M. M. Mirsaidov, P. J. Matkarimov, A. M. Godovannikov materiallar

M 

moment va 

P

 

kuch, brus uzunligi bo‘ylab tekis taqsimlangan, intensivligi 

q

 ga teng 

kuch brusga ta’sir etsin (8.28-rasm). 

Ushbu kuchlar turlaridan amalda uchraydigan barcha kuchlarni 

xillab olish mumkin. Kuchlar musbat yo‘nalishini rasmda 

ko‘rsatilganidek, ya’ni 

P 

va 

q

 – yuqoriga yo‘nalgan, 

M 

momentni soat 

strelkasi yo‘nalishida olamiz. Ta’sir etuvchi kuchlar sistemasi 

muvozanat shartlarini qanoatlantirishi kerak. 

Masala mohiyati turli xil kuch omillarini elastik chiziq 

tenglamasiga ta’sirini aniqlashdan iborat. 

---

 

201

 

 

8.28-rasm. Balka elastik o‘qini keltirib chiqarish uchun tashqi 

kuchlarning musbat yo‘nalishlari. 

 

Rasmda tasvirlangan 5 ta uchastka uchun eguvchi momentlar 

ifodasini solishtiramiz. 

1)  

M = 0  (z 

≤

 a)

 

2)  

M = M 

 

(a 

≤

 z 

≤

 b) 

3) 

 M = M + P (z – b),  (b 

≤

 z 

≤

 

c) 

4)  

M = M + P (z – b)+ q

)

(

2

)

(

2

d

z

с

c

z

≤

≤

−

 

5)  

)

(

2

)

(

2

)

(

)

(

2

2

z

d

d

z

q

c

z

q

b

z

P

M

M

≤

−

−

−

+

−

+

=

 

Ko‘rinib turibdiki, har bir uchastka uchun eguvchi moment 

ifodasida o‘zidan oldingi uchastka eguvchi momenti ifodasi va yangi 

qo‘shiluvchi hosil bo‘lmoqda. To‘rtinchi uchastkadan beshinchisiga 

o‘tishda ushbu qonuniyat ataylab saqlab qolindi. Buning uchun 

to‘rtinchi uchastkaga ta’sir etayotgan tekis taqsimlangan kuch beshinchi 

uchastkaga  davom ettirildi (shaklda punktir chiziq bilan ko‘rsatilgan). 

Bir paytning o‘zida beshinchi uchastkaga intevsivligi 

q 

bo‘lgan manfiy 

(kompensatsiyalovchi) tekis taqsimlangan kuch qo‘yildi. 

Qavslarni ochmasdan, olingan ifodalarni bir marta integrallaymiz. 

Olingan ifodalarni bir xilligini saqlab qolish uchun 

M 

integralini              

M (z – a)

 ko‘rinishida yozamiz, bu hol ixtiyoriy o‘zgarmas 

C

1

 kattaligida 

seziladi. Natijada 

ϕ

1

 elastiklik chizig‘i qiyalik burchagi uchun quyidagi 

ifodalarni hosil qilamiz. 

I)

   

EI

x

ϕ

1

 

= C

1

 

II)

  

EI

x

 

ϕ

1

 

= C

2 

 =M (z – a) 

---

 

202

III)  

2

)

(

)

(

 

2

3

1

b

z

P

a

z

M

C

EI

x

−

+

−

+

=

ϕ

 

IV)  

6

)

(

2

)

(

)

(

3

2

4

1

c

z

q

b

z

P

a

z

M

C

EI

x

−

+

−

+

−

+

=

ϕ

 

V)  

6

)

(

6

)

(

2

)

(

)

(

3

3

2

5

1

d

z

q

c

z

q

b

z

P

a

z

M

C

EI

x

−

−

−

+

−

+

−

+

=

ϕ

 

O‘zgarmas 

C

 larni shunday tanlash kerakki, bir uchastkadan 

ikkinchisiga o‘tganda 

y 

kattaligi uzilishiga ega bo‘lmasin. Mos ravishda 

z= a

1

 da 

1

2

1

1

ϕ

ϕ

=

, 

z= b

 da 

1

3

1

2

ϕ

ϕ

=

 va hokazo. Brus o‘zgarmas bikrlikka 

ega bo‘lgani uchun C

1

 = C

2

 = C

3 

= C

4

 = C

5. 

