M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

78 
Demak,  
toʻg‘ri chiziq funksiyaning og‘ma asimptotasi ekan. 
 Funksiyaning 
oʻsish, kamayish, qavariqlik oraliqlarini va burilish nuqtalarini 
aniqlash uchun uning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini hisoblaymiz: 
 
' 0
0,
3
y
x
x
  
 
 nuqtalar statsionar nuqtalardir. 
 nuqta ekstremum 
nuqta emas, chinki, 
. 
 nuqtada 
funksiya maksimumga erishadi, chunki 
 
 
Funksiya 
 oraliqda oʻsuvchi 
 oraliqda esa 
kamayuvchi ekanligini aniqladik. 
 Endi funksiyaning qavariqlik oraliqlarini aniqlaymiz 
. Demak, funksiya grafigi 
 oraliqda qavariqlik yuqoriga qaragan, 
 oraliqda esa 
qavariqlik pastga qaragan. 
 demak, 
 burilish nuqtasi. U holda 
funksiya grafigi quyidagi koʻrinishga ega boʻladi. 
 
 6-misol.
 
 funksiya grafigini chizamiz. Funksiya 
 da 
aniqlangan. Shu bilan bur qatorda 
. 
 toʻg‘ri chiziq uning og‘ma asimptotasidir. Hosilalarini hisoblaymiz: 
2
y x
 






2
3
4
3
6
'
,
''
1
1
x x
x
y
y
x
x





0
x

( 1;0)
( ) 0
(0; )
( ) 0
x
f x
x
f x


 



 

3
x
 
 
 
27
'' 3
0,
3
.
4
y
y
 
  

 

; 3
1;
    


3; 1
 
0 (
1)
0,
0
0
x
x
y
x
y



  

 


 

; 1
1;0
   


0;

0
0
y
x
   
0
x

3
2
3
x
x
y


1
R
1
0,
1 (
0)
0,
( 1)
(0) 0
x
y
x
x
y
y
y
   
 

 
 

3
1

 x
y

 
79 
, . 
Bu yerda 
. 
 nuqta funksiyaning maksimumi boʻlib, . 
 
funksiyaning 
munimumi boʻlib, . 
 
boʻlgani uchun uning qavariqligi bu 
oraliqda pastga qaragan; 
 boʻlgani uchun uning qavariqligi 
bu oraliqda yuqoriga qaragan. U holda funksiya grafigi quyidagi koʻrinishga ega 
boʻladi. 
 
 Mashqni 
bajaring. 
 
Quyidagi funksiyalarning grafigini chizing: 
 
1) 
;       2) 
;      3) 
;  
 
4) 
;         5) 
; 
 
6) 
;                 7) 
. 
 
Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar 
1.
 
Funksiya grаfigining аsimptоtаlаri. 
2.
 
Qavariq funksiyaning grafigi uning urinmasiga nisbatan qanday joylashgan? 
3.
 
Botiq funksiyaning grafigi uning urinmasiga nisbatan qanday joylashgan? 
4.
 
Asimptota qanday aniqlanadi? Uning geometrik ma’nosi nimadan iborat? 
5.
 
Og‘ma asimptotani ta’riflang. Gorizontal asimptota nima? 




2
3
1
3
1
3
1
3
2






x
x
x
y


3
4
3
5
1
9
2






x
x
y
 
 
 
 
















0
,
0
,
lim
1
1
f
f
x
y
f
x
3
2


x
3
4
3
2
3






 
y
0
x

(0) 0
y

1
0
x
y
  

1 (
0)
0
x
x
y
 



 
1
6
6
2
4




x
x
x
x
f
   
3
2
1


x
x
x
f
 
x
x
x
x
f
1


 
x
tgx
x
x
f
sin
2
3



 


3
9
3
4
1
2
3




x
x
x
x
f
 


2
2
2
4
x
x
x
f


 


3
2
1


x
x
x
f

 
80 
6.
 
