M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar 
1.
 
Sodda ratsional funksiyalarga misollar keltiring.  
2.
 
Qanday ratsional funksiya toʻg‘ri ratsional kasr, notoʻg‘ri ratsional kasr 
funksiya deyiladi? 
3.
 
Toʻg‘ri kasrni sodda kasrlarga yoyganda nima ishlar bajariladi? 
4.
 
Toʻg‘ri kasrni sodda kasrlarga yoyganda aniqmas koeffisiyentlarni topish 
qanday masalaga keltiriladi? 
5.
 
Ratsional funksiyaning integrali qanday funksiyalar orqali ifodalanadi? 
6.
 
Ratsional funksiyalarni integrallash algoritmini ayting. 
,
)
2
(
2
2
2
,
2
2
2
2
dt
a
t
b
a
c
bt
a
t
dx
a
t
b
c
t
x








 
143 
7.
 
,
m
ax b
R x
cx d








 funksiyalarni integrallashda qanday almashtirish bajariladi? 
8.
 
1
2
,
,
,...,
m
m
m
n
ax b
ax b
ax b
R x
cx d
cx d
cx d












 funksiyalarni integrallashda qanday 
almashtirish bajariladi? 
9.
 
Trigonometrik almashtirishlar yordamida 
2
( ,
)
R x ax
bx c dx


 integral 
qanday hisoblanadi? 
10.
 
Qanday Eyler almashtirishlarini bilasiz? 
 
 
35-mavzu. Aniq integral 
 
Reja:
 
35.1.
 
Riman yig‘indisi. 
35.2.
 
Aniq integralning geometrik va iqtisodiy ma’nolari. 
35.3.
 
Aniq integralning asosiy xossalari. 
35.4.
 
Aniq integralni hisoblash usullari. 
35.5.
 
Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash. 
35.6.
 
Yassi sirt yuzini hisoblash. 
35.7.
 
Aylanma jism hajmi va sirtini hisoblash. 
35.8.
 
Ma’lum vaqt oralig‘ida jamg‘arma bankiga tushgan pul miqdori. 
35.9.
 
Ma’lum vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi. 
35.10.
 
Moddiy harajatlarni prognozlashtirish. 
35.11.
 
Pul oqimini diskontlash masalasi.  
35.12.
 
Istе’molchilаrning ortiqchа foydаsi. Ishlаb chiqаruvchi (tа’minotchilаr)ning 
ortiqchа foydаsi. 
 
 
Tayanch soʻz va iboralar: 
integral yig‘indi, aniq integral, integral 
chegaralari, egri chizqli trapetsiya, Riman yig‘indasi, oʻrta qiymat, Nyuton-
Leybnits formulasi. yassi sirt, jism hajmi, yoy uzunligi, yuza, jism hajmi, aylanma 
jism sirti, yalpi daromad, umumiy xarajat va yalpi foyda funksiyalari, mahsulot 
hajmi, vaqtning ma’lum oralig‘ida jamg‘arma bankiga tushgan pul miqdori, 
moddiy harajatlarni prognozlashtirish, pul oqimini diskontlash masalasi. 
 
 
Aniq integral (Riman integrali) biror-bir intervalda aniqlangan funksiya 
grafigining egri chizig‘i va bu intervallardan hosil boʻlgan sohaning yuzini 
aniqlaydi. Masalan, 
( )
2
f x
x

 funksiyani 
[0;1]
 oraliqda qaraymiz.
 

 
144 
 
 Bu 
uchburchakning 
yuzi 
1
S

 ekanligi geometriyadan ma’lum. Biz bu misol 
yordamida 
( )
y
f x

 egri chiziqlar bilan chegaralangan sohalarning yuzini 
iteratsiya yordamida hisoblash uchun matematik usul bilan tanishamiz. 
 