Koordinata boshidagi elastiklik chizig‘i qiyalik burchagi 

φ

º 

birinchi uchastka ifodasidan topiladi 

                                  

EI

x

 

φ

0 

= C

1  

Olingan ifodalarni ikkinchi marta integrallasak 

 

24

)

(

24

)

(

6

)

(

2

/

)

(

)

24

)

(

6

)

(

2

/

)

(

)

6

)

(

2

/

)

(

)

2

/

)

(

)

)

4

4

3

5

4

3

4

3

3

2

1

d

z

q

c

z

q

b

z

P

a

z

M

z

EI

D

y

EI

V

c

z

q

b

z

P

a

z

M

z

EI

D

y

EI

IV

b

z

P

a

z

M

z

EI

D

y

EI

III

a

z

M

z

EI

D

y

EI

II

z

EI

D

y

EI

I

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

−

−

−

+

−

+

−

+

+

=

−

+

−

+

−

+

+

=

−

+

−

+

+

=

−

+

+

=

+

=

o

o

o

o

o

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

 

 

D

n

 o‘zgarmaslar funksiyaning 

n

 – uchastkalar chegarasida 

uzluksizlik shartidan aniqlanadi. 

D

1

 = D

2 

= D

3

 = D

4

 = D

5

 = EI

x

y

0

 

ekanligi ko‘rinib turibdi, bu yerda 

y

0

 – sanoq boshidagi elastiklik 

chizig‘i ordinatasi. 

Yuqoridagi tenglamalarni bitta tenglama – balka elastiklik chizig‘i 

universal tenglamasi ko‘rinishida yozish qulay 

)

9

.

8

(

/

24

/

)

(

24

/

)

(

/

24

/

)

(

6

/

)

(

/

2

/

)

(

/

4

4

4

3

V

IV

III

III

II

I

x

x

x

d

z

q

d

z

q

c

z

q

b

z

P

a

z

M

z

EI

y

EI

y

EI

−

−

−

−

−

+

−

+

−

+

+

=

o

o

ϕ

 

Birinchi uchastka elastiklik chizig‘i nuqtalari koordinatalarini 

aniqlash uchun tenglamaning 

1

 indeksli tik chiziqdan chap tomondagi 

hadlari olinadi, ikkinchi uchastka uchun 

II

 indeksli chiziqdan chap 

---

 

203

tomondagi hadlar olinadi va hokazo. Beshinchi uchastkadagi ordinatani 

topish uchun (8.9) tenglama hamma hadidan foydalaniladi. 

Universal tenglamaning qulayligi shundan iboratki, 

u

 ixtiyoriy 

o‘zgarmaslarni topish uchun kerak bo‘lgan ko‘p hisoblashlarni chetlab 

o‘tib elastiklik chizig‘i tenglamasini tuzishga imkon beradi. Unda 

uchastkalar sonidan qat’iy nazar, ikkita 

y

0

 va 

φ

0

 o‘zgarmaslarni topish 

kerak. 

Egiluvchi sterjen uchun burilish burchagi va solqiligini aniqlashga 

ishlovchi universal tenglama ko‘rinishi 

)

10

.

8

(

!

4

)

(

!

3

)

(

!

2

)

(

!

1

!

3

)

(

!

2

)

(

!

1

)

(

4

3

2

3

2

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−

Σ

+

−

Σ

+

−

Σ

+

+

=

−

Σ

+

−

Σ

+

−

Σ

+

=

c

z

q

b

z

P

a

z

M

z

EI

EIy

EIy

c

z

q

b

z

P

a

z

M

EI

EI

o

o

o

ϕ

ϕ

ϕ

 

Faktorial ko‘rinishdagi maxraj yozuvini eslab qolish oson, chunki 

u 

surat darajasi bilan bir xil. 