Intervalda uzluksiz boʻlgan funksiyaning vertikal asimptotasi boʻlishi 
mumkinmi? cosx va ctgx funksiyalarni (0;
) intervalda qarang. 
7.
 
Hоsilа yordаmidа funksiyani toʻlа tеkshirish. 
 
 
29-mavzu. Koʻp oʻzgaruvchili funksiya differensiali. 
Xususiy hosilavayuqori tartibli differensiallar 
 
Reja:
 
29.1.
 
Funksiyasining xususiy hosilalari. 
29.2.
 
Funksiyaning toʻla orttirmasi. 
29.3.
 
Funksiyaning differensiallanuvchanligi. 
29.4.
 
Koʻp oʻzgaruvchili funksiya differensiali. 
29.5.
 
Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar. 
29.6.
 
Funksiyaning lokal ekstremumlari. Statsionar nuqta.  
29.7.
 
Funksiya ekstremumining zaruriy sharti.  
29.8.
 
Teylor formulasi. 
29.9.
 
Ikki oʻzgaruvchili funksiya ekstremumining yetarli sharti. 
29.10.
 
Koʻp oʻzgaruvchili funksiyaning toʻplamda eng katta va eng kichik 
qiymatlari. 
29.11.
 
Shartli ekstremumlar. 
 
 
Tayanch soʻz va iboralar:
 xususiy hosila, aralash hosila, funksiyaning toʻla 
orttirmasi, funksiyaning toʻla differensiali, toʻla differensialning invariantligi, 
yuqori tartibli xususiy hosila, aralash xususiy hosila, oshkormas funksiyaning 
hosilasi, lokal ekstremum, global ekstremum, statsionar nuqta, yuqori tartibli 
xususiy hosila, aralash xususiy hosila, Teylor qatori, gradient, minimum, 
maksimum.
 
 
 
 funksiya 
 nuqtaning biror bir 
 atrofida 
aniqlangan boʻlsin. 
 nuqtani qaraymiz.  
 
1-ta’rif. 
Agar 
0
0
(
)
(
)
lim
i
i
x
i
f M
f M
x

 


 limit chekli boʻlsa, u holda unga 
 
funksiyaning 
 nuqtadagi   oʻzgaruvchi boʻyicha xususiy hosilasi deyiladi.
 
 
 
 
( )
y
f M

0
0
0
0
1
2
( , ,..., )
n
M x x
x
0
(
)
U M

0
0
0
1
0
( ,...
,..., )
(
)
i
i
i
n
M
x
x
x
x
U M


 

)
(M
f
y

0
M
i
x

 
81 
 
Xususiy hosila quyidagicha belgilanadi:  
0
0
(
)
(
)
i
x
i
y M
y
M
x




,          
0
0
(
)
(
)
i
x
i
f M
f
M
x




. 
Shunday qilib,  
0
0
0
(
)
(
)
(
)
lim
i
i
x
i
i
f M
f M
f M
x
x

 





. 
 
Xususiy hosilaning ta’rifidan, 
  funksiyadan  
boʻyicha xususiy 
hosilani topishda boshqa oʻzgaruvchilarni oʻzgarmas, deb qarab, funksiyadan   
boʻyicha oddiy hosilasini topish yetarli. 
 
Agar funksiya ikki oʻzgaruvchili  
boʻlsa, xususiy hosilalar 
,
x
y
f
f

 koʻrinishda, agar funksiya uch oʻzgaruvchili  
boʻlsa, xususiy 
hosilalar 
,
,
x
y
z
f
f
f

  koʻrinishda belgilanadi. 
 1-misol. 
 
funksiyaning barcha 
oʻzgaruvchilari boʻyicha xususiy hosilalarini toping. 
 Yechish
.Ta’rifga binoan:  
4 2
4
10
3
x
f
x z
y
 

, 
3
12
7
y
f
xy
  
 , 
5
4
z
f
x z
 
. 
 2-misol. 
  funksiyaning 
  nuqtadagi xususiy 
hosilalarini toping. 
 Yechish
. 
2
2
4
( , )
( )
5
x
x
x
f x y
f M
x
y




 

, 
2
2
3
( , )
( )
5
y
y
y
f
x y
f M
x
y






 
 Mashqlarni 
bajaring.
 