Buning uchun biz birinchi navbatda 
( )
f x
 funksiya aniqlangan intervalni 
kichik kesmalarga ajratamiz. Ixtiyoriy 
[ , ]
a b
 kesmani kichik qismlarga ajratish 
quyidagicha amalga oshiriladi. 
 
b
a ;
 kesmaga tegishli 
0
1
2
...
n
a x
x
x
x
b
     
 
nuqtalardan foydalanib ixtiyoriy ravishda 
n
 ta qismiy kesmalar: 
0
1
1
2
1
[ , ], [ , ], ..., [
, ]
n
n
x x
x x
x x

 
hosil qilamiz. Bu yerda 
0
1
1
2
1
[ , ] [ , ] ... [
, ] [ , ]
n
n
x x
x x
x x
a b


 

. 
 
Kichik kesmalar uzunligini mos ravishda 
1
,
1,
i
i
i
x
x
i
n

  

 kabi belgilab 
olamiz. Bizning misolimizda 
0
1
2
[ , ] [0;1]
0
...
1
n
a b
a
x
x x
x
b

        
. 
Masalan, 
3
n

 boʻlib, 
0
1
2
3
0,
0.2,
0.7,
1
x
x
x
x




 boʻlsa, biz quyidagiga ega 
boʻlamiz. 
 
Demak, 
1
2
3
0.2,
0.5,
0.3
 
 
 
. 
 Ixtiyoriy 
1
[
, ]
i
i
i
x x



 nuqta olamiz. U holda 


1
1
1
( )
( )
n
n
i
i
i
i
i
i
i
S
f
x
x
f











   
 
(1) 
yig‘indi Riman yig‘indisi deb ataladi. 
 Bizning 
misolimizda 

 
145 
1
2
3
0.2,
0.6,
0.8
(0.2) 0.4, (0.6) 1.2, (0.8) 1.6
f
f
f










. 
U holda Riman integrali 
1
2
3
0.4 0,2 0.08,
1.2 0,5 0.6,
1.6 0,3 0.18,
A
A
A









 
1
2
3
1,16
S A A
A
   
. 
 
 Har 
bir 
1
[
, ]
i
i
i
x x



 nuqtalar ixtiyoriy boʻlgani uchun bu nuqtalarni 
shunday tanlash mumkinki Riman yig‘indisini tashkil etuvchi toʻg‘ri 
toʻrtburchaklar yig‘indisidan iborat yuza 
( )
f x
 egri chiziq va 
[ , ]
a b
 kesma bilan 
chegaralangan soha yuzidan 
( )
S
 katta 


max
S
, y’ani 
1
1
max
1
[
, ]
( )
( ),
[
, ]
( )
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
f
f x
x
x
x
S
f






 


 




 
yoki bu toʻg‘ri toʻrtburchaklar yig‘indisidan iborat yuza 
( )
f x
 egri chiziq va 
[ , ]
a b
 
kesma bilan chegeralangan soha yuzidan kichik 


min
S
, y’ani 
1
1
min
1
[
, ]
( )
( ),
[
, ]
( )
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
f
f x
x
x
x
S
f






 


 




 
boʻlishi mumkin. 
 Bizning 
misolimizda 
1
2
3
4
0,25
    
, deb olsak, u holda 
1
2
3
4
1
2
3
4
0,25
0,5,
0,75,
1,
0
0,25,
0,5,
0,75.

















 
max
0,5 0,25 1 0,25 1,5 0,25 2 0,25 1,25
S


 
 
 

,  
min
0 0,25 0,5 0,25 1 0,25 1,5 0,25 0,75
S
 


 



. 

