
x
c
x














0
0
 

 
51 
Ammo x 
 
0
0





)
c
(
'
f
c
x
c
f
x
f
 va x>c boʻlganda 
   
0
0





)
c
(
'
f
c
x
c
f
x
f
 boʻlishidan f’(c)=0 ekani kelib chiqadi.  
Eng kichik qiymat holi shunga oʻxshash isbotlanadi. 
 
Ferma teoremasi sodda geometrik ma’noga ega. U f(x) funksiya grafigiga 
(c;f(c)) nuqtada oʻtkazilgan urinmaning Ox oʻqiga paralell boʻlishini ifodalaydi (1-
rasm). 
 
 1-eslatma.
 Ichki c nuqtada f’(c)=0 boʻlsa ham bu nuqtada f(x) funksiya eng 
katta (eng kichik) qiymatni qabul qilmasligi mumkin. Masalan, f(x)=2x
3
-1, x
(-
1;1) da berilgan boʻlsin. Bu funksiya uchun f’(0)=0 boʻladi, lekin f(0)=-1 
funksiyaning (-1;1) dagi eng katta yoki eng kichik qiymati boʻlmaydi. 
 
2-teorema
 (Roll teoremasi). Agar  f(x) funksiya  [a;b] kesmada aniqlangan boʻlib, 
quyidagi  
 
1) [a;b] da uzluksiz; 
 
2) (a;b) da differensiallanuvchi; 
 
3) f(a)= f(b)  
shartlarni qanoatlantirsa, u holda f’(c)=0 boʻladigan kamida bitta c (amavjud boʻladi. 
 
 Isbot
. Ma’lumki, agar f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz boʻlsa, u holda 
funksiya shu kesmada oʻzining eng katta M va eng kichik m qiymatlariga erishadi. 
Qaralayotgan f(x) funksiya uchun ikki hol boʻlishi mumkin.  
 
1. M=m, bu holda [a,b] kesmada f(x)=const va f’(x)=0 boʻladi. Ravshanki, 
f’(c)=0 tenglamani qanoatlantiradigan nuqta sifatida 
s(a;b) ni olish mumkin. 
 
2. M>m, bu holda teoremaning f(a)=f(b) shartidan funksiya M yoki m 
qiymatlaridan kamida birini [a,b] kesmaning ichki nuqtasida qabul qilishi kelib 
chiqadi. Aniqlik uchun f(c)=m boʻlsin. Eng kichik qiymatning ta’rifiga koʻra 
x[a,b] uchun f(x) f(c) tengsizlik oʻrinli boʻladi. 
 
Endi f’(c)=0 ekanligini koʻrsatamiz. Teoremaning ikkinchi shartiga koʻra 
f(x) funksiya (a;b) intervalning har bir x nuqtasida chekli hosilaga ega. Bu shart, 

 
52 
xususan c nuqta uchun ham oʻrinli. Demak, Ferma teoremasi shartlari bajariladi. 
 
Bundan f’(c)=0 ekanligi kelib chiqadi.  
 f(c)=M 
boʻlgan holda teorema yuqoridagi kabi isbotlanadi. 
 
Roll teoremasiga quyidagicha geometrik talqin berish mumkin (2-rasm). 
 
 
Agar [a,b] kesmada uzluksiz, (a,b) intervalda differensiallanuvchi f(x) 
funksiya kesma uchlarida teng qiymatlar qabul qilsa, u holda f(x) funksiya 
grafigida abssissasi x=c boʻlgan shunday C nuqta topiladiki, shu nuqtada funksiya 
grafigiga oʻtkazilgan urinma abssissalar oʻqiga parallel boʻladi. 
 
2-eslatma
. Roll teoremasining shartlari yetarli boʻlib, zaruriy shart emas. 
Masalan, 1) f(x)=x
3
, x
[-1:1] funksiya uchun teoremaning 3-sharti bajarilmaydi. 
(f(-1)=-1
1=f(1)), lekin f’(0)=0 boʻladi. 
 2) 
, agar 0
1,
( )
0, agar 1
2,
2, agar
2
x
х
f x
x
x
 



 




 funksiya uchun Roll teoremasining barcha 
shartlari bajarilmaydi, lekin (1;2) intervalning ixtiyoriy nuqtasida f’(x)=0 boʻladi. 
 