 1)   funksiyaning xususiy hosilalarini toping: 
a) 
;  
b) 
;  
c) 
; 
  d) 
; 
 
e) 
; 
 
  k) 
; 
 2) 
Berilgannuqtadafunksiyahosilasinihisoblang: 
a)
, ; 
 
  b) 
, ; 
 
( )
y
f M

i
x
i
x
( , )
z
f x y

( , , )
u
f x y z

5 2
4
( , , ) 2
3
7
9
f x y z
x z
xy
y




2
2
( , )
f x y
x
y


( 4;3)
M

( , )
f x y
 


2
2
ln
,
y
x
y
x
y
x
f




 
xy
y
x
y
x
f
3
,
3
3



  

2
,
y
y
x
x
y
x
f


 
y
x
x
y
x
f
2
sin
,


 
x
y
y
x
y
x
f
cos
sin
,

 


y
x
x
e
y
x
f
x
sin
cos
,


 
2
,
y
x
y
x
f

 
1
,
1
 








y
x
y
x
f
1
ln
,
 
2
,
1

 
82 
c)
, . 
 3)  funksiyaningxususiyhosilalarinitoping: 
a) 
;    
b) 
;  
c) 
; 
  d) 
; 
e) . 
 Koʻp oʻzgaruvchili funksiyaning toʻla orttirmasini topishni 
 
funksiya misolida koʻrib chiqamiz. 
  funksiya 
 
nuqtaning biror bir 
 atrofida aniqlangan boʻlsin. 
 nuqtani qaraymiz. 
 
 ayirma 
 funksiyaning 
 nuqtadagi toʻla 
orttirmasi deb ataladi va quyidagicha yoziladi: 
 
 3-misol. 
 funksiyaning 
 nuqtadagi toʻla 
orttirmasini toping. 
 Yechish
. 
 
Funksiyaning 
  orttirmasidan foydalanib koʻp oʻzgaruvchili funksiyalar uchun 
toʻla differensial tushunchasini kiritamiz. 
  funksiya 
 
nuqta atrofida aniqlangan boʻlsin. 
 
2-ta’rif. 
Agar funksiyaning 
 
nuqtadagi 
toʻla orttirmasini  
           (1)
koʻrinishda ifoda etish mumkin boʻlsa, u holda 
funksiya 
 nuqtada 
differensiallanuvchi deyiladi. 
 
Bu yerda, 
 sonlar 
 orttirmalarga bog‘liq emas va
.  
 4-misol
. funksiya
nuqtada 
differensiallanuvchi 
ekanligini koʻrsatamiz.  
 Yechish
. Buning uchun uning 
 nuqtadagi toʻla orttirmasini 
hisoblaymiz: 
 
xy
xye
y
x
f

sin
,

 
1
,
1
( , )
f x y


zx
yz
xy
z
y
x
f



,
,


2
2
2
1
,
,
z
y
x
z
y
x
f





z
x
x
z
z
y
x
f


,
,


z
x
arctg
x
z
arctg
z
y
z
y
x
f



,
,


xy
z
z
y
x
f

,
,
( )
y
f M

( )
y
f M

0
0
0
0
1
2
( , ,..., )
n
M x x
x
0
(
)
U M

0
0
0
1
1
0
(
,...
,...,
)
(
)
i
i
n
n
M x
x
x
x
x
x
U M


 
 
 

 
0
)
(
M
f
M
f


)
(M
f
y

0
M
0
(
)
(
)
f
f M
f M

 

2
2
2
1
2
1
)
,
(
x
x
x
x
f


0
(1; 2)
M



 
2
2
2
2
0
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
(
) (1
)
2
1
2
1 2
4 4
1 4 2
4
.
f M
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x



  
   