 
146 
 
 
Bu topilgan 
min
S
 va 
max
S
 qiymatlar orasida shunday 
S

 qiymat borki 
min
max
,
S
S
S
S
S




 . Bizning misolimizda 
S

 qiymatni topish uchun 
1
,
0, 1, 2, ...,
i
i
n
n
 

, deb olamiz. U holda 
i
i
x
n
 , deb olib 
min
S
 va 
max
S
 
qiymatlarni hisoblaymiz: 
min
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
,
2
(
1)
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
S
f
i
n
n
n
n
n
n
n
n


















 
 
















, 
min
2
1
1
1
1
1
1
2
,
2
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
S
f
i
n
n
n
n
n
n
n
n







 
 
 


 
 
 
 




 
 



. 
Bu yerda 
1
1
(
1) 0 1 2 3 ... (
1)
2
n
i
n
i
n
n


      
 


, 
1
1
1 2 3 ...
2
n
i
n
i
n
n


     


. 
U holda 
min
2
2
1
(
1) 1
2
n
S
n
n
n

 
   , 
max
2
2
1
(
1) 1
2
n
S
n
n
n

 
   . 
min
max
1
1
1
1
lim
lim
1
n
n
S
S
S
S S
n
n




 
  

  
. 
 
[ , ]
a b
 kesmada aniqlangan 
( )
f x
 funksiya va 
L
 
 son berilgan boʻlsin. 
 
3-ta’rif. 
Har qanday kichik 
0


 son uchun shunday kichik musbat 


[ , ]
i
a b


  
 son topilsaki,
 
1
( )
n
i
i
i
f
L



  

 
tengsizlik oʻrinli boʻlsa, u holda 
( )
f x
 funksiya 
[ , ]
a b
 kesmada integrallanuvchi 
deyiladi. Bu yerda 
i
i


. 

 
147 
 
L  son esa 
)
( x
f
funksiyaning 
 
b
a ;
 kesmadagi aniq integrali, deb ataladi va 
quyidagicha yoziladi: 
( )
b
a
L
f x dx


. 
 Bu 
yerda, 
a
 integralning quyi, 
b
 integralning yuqori chegarasi deyiladi. 
Shunday qilib, aniq integralning ta’rifidan: 
max
0
1
( )
lim
( )
i
b
n
i
i
i
a
f x dx
f

 





   
 
 
(2) 
 
Ma’lum vaqt oralig‘ida jamg‘arma bankiga tushgan pul miqdori.
 
 
u f t

funksiya 
t

vaqtning har bir momentida jamg‘arma bankiga tushadigan 
pul miqdorini ifodalasin. 
 
0;T  vaqt oralig‘ida bankka tushgan pulning 
U
 
umumiy miqdorini topish talab etiladi.  
 Agar 
 
f t
const

 boʻlsa, u holda 
 
0;T  vaqt oralig‘ida jamg‘arma bankiga 
tushgan 
U
 pul miqdori 
  

 
0
U
f c
T
f c T




  formula bilan topiladi, bu 
yerda 
 
0;
c
T

. Agar 
0;
2
T






 vaqt oralig‘ining har bir momentida bankka 
 
1
f c  
pul birligi, 
;
2
T
T






 oraliqda vaqtning har bir momentida 
 
2
f c  pul birligi tushsa, u 
holda 
 
0;T  vaqt oralig‘ida tushgan umumiy pul miqdori 
 
 
1
2
2
2
T
T
U
f c
f c


 
formula boʻyicha hisoblanadi.  
 
 
f t  funksiya 
 
0;T  kesmada uzluksiz funksiya boʻlsin. 
0
1
2
1
0
...
n
n
t
t t
t
t
T

   
 
 nuqtalar yordamida 


T
;
0
 kesmani kichik vaqt 
oraliqlariga ajratamiz. 


1
,
i
i
t
t

 vaqt oralig‘ida bankka tushgan 
i
U

 pul miqdori 
taqriban 
 
i
i
U
f c
t
 
  formula bilan hisoblanadi. Bu yerda 


1
,
i
i
i
c
t
t


, 
1
,
1,2,3,...,
i
i
i
t t t
i
n

  

. U holda  
 
 
 
max
0
1
1
1
0
lim
.
i
T
n
n
n
i
i
i
i
i
t
i
i
i
U
U
f c
t
U
f c
t
U
f t dt
 






  
  




 
 
0
f t
  boʻlgani uchun 
 
0;T  vaqt oralig‘ida jamg‘arma bankiga tushgan 
umumiy pul miqdori son jihatidan 
 
,
0,
,
f t
t
t T Ot


 chiziqlar bilan 
chegaralangan figura yuziga teng.  

