M. M. Mirsaidov, P. J. Matkarimov, A. M. Godovannikov materiallar

E

M

ρ

ρ

  

Bu yerdan 

x

x

EI

M

=

ρ

1

. Oliy matematika kursidan ma’lumki  

                            

2

/

3

2

2

2

1

1

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

dz

dy

dz

y

d

ρ

 

Birinchi tartibli hosila kvadratini tashlab yuborsak 

)

5

.

8

(

1

2

2

2

2

x

x

EI

M

dz

y

d

yoki

dz

y

d

=

=

ρ

 

Bu ifodaga egilgan balka o‘qi differensial tenglamasi deyiladi. 

(8.5) ifodani Juravskiy differensial bog‘lanishlari (II-bob,

 

5-§) 

bilan solishtirib, o‘zgarmas ko‘ndalang kesimli sterjen uchun bir qator 

differensial bog‘lanishlar olamiz: 

)

6

.

8

(

,

Q

,

,

4

4

3

3

2

2

dz

y

d

EI

q

dz

y

d

EI

dz

y

d

EI

M

dz

dy

x

x

x

=

=

=

=

ϕ

 

Ushbu tenglamalardan shunday xulosa chiqarish mumkin: agar 

egilishdagi balkaga moment ta’sir qilsa, elastiklik chizig‘i ikkinchi 

---

 

195

tartibli egri chiziq, bir nuqtada ta’sir etuvchi (

q = 0, 

Q

  = const

) kuch 

ta’sir etsa, uchinchi tartibli chiziq, tekis taqsimlangan kuch (

q = const

) 

ta’sir etsa, to‘rtinchi tartibli egri chiziqdan iborat bo‘lar ekan. 

Sterjen elastiklik chizig‘i koordinatalari, ya’ni 

)

(

,

)

(

2

1

z

f

z

f

y

=

=

ϕ

 bog‘lanishlarni topish uchun balka o‘qi asosiy 

differensial tenglamalarini (8.6) integrallash kerak 

M

x

 – ichki kuchlar 

eguvchi momenti 

z

 funksiyasi bo‘ladi. 

Egilishdagi bikrligi 

EI

 =

 const

 bo‘lgan sterjenlar uchun integrallash 

natijasida 

С

dz

z

M

dz

dy

x

+

=

∫

)

(

 yana bir marta integrallasak 

 

 

D

Ñz

dz

z

M

ó

x

+

+

=

∫

∫

)

)

(

(

bu yerda, 

C

 va 

D 

– integral 

o‘zgarmaslari 

x

Е

I

M

dz

y

d

dz

dy

=

=

2

2

,

ϕ

 ekanligini hisobga olib egiluvchi 

sterjen solqiligi va burilish burchagi tenglamasini olamiz 

[

]

[

]

)

7

.

8

(

)

(

1

)

(

1

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+

+

=

+

=

∫ ∫

∫

D

Cz

dz

z

M

dz

EI

y

C

dz

z

M

EI

x

x

ϕ

 

Masalalarni amalda yechishda 

C

 va 

D 

integral o‘zgarmaslari 

sterjen mahkamlash shartidan aniqlanadi. Ularni misollarda aniqlashni 

ko‘ramiz. 

Tekis taqsimlangan yuk bilan yuklangan konsol burilish burchagi 

va solqiligi tenglamasi tuzilsin (8.25-rasm). 

 

 

8.25-rasm. Tekis taqsimlangan yuklama bilan yuklangan balkaning 

solqiligi. 

 

Sanoq boshini 

O

 nuqtada olamiz, sxema bitta uchastkadan iborat. 

---

 

196

                          

2

)

2

(

2

)

(

2

2

2

2

2

z

lz

l

q

dz

y

d

EI

z

l

q

M

x

+

−

=

−

−

=

  

Bu ifodani ikki marta integrallaymiz. 

∫

∫

+

+

+

−

−

=

+

+

−

−

=

+

+

−

−

=

+

−

−

=

=

D

Cz

z

lz

z

l

q

dz

Ñ

z

lz

z

l

q

EIy

C

z

lz

z

l

q

dz

z

lz

l

q

EI

dz

dy

EI

)

12

3

2

(

2

)

3

(

2

)

3

/

2

/

)

2

(

(

2

)

2

(

2

4

3

2

2

3

2

2

3

2

2

2

2

ϕ

 

D

 va 

C

 larni aniqlash uchun burilish burchagi va solqiligi ma’lum 

nuqtalardan foydalanamiz. Sanoq boshi 

O

 nuqta shunday nuqta 

hisoblanadi, 

z = 0, y

0

 = 

φ

0 

 =0

. Ushbuni birinchi tenglamaga qo‘ysak 

φ

= 

0, z= 0  

bu yerda  C=

 0

 ikkinchi tenglamga qo‘ysak 

y= 0, z= 0, C= 0, 

 

mos ravishda 

D= 0. 