 



                   
f

( )
y
f M

0
0
0
0
1
2
( , ,..., )
n
M x x
x
( )
y
f M

0
M
0
(
)
f M

0
1
1
2
2
1
1
(
)
...
(
) ...
(
)
n
n
n
n
f M
A x
A x
A x
x
x



       

 

( )
y
f M

0
M
1
2
,
, ...,
n
A A
A
1
, ...,
n
x
x


1
1
1
2
2
2
0
(
)
0,
0
(
)
0, ...,
0
(
)
0
n
n
n
x
x
x
x
x
x



  

   


  


2
2
( , )
f x y
x
y


0
( 1;2)
M

0
( 1;2)
M


 
83 
. 
Bu yerda 
. Demak funksiya 
differensiallanuvchi. 
 5-misol. 
-oʻzgaruvchili chiziqli  
 
funksiya 
 fazoning ixtiyoriy nuqtasida differensiallanuvchidir. 
 Mashqlarni 
bajaring.
  
 
1) 
 funksiya 
 nuqtada differensiallanuvchi 
ekanligini isbotlang. 
 
2) 
 funksiya 
 nuqtada differensiallanuvchi 
emasligini isbotlang.
 
 
Quyidagi mulohazalar oʻrinli: 
 
a) Agar funksiya biror bir 
 nuqtada differensiallanuvchi boʻlsa, u holda 
funksiya ushbu nuqtada uzluksiz boʻladi (zaruriy shart); 
 
b) Agar 
funksiya 
 nuqtada differensiallanuvchi boʻlsa, u holda 
funksiya ushbu nuqtada barcha xususiy hosilalarga ega boʻladi va shu bilan 
birgalikda quyidagi tenglik oʻrinli boʻladi: 
.    
(2) 
Bu yerda 
. 
 
c) Agar 
funksiya 
 nuqta atrofida barcha xususiy hosilalarga ega 
boʻlib, ushbu hosilalar 
 nuqtada uzluksiz boʻlsa, u holda 
 funksiya bu 
nuqtada differensiallanuvchi boʻladi (yetarli shart). 
 
3-ta’rif. 
 funksiya 
 nuqtada differensiallanuvchi boʻlsin.  
nuqtada 
 funksiya orttirmasining bosh chiziqli qismi uning 
 nuqtadagi 
toʻla differensiali, deyiladi va 
 kabi belgilanib quyidagicha yoziladi: 
 
 
 6-misol. 
3
2
( , , )
f x y z
x y
y z z


  funksiyaning 
 nuqtadagi 
differensialini topamiz. Buning uchun uning xususiy hosilalarini hisoblab olamiz: 
2
2
1
2
1
2
( )
2
4
( )
( )
( )
( )
f M
x
y
x
y
A x A y
x
y



      
 
    
 

2
2
1
2
1
2
2,
4,
( ) ( ) ,
(
) (
)
A
A
x
x
y
y


 

  
  
n




n
i
i
i
b
x
a
M
f
1
)
(
n
R
3
4
2
3
1
2
1
)
,
(
x
x
x
x
f


 
0
0; 0
X
3
3
2
3
1
2
1
)
,
(
x
x
x
x
f


 
0
0; 0
X
0
M
)
(M
f
0
M
0
0
0
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
...
(
) ...
(
)
n
n
n
n
f M
f M
f M
x
x
x
x
x
x






  
 

 



1
1
1
2
2
2
0
(
)
0,
0
(
)
0, ...,
0
(
)
0
n
n
n
x
x
x
x
x
x



  

   


  


)
(M
f
0
M
0
M
)
(M
f
( )
y
f M

0
M
0
M
( )
f M
0
M
)
(
0
M
df
0
0
0
1
1
(
)
(
)
(
)
...
n
n
f M
f M
df M
dx
dx
x
x



 




2; 1;
3
M


 
84 
2
3
2
( )
( )
( )
3
12,
2
2,
1 2
f M
f M
f M
x y
x
yz
y
x
y
z









 



 
.