3-teorema
 (Lagranj teoremasi). Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) 
da chekli f’(x) hosila mavjud boʻlsa, u holda (a,b) da kamida bitta shunday  c  
nuqta mavjud boʻlib,  
)
c
(
'
f
a
b
)
a
(
f
)
b
(
f



                                      (1) 
tenglik oʻrinli boʻladi. 
 
 Isbot
. Quyidagi yordamchi funksiyani tuzib olamiz: 


( )
( )
( )
( )
( )
f b
f a
x
f x
f a
x a
b a







 
Bu  ( )
x

 funksiyani [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) da hosilaga ega boʻlgan f(x) 
va x funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida qarash mumkin. Bundan 
( )
x

 funksiyaning [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) da hosilaga ega ekanligi kelib 
chiqadi. Shuningdek  

 
53 
( )
( ) 0
a
b

 
 , 
demak,  ( )
x

 funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi.  
 
Roll teoremasiga koʻra (a,b) intervalda kamida bitta shunday c nuqta mavjud 
boʻladiki, 
( )
c


=0 boʻladi. Shunday qilib, 
( )
( )
'( )
'( )
0
f b
f a
x
f x
b a






 
va bundan esa isbot qilinishi kerak boʻlgan (1) formula kelib chiqadi. Teorema 
isbot boʻldi. 
 
(1) formulani ba’zida Lagranj formulasi deb ham yuritiladi. Bu formula 
f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)                                   (2) 
koʻrinishda ham yoziladi. 
 
Endi Lagranj teoremasining geometrik ma’nosiga toʻxtalamiz. f(x) funksiya 
Lagranj teoremasining shartlarini qanoatlantirsin deylik (3-rasm). Funksiya 
grafigining A(a;f(a)), B(b;f(b)) nuqtalar orqali  kesuvchi oʻtkazamiz, uning 
burchak koeffisiyenti  
а
b
)
a
(
f
)
b
(
f
АС
ВС
tg





 
boʻladi.  
 
 
Hosilaning geometrik ma’nosiga binoan f’(c) – bu f(x) funksiya grafigiga 
uning (c;f(c)) nuqtasida oʻtkazilgan urinmaning burchak koeffisiyenti: tg
=f’(c) 
Demak, (1) formula (a,b) intervalda kamida bitta shunday c nuqta mavjudligini 
koʻrsatadiki, f(x) funksiya grafigiga (c;f(c)) nuqtada oʻtkazilgan urinma AB 
kesuvchiga paralell boʻladi. 
 
Isbot qilingan (1) formulani boshqacha koʻrinishda ham yozish mumkin. 
Buning uchun ac a
b a




 belgilash kiritamiz, u 
holda c=a+(b-a)
, 0<<1 boʻlishi ravshan. Natijada (1) formula ushbu  
f(b) - f(a) = f’(a+
(b-a))(b-a) 
koʻrinishga keladi.  

 
54 
 
Agar (1) formulada a=x
0
; b=x
0
+
x almashtirishlar bajarsak, u 
f(x
0
+
x)-f(x
0
)=f’(c)
x                                     (3) 
bu yerda x
0
 0
+
x, koʻrinishga keladi. Bu formula argument orttirmasi bilan 
funksiya orttirmasini bog‘laydi, shu sababli (3) formula chekli orttirmalar 
formulasi deb ataladi. 
 
Agar (1) Lagranj formulasida f(a)=f(b) deb olsak, Roll teoremasi kelib 
chiqadi, ya’ni Roll teoremasi Lagranj teoremasining xususiy holi ekan. 
 1-misol.
 Ushbu [0,2] kesmada f(x)=4x
3
-5x
2
+x-2 funksiya uchun Lagranj 
formulasidagi c ning qiymatini toping. 
 Yechish.
 Funksiyaning kesma uchlaridagi qiymatlarini va hosilasini 
hisoblaymiz: f(0)=-2; f(2)=12; f’(x)=12x
2
-10x+1. Olingan natijalarni Lagranj 
formulasiga qoʻyamiz, natijada  
12-(-2)=( 12c
2
-10c+1)(2-0)  yoki  6c
2
-5c-3=0 
kvadrat tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani yechamiz: c
1,2
=
12
97
5

. 
Topilgan ildizlardan faqat 
12
97
5

 qaralayotgan kesmaga tegishli. Demak, c=
12
97
5

 ekan. 
 