Demak burilish burchagi tenglamasi ko‘rinishi 

6

2

2

3

2

2

qz

qlz

z

ql

EI

−

+

−

=

ϕ

 

Solqilik tenglamasi (elastiklik chizig‘i tenglamasi) ko‘rinishi  

24

6

4

4

3

2

2

qz

qlz

z

ql

EI

y

−

+

−

=

 

Ushbu tenglamalardan konsol chetidagi 

A

 nuqtada 

y 

va 

φ

 lar 

o‘zining eng katta qiymatlariga erishishi kelib chiqadi, bu hol 8.25-

rasmda ham ko‘rinib turibdi. 

z

A

 koordinatasi l ga teng bo‘lgani uchun 

6

2

2

3

3

3

qz

ql

ql

EI

A

−

+

−

=

ϕ

, ya’ni 

24

6

4

6

4

4

4

3

max

qz

ql

ql

EJ

y

EI

ql

A

A

−

+

−

=

−

=

=

ϕ

ϕ

 ya’ni 

EI

ql

EI

ql

y

y

A

8

24

3

4

4

max

−

=

−

=

=

 

 

Manfiy ishora 

A

 nuqtadan o‘tuvchi ko‘ndalang kesim soat strelkasi 

yo‘nalishida burilganini, konsol o‘qidagi nuqta esa pastga ko‘chganini 

bildiradi. Olingan solqilik o‘lchov birligi 

sm.

 

---

 

197

Solqilik kattaligini baholash uchun oldingi masalani 

q  =  2  t/m,         

l

 =

 3 m

, konsol qo‘shtavrli ko‘ndalang kesimga ega deb yechamiz. Eng 

katta eguvchi moment 

m

t

ql

M

x

⋅

=

⋅

=

=

9

2

9

2

2

2

max

 

Egilishdagi mustahkamlik shartidan 

[ ]

.

560

1600

900000

3

max

sm

M

W

x

x

=

=

=

σ

 Sortamentdan 

W

x

 = 597 sm

3

 bo‘lgan 

33 qo‘shtavrni tanlaymiz. Bu qo‘shtavr inersiya momenti 

9840 sm

4

 ga 

teng. 

Eng katta burilish burchagi

rad

À

00455

,

0

9840

10

2

6

)

300

(

20

6

3

=

⋅

⋅

⋅

=

ϕ

 

Eng katta solqilik    

sm

y

y

A

03

,

1

9840

10

2

8

)

300

(

20

6

4

max

−

=

⋅

⋅

⋅

−

=

=

 

Eng katta solqilikning konsol umumiy uzunligiga nisbati 

0035

,

0

300

03

,

1

max

≈

=

l

y

, ya’ni konstruksiya o‘lchamlariga nisbatan solqilik 

juda kichik. 

Tekis taqsimlangan kuch ta’sir etuvchi, ikkita tayanchda yotuvchi 

balka uchun burilish burchagi va solqilik tenglamasini tuzamiz (8.26-

rasm). 

 

 

8.26-rasm. Ikkita tayanchda yotuvchi tekis taqsimlangan kuch bilan 

yuklangan balka solqiligi. 

 

Qo‘yilgan kuch va balka simmetrikligidan, tayanch reaksiyalari 

o‘zaro teng, ya’ni 

2

2

1

ql

R

R

=

=

. Balka bitta uchastkadan iborat. 

M

x

 

eguvchi moment tenglamasi 

2

2

2

qz

z

ql

M

x

−

=

. 

---

 

198

Elastik chiziq asosiy differensial tenglamasi 

                      

)

2

2

(

1

2

2

2

qz

z

ql

EI

dz

y

d

−

=

 

Uni ikki marta integrallaymiz: 

∫

∫

+

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

+

−

=

−

=

=

D

Ñz

z

lz

q

dz

C

z

lz

q

y

EI

Ñ

z

z

l

q

dz

z

lz

q

EI

dz

dy

EI

12

6

2

3

2

2

)

3

2

(

2

)

(

2

4

3

3

2

3

2

2

2

ϕ

 

Umumiy holda balkada burilish burchagi ma’lum bo‘lgan 

ko‘ndalang kesim yo‘q, ammo simmetrik yuklama bilan yuklangan 

simmetrik balkalar bundan istisno, chunki ularning deformatsiyasi ham 

simmetrik bo‘ladi va simmetriya o‘qi bilan mos keluvchi kesim burilish 

burchagi nolga teng bo‘ladi. 

