M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

Mashqni bajaring.
 Quyidagi integrallarni toping:  
1)


;
tgx
ctgx dx


 2) 


3
3
sin
;
x
x dx


 3) 
3
2
1
4
;
1
x
dx
x









 4)
2
(2
3)
.
1
x
dx
x









 
 
Integral osti funksiyasi murakkab funksiyadan iborat boʻlsa, u holda 
integrallashning quyidagi asosiy qoidalaridan foydalanamiz:  

 
oʻzgaruvchini almashtirish qoidasi; 

 
boʻlaklab integrallash qoidasi. 
 
Aniqmas integralni hisoblashda oʻzgaruvchini almashtirish quyidagicha 
amalga oshiriladi: 

dx
x
f
)
(
 integralni oʻzgaruvchini alamashtirish qoidasi 
yordamida hisoblash kerak boʻlsin. 
x
 oʻzgaruvchini 
t
 erkli oʻzgaruvchining biror 
differensiallanuvchi funksiyasi orqali ifodalaymiz: 
 
,
t
x


 bu yerda 
)
( x
t


 
teskari funksiya mavjud boʻlsin, deb faraz qilinadi, u holda 
 
dx
t dt



 boʻlgani 
uchun 
 


 
( )
f x dx
f
t
t dt






.   
 
 
(5) 
 
2-misol.
 Integralni toping:  
1) 
;
1 2
xdx
x


 2) 
4
;
x
dx
x


 3) 
2
;
4
4
5
dx
x
x



4) 
2
25
;
x dx


 5) 
.
3 5cos
dx
x


 
Yechish.  
1)
 
 
1 2
t
x
 
almashtirish kiritamiz; bu yerdan 


2
1
;
4
t
x


 


2
1
.
4
t
dx
dt


 

 
125 






2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
2
4
4
4
1 2
1
1
1
1
1
1
2
ln
4
4
2
4
8
2 4
1 2
1 2
1
ln 1 2
.
8
2
4
t
t
dt
t
xdx
t
t
dt
dt
t
t
t
x
dt
t
t
t
dt
tdt
dt
t
C
t
t
x
x
x
C




 








 




 
 



















 
2)
 
2
4
t
x


 almashtirish kiritamiz, bu yerdan 
2
4;
2 ,
x t
dx
tdt
 

 
shuningdek, 
4.
t
x


  
2
2
2
2
2
2
2
4
4 4
4
2
2
2
2 1
4
4
4
4
1
2
4 2
2
8
2
8
ln
2
4 2ln
.
4
4
2
4 2
x
t
t dt
t
dx
tdt
dt
dt
x
t
t
t
t
dt
t
x
dt
t
C
x
C
t
t
x

 

















 



 
 
 



 







 
3)
 
2
2
2
1
1
2
4
5
5
4
4
5
4
4
dx
dx
dx
x
x
x x
x
x










 







  




 


2
2
2
0,25
1
1
1
0,5
arcsin
.
2
2
2
1,5
0,5
1,5
1,5
0,5
d x
dx
x
C
x
x






 

 


 
4)
 
5sin
x
t

 almashtirish kiritamiz, 
5cos
dx
tdt

 shuningdek 
;
2 2
 







oraliqda 
2
2
2
25
25 25sin
5 1 sin
5cos .
x
t
t
t






 
2
2
1 cos2
25
25
25
5cos 5cos
25 cos
25
cos2
2
2
2
t
x dx
t
tdt
tdt
dt
dt
tdt















 
25
25
sin 2
.
2
4
t
t C


  
Endi 
x
о‘zgaruvchiga qaytamiz: 
arcsin ,
5
x
t

 
2
25
sin2
2sin cos
2
.
5
5
x
x
t
t
t



 
2
2
25
25
25
arcsin
.
2
5
2
x x
x
x dx
C






 
5)
 
2
x
t tg

 u holda 
2
2
2
2
2
2
1
8 2
, 3 5cos
3 5
.
1
1
1
dt
t
t
dx
x
t
t
t




 




 

 
126 


2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
ln
ln
.
8 2
3 5cos
4
4
2
4
2
1
2
1
x
tg
dx
dt
dt
t
C
C
x
t
x
t
t
tg
t
t





 











 
Mashqni bajaring.
 Quyidagi integrallarni toping:  
1) 


(6
1)
7
;
tg
x
ctg x dx



        2)


3
3
sin(8
3)
;
x
x
dx



 
3) 
3
6
;
x
dx


             4) 
ln(7
3)
.
x
dx


 
 
Aniqmas integralda boʻlaklab integrallash quyidagicha amalga oshiriladi:  
Ma’lumki, 
uv
 koʻpaytmaning differensiali  
(
)
d uv
udv
vdu


   
 
 
 
 
(6) 
formula bilan hisoblanadi. (6) formulaning ikkala tomonini ham integrallaymiz. U 
holda 
(
)
d uv
udv
vdu
uv
vdu
udv
udv
uv
vdu















 (7) 
(7) boʻlaklab integrallash formulasi deyiladi. Bu yerda 
,
u
v

 differensiallanuvchi 
funksiyalar.  
 