 
148 
 
Ma’lum vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi.
 
 
y f t

 
funksiya vaqt oʻtishi bilan biror ishlab chiqarishning unumdorligi oʻzgarishini 
ifodalasin. 
 
0;T  vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan 
Q
 mahsulot hajmini topamiz. 
 
0;T  kesmani 
0
1
2
1
0
...
n
n
t
t t
t
t
T

    
 
 nuqtalar yordamida vaqt 
oraliqlariga ajratamiz. 


1
,
i
i
t
t

 
vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan 
i
Q

 mahsulot 
hajmi taqriban 
 
i
i
Q
f c
t
 
  formula bilan hisoblanadi. Bu yerda 


1
,
i
i
i
c
t
t


, 
1
,
1,2,3,...,
i
i
i
t t t
i
n

  

. U holda  
 
 
 
max
0
1
1
1
0
lim
i
T
n
n
n
i
i
i
i
i
t
i
i
i
Q
Q
f c
t
Q
f c
t
Q
f t dt
 




 
  
  




. 
 
Aniq integralning asosiy xossalarini keltiramiz: 
1)
 
Aniq integralning chegaralari almashtirilsa, integralning ishorasi oʻzgaradi: 




b
a
a
b
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
. 
2)
 
( )
( )
( ) ,
b
c
b
a
a
c
f x dx
f x dx
f x dx





 
.
a c b
 
 
3)
 
Oʻzgarmas koʻpaytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish 
mumkin: 



b
a
b
a
dx
x
f
A
dx
x
Af
)
(
)
(
. 
4)
 
Chekli sondagi funksiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali 
qoʻshiluvchilar integrallarining yig‘indisiga teng: 
 
 
 
 
 
 
1
2
1
2
...
...
b
b
b
b
n
n
a
a
a
a
f x
f x
f x dx
f x dx
f x dx
f x dx

 


 








. 
5)
 
Agar 
)
( x
f
y

 funksiya 
 
b
a ;
 kesmada uzluksiz boʻlsa, u holda bu kesmada 
shunday 
c
 nuqta topiladiki, ushbu nuqtada 




b
a
c
f
a
b
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
 
tenglik bajariladi. Bu yerda 
( ; ).
c
a b

 
 Agar 
 
x
a;
 kesmada aniqlangan 
( )
f x
 funksiya berilgan boʻlsin. Bu yerda 
hosil boʻlgan soha egri chiziqli trapetsiya deb ataladi. Yuqoridagilardan ma’lumki 
bu sohaning yuzi 
( )
( )
x
a
S x
f x dx


 

 
149 
integral bilan aniqlanadi. 
)
( x
S
 funksiya 
)
( x
f
 funksiyaning boshlang‘ich 
funksiyasi boʻlishini, ya’ni 
)
(
)
(
'
x
f
x
S

 ekanligini koʻrsatamiz. 
 
)
(
)
(
x
S
h
x
S


 ayirmani qaraylik, bunda 
.
0

h
 Bu ayirma asosi 


;
x x h
  
boʻlgan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng. Agar 
h
 son kichik boʻlsa, u 
holda: 


( )
( )
S x h
S x
f x h



 . Demak, 
).
(
)
(
)
(
x
f
h
x
S
h
x
S



 
Bu munosabatda 
0

h
 limitga oʻtamiz: 
)
(
)
(
'
)
(
)
(
lim
0
x
f
x
S
h
x
S
h
x
S
h





 
tenglik hosil boʻladi.  
 
( )
f x
 funksiyaning istalgan boshqa 
)
( x
F
 boshlang‘ich funksiyasi 
)
( x
S
 
funksiyadan oʻzgarmas songa farq qiladi, ya’ni  
( )
( )
F x
S x
C