C

 va 

D

 integral o‘zgarmaslarini aniqlash 

uchun tayanchlarda solqilik nolga tengligi shartidan foydalanamiz. Chap 

tayanchda 

z = 0,

 uni solqilik tenglamasiga qo‘ysak 

0

 =

 D= 0

, bu yerdan 

D

 = 0 

 o‘ng tayanchda 

z= l

 va 

0

)

12

6

(

2

4

4

=

+

−

l

С

l

l

q

, bu yerdan 

24

3

ql

С

−

=

. Demak berilgan balka burilish burchagi tenglamasi ko‘rinishi 

                         

24

6

4

3

3

2

ql

qz

z

ql

EI

−

−

=

ϕ

 

                 

0

24

48

16

2

24

24

0

4

4

4

3

2

3

1

=

−

−

=

=

=

=

−

=

=

EI

ql

EI

ql

EI

ql

da

l

z

EI

ql

da

l

z

EI

ql

da

z

ϕ

ϕ

ϕ

 

Bu natija bir tomondan o‘tkazilgan hisoblashlarni to‘g‘riligini 

tekshirish, ikkinchi tomondan berilgan balka uzunligi o‘rtasida burilish 

burchagi nolga tenglashdan integral o‘zgarmas 

C

  ni topish uchun kerak  

24

,

0

48

16

,

'

2

0

6

4

3

3

2

3

2

ql

Ñ

yerdan

bu

Ñ

qz

z

ql

lsa

bo

l

z

Ñ

qz

z

ql

−

=

=

+

−

=

=

+

−

 

Solqilik tenglamasi ko‘rinishi 

---

 

199

0

384

5

2

0

0

24

24

12

4

3

4

3

=

=

−

=

=

=

=

−

−

=

y

da

l

z

EI

ql

y

da

l

z

y

da

z

z

ql

qz

z

ql

y

EI

 

Olingan yechim to‘g‘riligini tasdiqlaydi. 

Bir nuqtada ta’sir etuvchi 

P

 kuch qo‘yilgan, ikkita tayanchda 

yotuvchi balka elastiklik chizig‘i tenglamasini va kuch qo‘yilgan nuqtasi 

ko‘chishini topamiz (8.27-rasm). 

 

 

 

8.27-rasm. Bir nuqtaga qo‘yilgan ikkita tayanchda yotuvchi balkani 

solqilikka hisobi. 

 

Sanoq boshini chap tayanchda olamiz. Brus chap va o‘ng 

uchastkalarida eguvchi momentlar 

)

(

,

2

1

a

z

P

z

l

b

P

M

z

l

b

P

M

−

−

=

=

 

Ikki marta integrallasak 

                      

)

2

6

6

(

)

6

(

4

3

2

3

3

2

2

1

3

1

C

z

C

z

a

z

z

l

b

EI

P

y

C

z

C

z

l

b

EI

P

y

x

x

+

+

+

−

=

+

+

=

 

Integral o‘zgarmaslari brus mahkamlash shartidan va birinchi 

uchastkadan ikkinchi uchastkaka o‘tishdagi uzluksiz shartidan topiladi, 

ya’ni 

z = 0

 da 

y= 0

, 

z = a

 da 

φ

1

 = 

φ

2

. 

0

,

2

1

2

1

1

=

=

=

y

da

l

z

y

y

 

---

 

200

Bu shartlardan     

6

,

)

2

(

6

0

,

)

2

3

(

6

3

4

2

2

3

2

2

2

1

a

C

a

l

l

a

C

C

a

l

al

l

a

С

=

+

−

=

=

−

−

=

 

Demak 

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

−

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

+

=

6

)

2

(

6

2

)

(

6

)

2

3

(

6

6

3

2

2

2

3

2

2

2

3

1

a

a

l

l

a

z

az

l

b

z

EI

P

y

a

l

al

l

az

z

l

b

EI

P

y

x

x

 

P

 kuch qo‘yilgan nuqtada 

                     

)

(

3

2

2

2

1

a

l

l

EI

a

P

y

y

x

−

−

=

=

 

Agar kuch balka o‘rtasiga qo‘yilgan bo‘lsa 

                         

x

EI

a

P

y

y

48

2

max

1

−

=

=

 

Brus egilganda kuch qo‘yilgan nuqta 

y 

koordinatasi manfiy chiqdi. 

Brus 

y 

o‘qining musbat yo‘nalishiga qarshi tomonga egilgan. Bir necha 

qismdan iborat balkalarda elastiklik chizig‘i ko‘rinishini topish qiyin 

ekanligini ko‘rilgan misollardan ma’lum bo‘ldi. Har bir uchastka 

tenglamasida integrallashda ikkitadan o‘zgarmas hosil bo‘ladi. Agar 

balka 

n 

ta uchastkadan iborat bo‘lsa, 

2n

 ta o‘zgarmaslarni topish uchun 

2n

 ta tenglamani birgalikda yechishga to‘g‘ri keladi. 

Bikrligi 

EI

x

 o‘zgarmas bo‘lgan balka uchun yuqoridagi kabi 

qiyinchilikdan oson qutulish mumkin, buning uchun elastiklik chizig‘i 

tenglamasini tuzishda ma’lum qoidalarga amal qilish kerak. 

Eng ko‘p uchraydigan kuch omillari bilan yuklangan brusni 

ko‘raylik. Kuchlar sifatida bir nuqtada ta’sir etuvchi