(7) formulani aniqmas integralga qoʻllash uchun, integral ostidagi ifoda ikki 
qismga ajratiladi va birinchi qismini  ,
u  ikkinchi qismini esa 
dv
, deb olinadi. 
Soʻngra birinchi 
u
 ifodani differensiallab 
du
 ifodani, ikkinchi 
dv
 ifodani 
integrallab 

vdu
 integralni hosil qilamiz.  
 
3-misol.
 Integralni toping: 1) 
2
ln
;
x
xdx

 2)
cos
;
x
xdx

 3)
.
x
xe dx

 
 Yechish. 
1)
 

xdx
x ln
2
 koʻrinishdagi integrallarni hisoblashda 
dx
x
dv
x
u
2
,
ln


 belgilashlar kiritamiz. U holda, 
3
,
3
dx
x
du
v
x


 ifodalar hosil 
boʻladi. Endi esa (7) formulani qoʻllaymiz:
 
C
x
x
x
x
dx
x
x
x
xdx
x







9
ln
3
3
ln
3
ln
3
3
3
3
2
. 
 2) 
cos
x
xdx

 koʻrinishdagi integrallarni hisoblashda 
,
c o s
u
x d v
xd x


 
belgilashlar kiritamiz. U holda, 
,
sin
d u
d x v
x


 ifodalar hosil boʻladi. Endi esa 
(7) formulani qoʻllaymiz: 
cos
sin
sin
sin
cos
x
xdx
x
x
xdx
x
x
x
C







. 
 3) 
x
xe dx

 koʻrinishdagi integrallarni hisoblashda 
,
x
u x dv e dx


 
belgilashlar kiritamiz. U holda, 
,
x
du dx v e

  ifodalar hosil boʻladi. Endi esa (7) 
formulani qoʻllaymiz: 
x
x
x
x
x
xe dx
xe
e dx
xe
e
C







. 
 

 
127 
 
Mashqni bajaring.
 Quyidagi integrallarni toping:  
1)


3
2 sin(2
3)
;
x
x
dx



      2) 
4 ln(2
1)
;
x
x
dx


     3)
2
3
(3
7)
.
x
x
e
dx



 
 Aniqmas 
integralni 
hisoblashda integral osti funksiyaning koʻrinishini 
e’tiborga olgan holda integralni hisoblash usulini tanlash kerak boʻladi. Bunday 
usullar koʻp boʻlib biz ulardan biri bilan tanishib chiqamiz. 
 
Sodda ratsional ifodalar asosan toʻrt xil boʻladi. Ratsional ifodalarni 
integrallash shu toʻrt xil sodda ifodalarni integrallashga keltiriladi. Shu sababli bu 
toʻrt xil ifodani integrallash masalasi alohida ahamiyat kasb etadi. Ularning 
koʻrinishlari quyidagicha: 
1) 
a
x
A

,      2) 


k
a
x
A

,      3) 
2
Mx N
x
px q



,      4)


k
q
px
x
N
Mx



2
, 
bu yerda 
,
,
, ,
,
A M N a p q
 sonlar haqiqiy sonlar boʻlib, 
1
k

 natural son va 
2
4
0
p
q

 , deb hisoblanadi. 
 
Endi yuqoridagi ifodalarni integrallash masalasiga oʻtamiz. 
1) 
A
x a

 ifodani integrallash quyidagicha amalga oshiriladi: 
(
)
ln
Adx
d x a
A
A
x a
C
x a
x a



 




. 
2) 


k
A
x a

 ifodani integrallaymiz 
(
1)
k

. 