1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24

 ekanligini 

eslatib o‘tamiz. 

Odatda sanoq boshidagi balka ko‘ndalang kesimi burilish burchagi 

va solqiligini boshlang‘ich parametrlar deb ataladi hamda kesim burilish 

burchagi va solqiligini aniqlovchi usulga – boshlang‘ich parametrlar 

usuli deb ataladi. 

y

0

 va 

φ

0

 boshlang‘ich parametrlar sterjenni sanoq boshida 

mahkamlash usulida bog‘liq (8.29-rasm). 

(8.10) tenglamalarni qo‘llashning o‘ziga xos jihati shundan 

iboratki, uni yechishda tekis taqsimlangan kuchni balka oxirigacha 

yetkazib, qarama-qarshi yuk bilan uni muvozanatlanadi (8.28-rasm). 

Tenglama o‘ng qismi har bir hadining birliklari 

M – tm,

               

P – t, q – t/m, z, a, b, c – m

 da o‘lchanadi. Birinchi tenglamada natija 

tm

2

 

da, ikkinchisida 

tm

3

 da chiqadi. 

 

 

8.29-rasm. Turli xil mahkamlangan balka uchun boshlang‘ich 

parametrlar. 

 

---

 

204

Egilishdagi bikrlik 

EI

 ni hisobga olib tenglama chap tomonida 

tonnani kilogrammga, metrni santimetrga o‘tkazish kerak. 

Tekis taqsimlangan kuch ta’siridagi ikkita tayanchda yotuvchi 

balka eng katta solqiligini aniqlaymiz (8.30-rasm). 

                                      

2

2

1

ql

R

R

=

=

  

 

 

8.30-rasm. rasm Ikkita tayanchda yotuvchi tekis taqsimlangan yuk bilan 

yuklangan balkaning solqiligini aniqlash. 

 

Boshlang‘ich parametrlar usuliga asosan solqilik tenglamasi 

24

)

(

6

)

(

2

)

(

1

4

3

2

0

0

c

z

q

b

z

P

a

z

M

l

EI

EIy

y

EI

−

Σ

+

−

Σ

+

−

Σ

+

+

=

ϕ

 

Sharnirli tayangan balka uchun 

y

0

 = 0

 va 

φ

0

 

≠

  0

 (8.29-rasmga 

qarang). 

φ

0

 ni aniqlashda o‘ng tayanchda solqilik nolga tengligi shartidan 

foydalanamiz, 

z = l

 da  

               

24

,

0

24

6

2

1

3

4

3

ql

EI

yerdan

bu

ql

ql

l

l

EI

y

EI

−

=

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

o

o

ϕ

ϕ

 

Yuklama va balkaning simmetriklik shartidan chiziq ham 

simmetrikligi kelib chiqadi, natijada eng katta solqilik balka o‘rtasi 

2

l

z

=

 masofada bo‘ladi 

               

384

5

24

)

2

(

6

)

2

(

2

2

24

4

4

3

3

max

ql

l

q

l

ql

l

ql

y

EI

−

=

−

+

−

=

 

Bu natija to‘g‘ridan-to‘g‘ri integrallash usuli bilan olingan natijaga 

mos keladi. Masala yechimini o‘zaro solishtirganda ko‘rinadiki, 

---

 

205

boshlang‘ich parametrlar usuli to‘g‘ridan-to‘g‘ri integrallash usuliga 

nisbatan hisoblash hajmini kamaytiradi. 

Tekis taqsimlangan kuch ta’sir etuvchi ikki konsolli balka uchun 

solqilik epyurasini quramiz (8.31-rasm). 

 

 

 

8.31-rasm. Tekis taqsimlangan kuch ta’sir etuvchi ikki konsolli balka 

uchun  solqilik epyurasi. 