Lagranj teoremasi oʻz navbatida quyidagi teoremaning xususiy holi boʻladi.  
 
4-teorema (Koshi teoremasi).
 Agar [a,b] kesmada f(x) va g(x) berilgan boʻlib,  
 
1) [a,b] da uzluksiz; 
 
2) (a,b) intervalda f’(x) va g‘(x) mavjud, hamda g‘(x)
0 boʻlsa, u holda hech 
boʻlmaganda bitta shunday c (a)
c
(
'
g
)
c
(
'
f
)
a
(
g
)
b
(
g
)
a
(
f
)
b
(
f



                                           (4) 
tenglik oʻrinli boʻladi.  
 
 Isbot.
 Ravshanki, (4) tenglik ma’noga ega boʻlishi uchun g(b)
g(a) boʻlishi 
kerak. Bu esa teoremadagi g‘(x)
0, x(a;b) shartdan kelib chiqadi. Haqiqatdan 
ham, agar g(a)=g(b) boʻlsa, u holda g(x) funksiya Roll teoremasining barcha 
shartlarini qanoatlantirib, biror c
(a;b) nuqtada g‘(c)=0 boʻlar edi. Bu esa 
x(a;b) da g‘(x)0 shartga ziddir. Demak, g(b)g(a). 
Endi yordamchi 


)
a
(
g
)
x
(
g
)
a
(
g
)
b
(
g
)
a
(
f
)
b
(
f
)
a
(
f
)
x
(
f
)
x
(
Ф






 

 
55 
funksiyani tuzaylik. 
 Shartga 
koʻra f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] da uzluksiz va (a,b) intervalda 
differensiyalanuvchi boʻlgani uchun F(x) birinchidan [a,b] kesmada uzluksiz 
funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida  uzluksiz, ikkinchidan (a,b) 
intervalda  
 
)
x
(
'
g
)
a
(
g
)
b
(
g
)
a
(
)
b
(
f
x
f
)
x
(
'
Ф





 
hosilaga ega. 
 Soʻngra F(x) funksiyaning x=a va x=b nuqtalardagi qiymatlarini 
hisoblaymiz: F(a)
F(b)0. Demak, F(x) funksiya [a,b] kesmada Roll 
teoremasiinng barcha shartlarini qanoailantiradi. Shuning uchun hech boʻlmaganda 
bitta shunday c (a0 boʻladi. Shunday qilib, 
)
c
(
'
g
)
a
(
g
)
b
(
g
)
a
(
f
)
b
(
f
)
c
(
'
f
)
c
(
'
Ф





0
 
va bundan (4) tenglikning oʻrinli ekani kelib chiqadi. Isbot tugadi. 
 
Isbotlangan (4) tenglik Koshi formulasi deb ham ataladi. 
 
Endi Koshi teoremasining geometrik ma’nosini aniqlaymiz. Aytaylik x=
(t), 
y=f(t), a
tb tekislikdagi chiziqning parametrik tenglamasi boʻlsin. Shuningdek 
chiziqda t=a ga mos keluvchi nuqtani A(
(a),f(a)), t=b ga mos keluvchi nuqtani 
B(
(b),f(b)) kabi belgilaylik. (4-rasm). 
 
 
U holda (4) formulaning chap qismi AB vatarning burchak koeffisiyentini, 
oʻng tomoni esa egri chiziqqa parametrning t=c qiymatiga mos keladigan nuqtasida 
oʻtkazilgan urinmaning burchak koeffisiyentini anglatadi. Demak, Koshi formulasi 
AB yoyning AB vatarga parallel boʻlgan urinmasining mavjudligini ta’kidlaydi 
ekan. 
 