1
(
)
(
)
(
)
1
k
k
k
Adx
x a
A x a
d x a
A
C
k
x a
 







 



. 
3) 
2
Mx N
dx
x
px q




 (
2
4
p
q

) ifodani integrallash uchun uning suratida maxrajning 
differensialini ajratib olish va maxrajini kvadratlar yig‘indisiga keltirish orqali 
jadvaldagi integrallarga keltiriladi. 
2
Mx N
dx
x
px q




=
2
2
2
(
) (2
)
(
)
2
(2
)
2
2
d x
px q
x
p dx
M
d x
px q
M
Mp
x
px q
Mx
N
x
p
N
















 
2
2
2
2
2
2
2
(
/ 2)
ln(
)
2
2
2
(
/ 2)
/ 4
1
2
ln(
)
.
2
2
/ 4
4
Mp
dx
M
Mp
d x p
N
x
px q
N
x
px q
x p
q p
M
Mp
x p
x
px q
N
arctg
C
q p
q p









 









 









 










 

 
128 
4) 
2
(
)
k
Mx
N
x
px
q



 
(
1)
k

 sodda ifodani integrallash uchun 
2
p
x
z

  almashtirish 
bajaramiz. U holda 
2
2
2
2
,
2
2
4
p
p
p
dx dz x
px q
z
p z
q z
q






 



 
 








. 
2
2
4
p
a
q
 
 begilashdan soʻng quyidagiga ega boʻlamiz: 


0
2
2
2
2
2
2
2
–
(
)
(
)
2
2
k
k
k
k
Mx
N
zdz
N
Mp
dz
N
Mp
dx M
MI
I
x
px q
z
a
z
a













. 
Bu yerda 








2
2
0
–1
2
2
2
2
2
2
1
(
)
1
2
2 1 –
k
k
k
zdz
d z
a
I
C
z
a
z
a
k z
a










. 
Demak, 


2
2
k
k
dz
I
z
a



 integralni hisoblash kifoya. 




2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
(
)
(
)
k
k
k
k
k
dz
z
a
z
dz
z dz
I
dz
a
a
z
a
a
z
a
z
a
z
a















. 
Bu yerda 
1
2
2
1
(
)
k
k
dz
I
z
a





 belgilash kiritamiz va quyidagini hosil qilamiz: 
I
k
=


2
1
2
2
2
2
2
1
(
)
k
k
k
k
dz
z dz
I
I
a
z
a
z
a














. 
  (8) 
2
2
2
(
)
k
z dz
z
a


 integralni hisoblash uchun uni boʻlaklab integrallaymiz.  
2
2
2
2
2
2
2
1
,
1
,
(
)
(
)
2(1
)(
)
k
k
k
u
z
du
dz
z dz
zdz
dv
v
z
a
z
a
k z
a












 
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
.
2(1
)(
)
2(1
) (
)
2(1
)(
)
2(1
)
k
k
k
k
z
dz
z
I
k z
a
k
z
a
k z
a
k
















 
Soʻngi topilgan ifodani (8) formulaga qoʻyamiz, natijada 
1
2
2
2
1
1 2
3
2
2
2(1
)(
)
k
k
k
k
z
I
I
a
k
k z
a














   
 
 
(9) 
(9) rekurrent formula deb ataladi. 
2
2
x p
z


 va 
2
4
2
q
p
a


 almashtirishlarga 
qaytib, izlanayotgan integralni topamiz. 

 
129 
1
2
2
1
dz
z
I
arctg
C
z
a
a
a





 ni bilgan holda (9) formula yordamida 
2
2
2 2
(
)
dz
I
z
a



 integralni hisoblash mumkin. Haqiqatan ham,  
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1 1
(
)
2
2(
)
1
.
2 (
) 2
dz
dz
z
z
a
a
z
a
z
a
z
z
arctg
C
a z
a
a
a


















 
 
Shunday qilib, biz barcha sodda ifodalarni integrallash formulalarini hosil 
qildik. 
 
Endi ratsional ifoda funksiyalarni integrallash qoidasini keltiramiz. Ratsional 
ifodani integrallash uchun quyidagi ishlarni bajarish lozim: 
 
1) agar qaralayotgan 
( )
,
( )
n
m
P x
n
m
Q x

 ratsional ifoda notoʻg‘ri boʻlsa, u holda 
uni koʻphad va toʻg‘ri ratsional ifoda yig‘indisi koʻrinishda ifodalab olamiz: 
( )
( )
( )
,
( )
( )
n
k
m
m
P x
P x
R x
k
m
Q x
Q x



, 
 
2) agar qaralayotgan 
( )
,
( )
n
m
P x
n
m
Q x

 ratsional ifoda toʻg‘ri boʻlsa, u holda uni 
sodda ifodalarga yoyamiz; 
 
3) ratsional ifoda integralini uning butun qismi va sodda ratsional ifodalar 
integrallari yig‘indisi koʻrinishida yozib olamiz va har bir integralni hisoblaymiz.