 

Simmetriya shartidan 

R

1

=R

2

=0,7 ql,

 berilgan tayanchda 

y

0

 

≠

 0, 

φ

0

 

≠

 0.

 boshlang‘ich parametrlarni aniqlash uchun tayanchlarda nolga 

tengligi shartidan foydalanamiz, ya’ni 

z = 0,2 l

 va 

z = 1,2 l

 da 

0

24

)

2

,

1

(

6

)

2

,

0

2

,

1

(

7

,

0

2

,

1

2

,

1

0

24

)

2

,

0

(

6

)

2

,

0

2

,

0

(

7

,

0

2

,

0

2

,

0

24

6

)

2

,

0

(

7

,

0

1

4

3

0

0

3

3

0

0

4

3

0

0

=

−

−

+

+

=

=

=

−

−

+

+

=

=

−

−

+

+

=

l

q

l

l

ql

l

EI

y

EI

y

EI

da

l

z

l

q

l

l

ql

l

EI

y

EI

y

EI

da

l

z

qz

l

z

ql

z

EI

y

EI

y

EI

ϕ

ϕ

ϕ

 

Ushbu ifodalarni soddalashtirib, boshlang‘ich parametrlarni 

aniqlash uchun tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. 

                 

0

031

,

0

2

,

1

0

000067

,

0

2

,

0

4

0

0

4

0

0

=

−

+

=

−

+

ql

l

EI

y

EI

ql

l

EI

y

EI

ϕ

ϕ

 

Birinchi tenglamani ikkinchisidan ayirsak 

                       

4

0

3

0

006

,

0

03

,

0

ql

ó

EI

ql

EI

=

−

=

ϕ

 

Elastiklik chizig‘i ordinatasini topamiz 

0

24

)

2

,

0

(

6

)

2

,

0

2

,

0

(

7

,

0

)

2

,

0

(

03

,

0

006

,

0

2

,

0

005

,

0

0

4

3

3

4

4

≈

−

−

+

−

=

=

=

=

l

q

l

l

ql

l

ql

ql

y

EI

da

l

z

ql

y

EI

da

z

 

---

 

206

Tekshirish:  

0

24

)

2

,

1

(

6

)

2

,

1

2

,

1

(

7

,

0

)

2

,

1

(

03

,

0

06

,

0

2

,

1

0014

,

0

24

)

7

,

0

(

6

)

7

,

0

7

,

0

(

7

,

0

)

7

,

0

(

03

,

0

006

,

0

7

,

0

4

3

3

4

4

4

3

3

4

≈

−

−

+

−

=

=

−

=

−

−

+

−

=

=

l

q

l

l

ql

l

ql

ql

y

EI

da

l

z

ql

l

q

l

l

ql

l

ql

ql

y

EI

da

l

z

 

Tekshirish: 

4

4

3

3

3

4

006

,

0

24

)

4

,

1

(

6

)

2

,

0

4

,

1

(

7

,

0

6

)

4

,

1

4

,

1

(

7

,

0

)

4

,

1

(

03

,

0

006

,

0

4

,

1

ql

l

q

l

l

ql

l

l

ql

l

ql

ql

y

EI

da

l

z

−

=

−

−

−

−

−

+

−

=

=

 

O‘zaro bog‘langan listlar paketidan tashkil topgan balka solqiligini 

(8.20-rasm) aniqlaymiz. Egilishni aniqlashda kesim geometrik 

xarakteristikasi 

I

x

 inersiya momenti bo‘ladi 

3

3

3

12

12

)

(

n

bh

n

h

b

I

x

=

=

 

Bitta list tomonidan «qabul qilinadigan» eguvchi moment 

n

M

 ga 

teng, ya’ni qavatli balka solqiligi butun balkaga nisbatan (

n

2

) marta 

ko‘payadi, mustahkamligi esa 

n

 marta kamayadi. Bu holatdan katta 

solqiligi  bo‘lmasligi talab etiladigan, masalan ressorlar kabi egiluvchi 

konstruksiyalarda foydalaniladi. Ressorni ishlash jarayonida moylashni 

tavsiya etilishi egiluvchi sterjen qatlamlari orasida hosil bo‘luvchi 

urinma kuchlanishlar kabi ishqalanish kuchlarini yo‘qotishga qaratilgan.