2-misol.
 Ushbu f(x)=x
2
 va 
(x)=
x
 funksiyalar uchun [0,4] kesmada Koshi 
formulasini yozing va s ni toping. 

 
56 
 Yechish.
 Berilgan funksiyalarning kesma uchlaridagi qiymatlari va 
hosilalarini topamiz: f(0)=0, f(4)=16, 
(0)=0,  (4)=2; f’(x)=2x, ’(x)=
x
2
1
. 
Bulardan foydalanib Koshi formulasini yozamiz:  
с
с
2
1
2
0
2
0
16



, bundan  4s с =8  yoki  s с =2.  Demak s=
3
4
. 
 
5-teorema (Darbu teoremasi).
 Agar f(x) funksiya biror oraliqda 
( )
f x

 hosilaga 
ega boʻlib, shu oraliqqa tegishli boʻlgan x=a, x=b nuqtalarda 
( )
( )
f a
A B
f b


  
 
boʻlsa, u holda bu oraliqda 
( )
f x

 funksiya A va B sonlar orasidagi barcha 
qiymatlarni qabul qiladi, ya’ni A va B sonlar orasidan olingan har qanday C soni 
uchun (a,b) intervalga tegishli boʻlgan kamida bitta c nuqta topilib, 
( )
f c
C


 
boʻladi. 
 
 Isbot.
 Avval teoremaning maxsus holini – A va B har xil ishorali boʻlgan 
holini isbotlaymiz. Aniqlik uchun A>0, B<0 boʻlsin. U holda (a,b) intervalga 
tegishli boʻlgan kamida bitta c nuqta topilib, 
( ) 0
f c


 boʻlishini isbotlashimiz 
lozim. 
 
Teorema shartiga koʻra f(x) funksiya [a;b] kesmada hosilaga ega, demak bu 
kesmada uzluksiz. U holda Veyershtrass teoremasiga koʻra f(x) funksiya [a;b] 
kesmaning kamida bitta c nuqtasida eng katta  qiymatiga erishadi. Bu nuqta a 
nuqtadan ham, b nuqtadan ham farqli. Haqiqatan ham,  
0
(
)
( )
( ) lim
0
x
f a
x
f a
A
f a
x
 
  





 
boʻlganligi sababli, argument orttirmasi absolyut qiymat jihatdan yetarlicha kichik 
boʻlganda 
(
)
( )
0
f a
x
f a
x
  


 tengsizlik oʻrinli boʻladi. Bundan 
0
x
   
boʻlganda f(a+
x)-f(a)>0 yoki  f(a+x)>f(a) munosabat oʻrinli. Demak, f(a) 
qiymat f(x) funksiya [a;b] kesmadagi eng katta qiymati boʻla olmaydi. Shunday 
qilib, a
c. 
 
Huddi shunga oʻxshash, 
0
(
)
( )
( ) lim
0
x
f b
x
f b
B
f b
x
 
  





 
munosabatdan foydalanib, c
b ekanligi isbotlanadi. 
 
Demak, a( ) 0
f c


 boʻladi. 

 
57 
 
Endi teoremani umumiy holda isbotlaymiz. Aytaylik A va B biri 
ikkinchisiga teng boʻlmagan sonlar boʻlsin. Aniqlik uchun A>B deb olamiz. 
A>C>B shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy C sonni tayinlab olamiz va ushbu 
( )
( )
F x
f x
Cx


 yordamchi funksiyani tuzamiz. F(x) funksiya ham f(x) funksiya 
kabi [a;b] kesmada hosilaga ega: 
( )
( )
F x
f x
C




. Shu hosilaning [a;b] kesma 
uchlaridagi qiymatlarini hisoblaymiz: 
( )
( )
0
F a
f a
C
A C



   
; 
( )
( )
0
F b
f b
C B C



   
. 
Demak, 
( )
F x

 hosila [a;b] kesma uchlarida turli ishorali qiymatlar qabul qiladi. U 
holda yuqorida isbotlaganimizga koʻra kamida bitta c (a( ) 0
F c


, ya’ni 
'( )
0
f c
C
 
 boʻladi. Bundan 
( )
f c
C


 kelib chiqadi. Teorema 
isbot boʻldi.